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1、 预测05 函数的综合函数的综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容！通常是反比例函数和一次函数的结合，难度系数中等。1从考点频率看，反比例函数是高频考点，中考对函数的知识点考查，综合能力要求极高！2从题型角度看，以解答题为主，分值8分左右！ 一次函数的概念及其图象、性质一次函数的相关概念（1） 概念：一般来说，形如ykxb(k0)的函数叫做一次函数特别地，当b0 时，称为正比例函数 （2）图象形状：一次函数ykxb是一条经过点（0,b）和（,0）的直线.特别地，正比例函数ykx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线一次函数的性质来源:Zxxk.Com来源:学科网来源:学科网一次函数y
2、=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.来源:学§科§网Z§X§X§Kk0， b>0一、二、三象限 y随x的增大而增大k0，b0一、三、四象限 y随x的增大而增大k<0， b>0一、二、四象限 y随x的增大而减小k<0，b<0二、三、四象限 y随x的增大而减小一次函数与 坐标轴交点坐标交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数ykxb(k0)的图象与x轴的交点是(,0 )，与y轴的交点是(0，b)；反比例函数的性质反比
3、例的一般形式(k0)当k>0时,图象的两个分支分别在一,三象限,在每个象限内即y随x的增大而减小当k0时,图象的两个分支分别在二,四象限,在每个象限内即y随x的增大而增大过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |.1（2019年兰州中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=（k0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC=2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA（1）求反比例函数y=（k0）的表达式；（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标【答案】（1）反比例函数的表达式为y=；（2）点A的坐标为（，2）【解析】（1）
4、如图，过点B作BDOC于D，BOC是等边三角形，OB=OC=2，OD=OC=1，BD=，SOBD=OD×BD=，又SOBD=|k|，|k|=，反比例函数y=（k0）的图象在第一、三象限，k=，反比例函数的表达式为y=；（2）SOBC=OCBD=×2×=，SAOC=3-=2，SAOC=OCyA=2，yA=2，把y=2代入y=，求得x=，点A的坐标为（，2）【名师点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，此题的突破点是先由三角形的面积求出反比例函数的解析式2（2019年苏州中考）如图，为反比例函数(x>
5、0)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，.连接，且.(1)求的值；(2)过点作，交反比例函数(x>0)的图象于点，连接交于点，求的值.【答案】(1)k=12；(2).【解析】【分析】(1)过点作交轴于点，交于点，易知OH长度，在直角三角形OHA中得到AH长度，从而得到A点坐标，进而算出k值；（2）先求出D点坐标，得到BC长度，从而得到AM长度，由平行线得到，所以【详解】解：(1)过点作交轴于点，交于点. (2) 【点睛】本题主要考查反比例函数与相似三角形的综合问题，难度不大，解题关键在于求出k3（2019年攀枝花中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像在第二象限交于
6、点，与轴交于点，点在轴上，满足条件：，且，点的坐标为， （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出当时，的解集【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）过点B作BHx轴于点H，证明得到BH与CH的长度，便可求得B点的坐标，进而求得反比例函数解析式；（2）观察函数图象，当一次函数图象在反比例函数图象下方时的自变量x的取值范围便是结果【详解】解：（1）如图作轴于点则点的坐标为，在和中，有，即反比例函数解析式为（2）因为在第二象限中，点右侧一次函数的图像在反比例函数图像的下方, 所以当时，的解集为.4（2019年广东中考）如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，
7、其中点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（4，n）（1）根据图象，直接写出满足k1x+b的x的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点P在线段AB上，且SAOP：SBOP=1：2，求点P的坐标【答案】（1）由图象可得：k1x+b的x的取值范围是x<1或0<x<4；（2）直线解析式y=x+3，反比例函数的解析式为y=；（3）P（，）【解析】（1）点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（4，n）由图象可得：k1x+b的x的取值范围是x<1或0<x<4；（2）反比例函数y=的图象过点A（1，4），B（4，n），k2=1×4=4，k2=4n，n=1，B
8、（4，1），一次函数y=k1x+b的图象过点A，点B，解得k=1，b=3，直线解析式y=x+3，反比例函数的解析式为y=；（3）设直线AB与y轴的交点为C，C（0，3），SAOC=×3×1=，SAOB=SAOC+SBOC=×3×1+×3×4=，SAOP：SBOP=1：2，SAOP=×=，SCOP=1，×3xP=1，xP=，点P在线段AB上，y=+3=，P（，）【名师点睛】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键5（2019年甘肃中考）如图，一次函数y=k
9、x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（1，n）、B（2，1）两点，与y轴相交于点C（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y=上的两点，当x1<x2<0时，比较y2与y1的大小关系【答案】（1）一次函数的解析式为y=x+1，反比例函数的解析式为y=（2）SABD=3（3）y1<y2【解析】（1）反比例函数y=经过点B（2，1），m=2，点A（1，n）在y=上，n=2，A（1，2），把A，B坐标代入y=kx+b，则有，解得，一次函数的解析式为y=x+1，反比例函数的解析式为
10、y=（2）直线y=x+1交y轴于C，C（0，1），D，C关于x轴对称，D（0，1），B（2，1），BDx轴，SABD=×2×3=3（3）M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y=上的两点，且x1<x2<0，sy1<y2【名师点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用函数的增减性，比较函数值的大小1（2019年四川省成都市中考一模数学试题）如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）（1）求反比例函数的解析式；（2）若点是该双曲线第一象限上的一点，且，填空：直线的解析式为_；点的坐标为_【答案】（1
11、）；（2），【解析】【分析】（1）把格点A（1，3）代入解析式即可得到答案（2）过O作OA的垂线构造出两组全等三角形，得到B（3，-1）及AC=BC，求出点C的横坐标为3，用AC=BC建立方程求解即可得出结论； 联立直线OP和双曲线解析式，解得即可得出结论【详解】解：（1）反比例函数的图象过格点，反比例函数的解析式为；（2）如图，过点O作OA的垂线OE，取轴上点（3，0）， 记D，则D（3，0），过A作轴与，而， 过点D作BD轴，交OE于B，OP于C， ， ， ， 设， ， ， ， ， 设直线OP的解析式为， ， ， 直线OP的解析式为， 故答案为：； 由知，直线OP的解析式为， 由（1）知，
12、反比例函数解析式为，所以， 解得： 或（由于点P在第一象限内，所以，舍去）， ， 故答案为：【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，方程组的解法，构造出全等三角形是解本题的关键2（2019年重庆市中考数学模拟试卷5月份试题） 问题呈现：我们知道反比例函数y（x0）的图象是双曲线，那么函数y+n（k、m、n为常数且k0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数y（x0）的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数y的图象（1）填写下表，并画出函数y的图象列表：x532013y描点并连线（2）观察图象，写出该函数
13、图象的两条不同类型的特征： ；理解运用：函数y的图象是由函数y的图象向 平移 个单位，其对称中心的坐标为 灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数y+2的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足 时，y3【答案】（1）详见解析；详见解析；（2）图象是中心对称图形；当时，y随着x的增大而减小；理解运用：左；1；灵活应用：【解析】【分析】（1）将x=-5，-3，-2，0，1，3分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；（2）结合图象可从函数的增减性及对称性解答该函数图象的两条不同类型的特征；理解运用：结合图象即可得出结论灵活应用：结合图象可准确填空【详解】（1）列表：x532013y124
14、421描点并连线（2）观察图象，图象是中心对称图形；当x1时，y随着x的增大减小故答案为图象是中心对称图形；当x1时，y随着x的增大减小；理解运用：函数y的图象是由函数y的图象向左平移1个单位，其对称中心的坐标为（1，0）故答案为左；1；（1，0）灵活应用：函数y+2的图象在理解运用的基础上向上平移2个单位，当x满足1x3时，y3，故答案为1x3【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想写出函数的性质是解题的关键3（2020年湖北省枣阳市太平一中中考数学模拟题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式
15、；（2）求的面积（3）根据图象写出反比例函数yn的x取值范围【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为y=-x-1； （2）；（3）x0或x1【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式，然后将点B的坐标代入反比例函数的解析式中即可求出n的值，最后将A、B的坐标代入一次函数解析式中即可求出一次函数的解析式；（2）设直线AB与y轴交点为点C，过点A作AEy轴于E，过点B作BFy轴于F，求出点C的坐标，然后根据SAOB=SAOCSBOC即可求出结论；（3）根据图象即可得出结论【详解】解：（1）将点A坐标代入反比例函数中，得解得：m=-2反比例函数的
16、解析式为将点B的坐标代入中，得点B的坐标为（1，-2）将代入一次函数中，得解得：一次函数的解析式为y=-x-1；（2）设直线AB与y轴交点为点C，过点A作AEy轴于E，过点B作BFy轴于F将x=0代入y=-x-1中，可得y=-1点C的坐标为（0，-1）OC=1AE=2，BF=1SAOB=SAOCSBOC=（3）点B的纵坐标为n反比例函数yn，应取点B的上方（含点B）由图象可知：当x0或x1时，反比例函数yn反比例函数yn时，x0或x1【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、利用点的坐标求三角形的面积和利用函数图象求不等式的解集是解决
17、此题的关键4.（2020年山西省3月中考数学模拟试题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykxb(k0)的图象与y轴交于点C，与反比例函数y的图象交于A，B两点，过点B作BEx轴于点E，已知A点坐标是(2，4)，BE2(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)连接OA、OB，求AOB的面积【答案】（1）yx2， y；（2）6【解析】【分析】（1）根据点A坐标将反比例函数表达式求出，再利用反比例函数求出点B的坐标，最后根据点A和点B坐标用待定系数法求出一次函数表达式；（2）求出点C坐标，再根据SAOBSBOCSAOC可得结果.【详解】解：（1）点A(2，4)在反比例函数y的图象上，将A(
18、2，4)代入y中，可得4，解得m8，即反比例函数表达式为yBEx轴于点E，且BE2，即点B纵坐标为2，而点B在反比例函数y的图象上，将y2代入y，得2，解得x4即点B坐标为(4，2)，点A(2，4)，B(4，2)在一次函数ykxb的图象上，将A(2，4)，B(4，2)代入ykxb中，得解得一次函数表达式为yx2，反比例函数表达式为y；（2）点C为一次函数yx2的图象与y轴的交点，令x0，得y2，即C(0，2)SAOBSBOCSAOC·OC·|xB|·OC·|xA|·OC·|xAxB|×2×66【点睛】本题考查了反比
19、例函数和一次函数交点问题，用待定系数法求函数表达式，以及坐标系中三角形的面积，本题难度一般，是一道很不错的试题5（安徽省首年地区2019-2020学中考第一次模拟预测数学试题）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于，两点，且点，点在轴正半轴上运动，过点作平行于轴的直线（1）求的值和点的坐标；（2）当时，直线与直线交于点，反比例函数的图象经过点，求反比例函数的解析式；（3）当时，若直线与直线和（2）反比例函数的图象分别交于点，当间距离大于等于2时，求的取值范围【答案】（1），；（2）；的取值范围是：【解析】【分析】（1）把代入得出的值，进而得出点坐标；（2）当时，将代入，进而得出的值，
20、求出点坐标得出反比例函数的解析式；（3）可得，当向下运动但是不超过轴时，符合要求，进而得出的取值范围【详解】解：（1）直线： 经过点，；（2）当时，将代入，得，代入得，；（3）当时，即，而，如图，当向下运动但是不超过轴时，符合要求，的取值范围是：【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强6（广东省佛山市南海外国语学校2019-2020学年九年级下学期第一次月考数学试题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A()、两点，与坐标轴分别交于M、N两点（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出中的取值范围是_；（3）求ABC的
21、面积【答案】（1）；（2）或；（3）3.【解析】【分析】（1）把A，B坐标代入反比例函数解析式，求出m，n的值，再把A，B坐标代入一次函数解析式中，求出解析式即可；（2）根据图像直接写出范围即可；（3）【详解】（1）点A在反比例函数，解得，又点B也在反比例函数， 解得，点B的坐标为，又点A、B在的图象上，解得：，一次函数的解析式为：；（2）根据图象得：当时，即，的取值范围为或；（3）直线与轴的交点为N，把y=0代入中得x=3，可求得点N的坐标为（），.【点睛】本题是对反比例函数与一次函数的综合考查，熟练掌握反比例函数与一次函数解析式及图像性质是解决本题的关键，难度适中.7（河南省外国语中学20
22、19届九年级中招适应性测试卷数学试题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点和.(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)若定义横、纵坐标均为整数的点叫做好点，则图中阴影部分区域内(不含边界)好点的个数为_；(3)请根据图象直接写出不等式的解集.【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；(2)7个；(3)或.【解析】（1）把A（2，3）代入可求得k=6，把B（m，-1）代入得m=-6，把A（2，3），B（-6，-1）代入y=ax+b即可求出a，b的值；（2）求出直线与y轴的交点坐标结合直线与双曲线在第一象限内的交点坐标即可确定好点的个数；（3）根据图象确定直线在双曲线下方时，
23、确定x的取值范围即可.【详解】(1)将点代入得，反比例函数的解析式为：.将点代入得，.将点，代入得，解得一次函数的解析式为：.(2)令x=0，得y=2，所以直线与y轴的交点坐标为（0，2）故阴影部分内（不含边界）整点坐标有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（4，1），（5，1）共7个；(3)A（2，3），B（-6，1）且由图象可得x的取值范围是：或.8.（2020年湖北省武汉市江汉区常青第一学校中考数学一模试题）如图，ABC在平面直角坐标系中，ACB90°，ACBC，A的坐标是（0，m）（m0），点C的坐标是（2，0），点B在x轴上方（1）如图1所示，若点B
24、在y轴上，则m的值是 ；（2）如图2所示，BC与y轴交于点D若m6，求点B的坐标；若y轴恰好平分BAC，求OD的长【答案】（1）-2；（2）B（4，2）；OD22【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质和判定解答即可；（2）如图21中，作BHx轴于H利用余角的性质可得BCHOAC，然后根据AAS即可证明BHCCOA，进一步利用全等三角形的性质即可求出结果；如图22中，在OA截取一点F，使得OFOC，则OF和FC可得，由角平分线的性质和三角形的外角性质可得AFC是等腰三角形，于是OA可得，易证CODAOC，然后利用相似三角形的性质即可求出结果【详解】解：（1）如图1中，CBCA，OCAB，
25、OCBOCA45°，OAOC2，A（0，2），m2故答案为2；（2）如图21中，作BHx轴于HAOCBHCACB90°，BCH+ACO90°，ACO+OAC90°，BCHOAC，BCAC，BHCCOA（AAS），BHOC2，CHOA6，OHCHOC4，B（4，2）；如图22中，在OA截取一点F，使得OFOCOFOC2，FOC90°，FC2，OFCOCF45°，AD平分CAB，DACCAB22.5°，OFCFAC+FCA，FCA22.5°，FACFCA22.5°，AFCF2，OA2+2，A（0，22），DC
26、OOAC，CODAOC90°，CODAOC，即，OD22【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质和相似三角形的判定和性质等知识，属于中档题型，正确作出辅助线、熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质是解题的关键9.（郑州市一中2019年中考三模数学试卷）如图所示,直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,与双曲线y=(x>0)相交于点P,PCx轴于点C,且PC=2,点A的坐标为(-2,0).（1）求双曲线的解析式；（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点,且QHx轴于H,当以点Q、C、H为顶点的三角与AOB相
27、似时,求点Q的坐标.【答案】（1）；（2）Q（4，1）或Q（1+，22）【解析】（1）根据已知条件易求P点的坐标，把P点的坐标代入y，即可求得k值，从而求得双曲线的解析式；（2）设Q点坐标为(a，b)，根据Q点在双曲线上求得a、b之间的关系，再求得BO、AO的长，分QCHBAO和QCHABO两种情况求Q点的坐标.(1)把A(2，0)代入yax1中求得a，所以yx1，求得P点坐标为(2，2)把P(2，2)代入y求得k4，所以双曲线的解析式为y.(2)设Q点坐标为(a，b)因为Q(a，b)在y上，所以b.由yx1，可得B点坐标为(0，1)，则BO1.由A点坐标为(2，0)，得AO2.当QCHBAO时，即，所以a22b，a22×，解得a4或a2(舍去)，所以Q点坐标为(4，1)当QCHABO时，即，所以2a4，解得a1或a1(舍去)，所以Q点坐标为(1，22)综上所述，Q点坐标为(4，1)或(1，22)