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1、第1讲矩阵的特征值与特征向量第1页，此课件共18页哦第第1节节 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量一矩阵的特征值与特征向量的定义定义：设 A 是 一个矩阵，如果数 和 n 维非零列向量 x 使关系式 A x=x成立，那么，这样的数 称为矩阵 A 的特征值特征值，非零向量非零向量x 称为 A 的属于(或对应于)特征值 的特征向量特征向量。显然只有方阵才有可能定义特征值与特征向量。性质：若 x 是方阵 A的对应于 的特征向量，则 kx(k0)都是 A 的属于 的特征向量。性质说明，特征值更本质一点。第2页，此课件共18页哦二 矩阵的特征值与特征向量的确定 对方阵 A，设 和 x0 满足：
2、A x=x则有 (A E)x=0.上式意味着：对给定的，若该齐次线性方程组有非零解，则 为 A 的特征值，且该方程组的每一个非零解都是属于 的一个特征向量；反之若上式只有零解，则 不是特征值。上式有非零解的充分必要条件是|A-E|=0。这样就得到了确定特征值的方法，进而可确定其特征向量。第3页，此课件共18页哦|A-E|=0 对应于 这是以 为未知数的一元 n 次方程，称为方阵 A 的 特征方程特征方程。其左端|A-E|是 的 n 次多项式，记作 f()，即 f()=|A-E|称为方阵 A 的特征多项式特征多项式。前面的分析表明，A 的特征值就是特征方程的解，而 A 的特征方程的每一个解也都可
3、作成 A 的特征值。第4页，此课件共18页哦例例：求方阵A的行列式|A|，特征值与特征向量。其中解解：|A|=2;A 的特征多项式为所以A的特征值为：注意：第5页，此课件共18页哦第6页，此课件共18页哦例例：求方阵A的行列式|A|，特征值与特征向量。其中解解：|A|=-4;A 的特征多项式为所以A的特征值为：注意：第7页，此课件共18页哦第8页，此课件共18页哦方阵A的特征值应满足的关系式：由于特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数(重根按重数计算)，因此，n 阶矩阵 A=(aij)在复数范围内有 n 个特征值。不妨设它的n个复特征值为，则有对上式，取 =0，则有从而有将f()展开，
4、比较的n-1次方项的系数，可进一步得：=tr(A)(A的迹)第9页，此课件共18页哦三 矩阵A的特征值、特征向量与A的矩阵多项式之间的关系例：设 是方阵 A 的特征值，证明(1)2 是 A2 的特征值；(2)当 A 可逆时，-1 是 A-1 的特征值。证明证明：因 是 A 的特征值，故有 p0 使 Ap=p。于是(1)A2p=A(Ap)=A(p)=(Ap)=2 p，所以 2 是 A2 的特征值。(2)当 A 可逆时，由 Ap=p，有 p=A-1p，因 p0，故 0，故 A-1p=-1p,所以-1 是 A-1 的特征值。第10页，此课件共18页哦性质：1)当 k 取非负整数，若 是 A 特征值，
5、则 k 是 Ak 的特征值，且 A 的属于特征值 的特征向量 p 也是Ak 的对应于特征值 k 的特征向量。2)若 A 可逆，则 k 也可取负的整数。定理：若 f(x)是一个一般的多项式，是 A 的特征值，且 p 是对应于 的特征向量，则有 f()是 f(A)的特征值，且 p 是对应于 f()的特征向量。证明证明：设 f(x)=则 f(A)p=f()p.第11页，此课件共18页哦若 A 可逆，上述定理可得到进一步地扩充。不妨设 m,n 为任意正整数，则令 f(x)=可称为一个广义的多项式，它也可定义矩阵A的一个广义多项式如下 f(A)=则定理仍然成立。即若 是 A的特征值，则 f()是 f(A
6、)的特征值，且对应的特征向量p相同。第12页，此课件共18页哦例：设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1,-1,2，求|A*+3A-2E|。解解：3阶方阵有3个特征值，故其行列式为|A|=1(-1)2=-2 0,从而 A 可逆，故 上式对应的多项式为故其对应的特征值为：第13页，此课件共18页哦四 矩阵A的不同特征值的特征向量间的关系定理：矩阵的不同特征值的特征向量线性无关。证明证明：设 1,2,m是方阵 A 的 m 个互不相同的特征值，对应的特征向量分别为1,2,m。则需证明 1,2,m线性无关。第14页，此课件共18页哦第15页，此课件共18页哦例：例：第16页，此课件共18页哦定理：设 f()=|A-E|，则 f(A)=0.例：对上题的 A，由知 (A+E)(A-2E)2=0。展开则有：A3-3A2+4E=0。从而可计算：五五 矩阵特征多项式与矩阵间的一个关系式矩阵特征多项式与矩阵间的一个关系式第17页，此课件共18页哦例：例：由归纳法可证明上式成立。进一步可求得 A100。第18页，此课件共18页哦