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1、第二节矩阵的特征值与特征向量第1页，本讲稿共28页2 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量例例14特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的计算特征值与特征向量的计算特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质例例59第2页，本讲稿共28页特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念定义定义设设为为阶方阵阶方阵,如果数如果数和和维非零向量维非零向量使使成立成立,则称数则称数为为的一个的一个特征值特征值,零向量零向量称为称为的对应于特征值的对应于特征值的的特征向量特征向量.注注:阶方阵阶方阵的特征值的特征值,就是使齐次线性方程组就是使齐次线性方程组有非零解的值有非零解
2、的值,都是矩阵都是矩阵的特征值的特征值;的的即满足方程即满足方程非非第3页，本讲稿共28页特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念定义定义设设为为阶方阵阶方阵,如果数如果数和和维非零向量维非零向量使使成立成立,则称数则称数为为的一个的一个特征值特征值,零向量零向量称为称为的对应于特征值的对应于特征值的的特征向量特征向量.非非称关于称关于的一元的一元 次方程次方程程程,为为 的的特征方特征方称称的一元的一元次多项式次多项式特征多项式特征多项式.为为的的第4页，本讲稿共28页特征值与特征向量的计算特征值与特征向量的计算定义定义设设为为阶方阵阶方阵,如果数如果数和和维非零向量维非零向量使使成立成
3、立,则称数则称数为为的一个的一个特征值特征值,零向量零向量称为称为的对应于特征值的对应于特征值的的特征向量特征向量.非非根据上述定义根据上述定义,即可给出即可给出特征向量的求法特征向量的求法:设设为方阵为方阵的一个特征值的一个特征值,则由齐次线性方程则由齐次线性方程组组可求得非零解可求得非零解特征向量特征向量.若若是方程组是方程组的基础解的基础解系系,则则的对应于特征值的对应于特征值的特征向量的全体的特征向量的全体可表示为可表示为那么那么就是就是的对应于特征值的对应于特征值的的完完第5页，本讲稿共28页例例1解解代入与特征方程对应的齐次线性方程组代入与特征方程对应的齐次线性方程组,求矩阵求矩阵
4、矩阵矩阵的特征方程为的特征方程为所以所以是矩阵是矩阵的两个不同的特征值的两个不同的特征值.以以得得基础解系是基础解系是的特征值与特征向量的特征值与特征向量.故故的全部特的全部特是矩阵是矩阵对应于对应于征向量征向量.第6页，本讲稿共28页例例1解解求矩阵求矩阵的特征值与特征向量的特征值与特征向量.完完以以代入与特征方程对应的齐次线性方程组代入与特征方程对应的齐次线性方程组,得得基础解系是基础解系是特征向量特征向量.故故是矩阵是矩阵对应于对应于的全部的全部第7页，本讲稿共28页例例2解解求求的特征值与特征向量的特征值与特征向量.特征值特征值时时,当当解方程解方程设设由由基础解系基础解系第8页，本讲
5、稿共28页例例2解解由由基础解系基础解系当当时时,解方程解方程故对应于故对应于的全体特征向量为的全体特征向量为由由第9页，本讲稿共28页例例2解解由由得基础解系得基础解系故对应于故对应于的全体特征向量为的全体特征向量为不同时为不同时为0).(完完第10页，本讲稿共28页例例3解解特征向量特征向量.求求阶数量矩阵阶数量矩阵的特征值与的特征值与故故的特征值为的特征值为把把代入代入得得第11页，本讲稿共28页例例3解解把把代入代入得得性无关的向量都是它的基础解系性无关的向量都是它的基础解系,取单位向量组取单位向量组作为基础解系作为基础解系,所以任意所以任意个线个线于是于是的全部特征向量为的全部特征向
6、量为这个方程组的系数矩阵是零矩阵这个方程组的系数矩阵是零矩阵,(不全为零不全为零).完完第12页，本讲稿共28页例例4解解试求上三角矩阵试求上三角矩阵的特征值的特征值:因此因此的特征值等于的特征值等于这是一个上三角行列式这是一个上三角行列式,因此因此,完完第13页，本讲稿共28页特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质性质性质1阶矩阵阶矩阵与它的转置矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值有相同的特征值.证证由由有有知知与与有相同的特征多项式有相同的特征多项式,故它们的特征值相同故它们的特征值相同.性质性质2设设阶矩阵阶矩阵,是是则则第14页，本讲稿共28页特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的
7、性质性质性质2设设阶矩阵阶矩阵,是是则则式中式中是是的全体的全体阶主子式的和阶主子式的和.设设是是的的个特征值个特征值,则则完完第15页，本讲稿共28页例例5证证试证试证:是是必要性必要性于是于是充分性充分性对应的特征向量为对应的特征向量为由特征值的定义由特征值的定义,有有阶矩阵阶矩阵是奇异矩阵的充分必要条件是奇异矩阵的充分必要条件有一个特征值为零有一个特征值为零.若若是奇异矩阵是奇异矩阵,则则即即 是是的一个特征值的一个特征值.设设有一个特征值为有一个特征值为所以齐次线性方程组所以齐次线性方程组有非零解有非零解由此可知由此可知即即为奇异矩阵为奇异矩阵.第16页，本讲稿共28页例例6证证证明证
8、明因因证毕证毕.设设是方阵是方阵的特征值的特征值,当当可逆时可逆时,是是的特征值的特征值;是是的特征值的特征值.是是的特征值的特征值;因因故有故有使使当当可逆时可逆时,由由有有知知故故即即是是的特征值的特征值.是是的特征值的特征值.所以所以于是于是第17页，本讲稿共28页定理定理阶方阵阶方阵互不相等的特征值互不相等的特征值对对应的特征向量应的特征向量线性无关线性无关.证证用数学归纳法用数学归纳法.时时,因特征向量不为零因特征向量不为零,成立成立.设设前前个特征值个特征值对应的特征向量对应的特征向量线性无关线性无关,欲证欲证线性无关线性无关.设设成立成立,以矩阵以矩阵乘乘式两端式两端,由由整理得
9、整理得由由,消去消去得得结论结论第18页，本讲稿共28页定理定理阶方阵阶方阵互不相等的特征值互不相等的特征值对对应的特征向量应的特征向量线性无关线性无关.证证由由,消去消去得得于是于是式化为式化为故故线性无关线性无关.第19页，本讲稿共28页定理定理阶方阵阶方阵互不相等的特征值互不相等的特征值对对应的特征向量应的特征向量线性无关线性无关.注注:线性无关的特征向量线性无关的特征向量;有有个不同的特征值个不同的特征值,阶方阵阶方阵属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量属于这个特征值的特征向量;矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值
10、而言的矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一一个特征值具有的特征向量不唯一;一个特征向量一个特征向量不能属于不同的特征值不能属于不同的特征值.则则有有 个个因为因为,若设若设同时是同时是的的属于两个不同的特征值属于两个不同的特征值的特征向量的特征向量,即即第20页，本讲稿共28页定理定理阶方阵阶方阵互不相等的特征值互不相等的特征值对对应的特征向量应的特征向量线性无关线性无关.因为因为,若设若设同时是同时是的的属于两个不同的特征值属于两个不同的特征值的特征向量的特征向量,即即由由得得与定义矛盾与定义矛盾.故结论成立故结论成立.完完第21页，本讲稿共28页例例7
11、解解的线性无关的特征向量组的线性无关的特征向量组.求求 阶矩阵阶矩阵3的特征多项式为的特征多项式为的特征值以及相应的特征值以及相应这个多项式的根为这个多项式的根为因此因此的特征值等于的特征值等于接下来求特征向量接下来求特征向量:对对将将代入代入第22页，本讲稿共28页例例7解解因此因此的特征值等于的特征值等于接下来求特征向量接下来求特征向量:对对将将代入代入容易算出这个方程组的系数矩阵秩等于容易算出这个方程组的系数矩阵秩等于因此齐因此齐次线性方程组次线性方程组的基础解只有一个线性无关的向的基础解只有一个线性无关的向量量,不难求出为不难求出为得得对对代入可得齐次方程组代入可得齐次方程组:将将第2
12、3页，本讲稿共28页例例7解解对对代入可得齐次方程组代入可得齐次方程组:将将求出这个齐次线性方程组的基础解系为求出这个齐次线性方程组的基础解系为正好等于正好等于因此因此的相应于特征值的相应于特征值 的线性无关的特征向量有的线性无关的特征向量有于是于是的线性无关的特征向量有的线性无关的特征向量有 个个,个个,而相应于特征值而相应于特征值 的线性无关的特征向量有的线性无关的特征向量有个个,的阶数的阶数完完第24页，本讲稿共28页例例8证证按题设按题设,故故用反证法用反证法,则应存在数则应存在数于是于是即即设设和和是矩阵是矩阵的两个不同的特征值的两个不同的特征值,应的特征向量依次为应的特征向量依次为
13、和和证明证明有有设设是是的特征向量的特征向量,的特征向量的特征向量.不是不是使使对对故由上式得故由上式得因因由本节定理知由本节定理知线性无关线性无关,第25页，本讲稿共28页例例8证证用反证法用反证法,在数在数于是于是即即设设和和是矩阵是矩阵的两个不同的特征值的两个不同的特征值,应的特征向量依次为应的特征向量依次为和和证明证明设设是是的特征向量的特征向量,的特征向量的特征向量.不是不是使使对对故由上式得故由上式得因因由本节定理知由本节定理知线性无关线性无关,则应存则应存即即与题设矛盾与题设矛盾.因此因此不是不是的特征向量的特征向量.完完第26页，本讲稿共28页例例9证证即即正交矩阵的实特征值的绝对值为正交矩阵的实特征值的绝对值为设设为正交矩阵为正交矩阵,是方阵是方阵的对应于特征值的对应于特征值的特征向量的特征向量,则则因因又又所以所以得得注注:的特征值的特征值是特征方程是特征方程的的也是也是的根的根.根根,第27页，本讲稿共28页例例9证证正交矩阵的实特征值的绝对值为正交矩阵的实特征值的绝对值为注注:的特征值的特征值是特征方程是特征方程的的也是也是的根的根.根根,在教科书中在教科书中,上述两种表示法均可使用上述两种表示法均可使用.零解零解.的对应于特征值的对应于特征值的特征向量是齐次方程组的特征向量是齐次方程组的非零解的非零解,也是也是的非的非完完第28页，本讲稿共28页