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1、第三章第六讲曲率求法与方程求解2022/10/8泰山医学院信息工程学院 刘照军1第1页，本讲稿共29页第七节第七节 曲率曲率一、弧微分一、弧微分二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径四、曲率中心的计算公式四、曲率中心的计算公式 渐屈线渐屈线与渐伸线与渐伸线第2页，本讲稿共29页规定：规定：一、弧微分一、弧微分*第3页，本讲稿共29页单调增函数单调增函数第4页，本讲稿共29页曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量)弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大
2、)1 1、曲率的定义、曲率的定义二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式第5页，本讲稿共29页)yxo设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，（定义定义曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率第6页，本讲稿共29页注意注意:(1)(1)直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2)(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径且半径越小曲率越大越小曲率越大.2 2、曲率的计算公式、曲率的计算公式)yxo第7页，本讲稿共29页2004-4-10第8页，本讲稿共29页例例1 1解解显然显然,3、应用第9页，本讲稿共29页定义定义三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径第10页，本讲
3、稿共29页1.1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数为倒数.注意注意:2.2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲曲线在该点处的曲率越小率越小(曲线越平坦曲线越平坦););曲率半径越小曲率半径越小,曲率越大曲率越大(曲线曲线越弯曲越弯曲).).3.3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).).第11页，本讲稿共29页例例2 2 设工件内表面的截线为抛物线设工件内表面的截线为抛物线 .现在
4、要用现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？解解 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处曲率半径中的最小值曲率半径中的最小值.由本节例由本节例1 1可知，抛物线在其顶点可知，抛物线在其顶点处的曲率半径最小。因此处的曲率半径最小。因此所以，所以，K=0.8=0.8因而，求得抛物线顶点处的曲率半径因而，求得抛物线顶点处的曲率半径2、应用第12页，本讲稿共29页四、小节本讲主要讲述了函数图形的描绘
5、、注意做题步骤、曲线的曲率与曲率半径的定义。会用公式求解。第13页，本讲稿共29页五、作业 CT3-7 P177 3 4 8第14页，本讲稿共29页重点：本章基本内容及基本计算方法。难点：基本计算方法及应用。关键：微分中值定理的内容及灵活应用方法。第15页，本讲稿共29页一、问题的提出求近似实根的步骤：求近似实根的步骤：确定根的大致范围确定根的大致范围根的隔离根的隔离问题：问题：高次代数方程或其他类型的方程求精确根一高次代数方程或其他类型的方程求精确根一般比较困难般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计算方法希望寻求方程近似根的有效计算方法第16页，本讲稿共29页以根的隔离区间的端点作为根的初始
6、近似值，以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似实根确度要求的近似实根常用方法常用方法二分法和切线法（牛顿法）二分法和切线法（牛顿法）第17页，本讲稿共29页二、二分法作法：作法：第18页，本讲稿共29页总之，总之，第19页，本讲稿共29页第20页，本讲稿共29页例例解解如图如图第21页，本讲稿共29页计算得计算得:第22页，本讲稿共29页第23页，本讲稿共29页三、切线法定义定义用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法（牛求
7、出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法（牛顿法）顿法）第24页，本讲稿共29页如图，如图，第25页，本讲稿共29页如此继续，得根的近似值如此继续，得根的近似值第26页，本讲稿共29页例例解解第27页，本讲稿共29页代入代入(1),得得计算停止计算停止.第28页，本讲稿共29页四、小结求方程近似实根的常用方法求方程近似实根的常用方法:二分法、切线法（牛顿法）、割线法二分法、切线法（牛顿法）、割线法切线法实质切线法实质：特定的迭代法：特定的迭代法求方程的根的求方程的根的迭代法迭代法是指由根的近似值出发是指由根的近似值出发,通过递通过递推公式将近似值加以精确化的反复演算过程推公式将近似值加以精确化的反复演算过程.基本思想基本思想:优点优点:.形式简单便于计算形式简单便于计算;2.形式多样便于选择形式多样便于选择.第29页，本讲稿共29页