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1、2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军1第七节第七节 曲率曲率一、弧微分一、弧微分二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径四、曲率中心的计算公式四、曲率中心的计算公式 渐屈线渐屈线与渐伸线与渐伸线2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军2NRTA0 xMxxx xyo.),()(内具有连续导数内具有连续导数在区间在区间设函数设函数baxf),(:00yxA基点基点,),(为为任任意意一一点点yxM规定：规定：;)1(增增大大的的方方向向一一致致曲曲线线的的正正向向与与x,)2(sAM .,取负号取负号相反时相反时取正号取正号一致时一致时
2、的方向与曲线正向的方向与曲线正向当当ssAM一、弧微分一、弧微分*x y 2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军3).(xss 单调增函数单调增函数),(yyxxN 设设NTMTMNMN ,0时时当当 x22)()(yxMN xxy 2)(1,12dxy sMN ,ds22)()(dydxMT ,12dxy dyyNT , 0.12dxyds 故故,)(为为单单调调增增函函数数xss .12dxyds 故故NRTA0 xMxxx xyox y 2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军4曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量1M3M)2 2
3、M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1 )1 1、曲率的定义、曲率的定义二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军5) S S) .M .MC0Myxo设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，.0是基点是基点M, sMM （. 切线转角为切线转角为MM.sKMM 的的平平均均曲曲率率为为弧弧段段（定义定义sKs 0lim曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率,lim0存在的条件下存在的条件下在在dsdss .dsdK 2022-4-17泰山医学院信息
4、工程学院 刘照军6注意注意: : (1) (1) 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零; ;(2) (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数, ,且半径且半径越小曲率越大越小曲率越大. .2 2、曲率的计算公式曲率的计算公式,)(二二阶阶可可导导设设xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctan y 有有.12dxyds ) S S) .M .MC0Myxo2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军7,),(),(二阶可导二阶可导设设 tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()(
5、)()(322tttttdxyd 2004-4-102022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军8例例1 1?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(1 2232baxak 显然显然, ,2时时当当abx .最大最大k,)44,2(2为抛物线的顶点为抛物线的顶点又又aacbab .最最大大抛抛物物线线在在顶顶点点处处的的曲曲率率3、应用2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军9定义定义.),(,.1,).0(),()(处的曲率圆称此圆为曲线在点如图作圆为半径为圆心以使在凹的一侧取一点处的曲线的法线上在点处的曲率为在点设曲线
6、MDkDMDMkkyxMxfy,曲率中心曲率中心 D.曲曲率率半半径径 D)(xfy Mk1 xyo三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军101.1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数为倒数. .1,1 kk即即注意注意: :2.2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大, ,曲线在该点处的曲曲线在该点处的曲率越小率越小( (曲线越平坦曲线越平坦););曲率半径越小曲率半径越小, ,曲率越大曲率越大( (曲线曲线越弯曲越弯曲).).3.3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替
7、该点附近曲线曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧弧( (称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).).2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军11例例2 2 设工件内表面的截线为抛物线设工件内表面的截线为抛物线 . .现在要用现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？24 . 0 xy 解解 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处曲率半径中的最小值曲率半径中
8、的最小值. .由本节例由本节例1 1可知，抛物线在其顶点可知，抛物线在其顶点处的曲率半径最小。因此处的曲率半径最小。因此8 . 0, 08 . 0,8 . 000 xxyyyxy所以，所以，K=0.8=0.8因而，求得抛物线顶点处的曲率半径因而，求得抛物线顶点处的曲率半径25. 11 K 2、应用2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军12四、小节本讲主要讲述了函数图形的描绘、注意做题步骤、曲线的曲率与曲率半径的定义。会用公式求解。2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军13五、作业 CT3-7 P177 3 4 82022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军14重点：本章
9、基本内容及基本计算方法。难点：基本计算方法及应用。关键：微分中值定理的内容及灵活应用方法。2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军15一、问题的提出求近似实根的步骤：求近似实根的步骤：确定根的大致范围确定根的大致范围根的隔离根的隔离根根的的隔隔离离区区间间称称为为所所求求实实间间区区间间内内的的唯唯一一实实根根区区使使所所求求的的根根是是位位于于这这个个确确定定一一个个区区间间,baba问题：问题：高次代数方程或其他类型的方程求精确高次代数方程或其他类型的方程求精确根一般比较困难根一般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计希望寻求方程近似根的有效计算方法算方法2022-4-17泰山医学院
10、信息工程学院 刘照军16轴交点的大概位置轴交点的大概位置定出它与定出它与的图形，然后从图上的图形，然后从图上如图，精确画出如图，精确画出xxfy)( 以根的隔离区间的端点作为根的初始近似以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似实根满足精确度要求的近似实根常用方法常用方法二分法和切线法（牛顿法）二分法和切线法（牛顿法）2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军17二、二分法区区间间即即是是这这个个根根的的一一个个隔隔离离，于于是是内内仅仅有有一一个个实实根根在在且且方方程程，上上连连续续，在在区
11、区间间设设,),()(0)()(,)(babaxfbfafbaxf ；，那末，那末如果如果110)( f作法：作法：).(2,11 fbaba，计算，计算的中点的中点取取 2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军18,)()(1111bbaaff 同号，那末取同号，那末取与与如果如果);(210)()(111111ababbabfaf ，且，且，即知，即知由由 ,)()(1111 baabff同号，那末取同号，那末取与与如果如果);(211111ababba 及及也有也有 总之，总之，);(211111ababba 且且时，可求得时，可求得当当 2022-4-17泰山医学院信息工程学院
12、 刘照军19);(21)(21,2222211211ababbababa 且且时时，可可求求得得当当复复上上述述做做法法，作作为为新新的的隔隔离离区区间间，重重以以).(21,ababbannnnnn 且且可求得可求得次次如此重复如此重复 小于小于的近似值，那末其误差的近似值，那末其误差作为作为或或如果以如果以)(21abbannn 2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军20例例.10,04 . 19 . 01 . 1323 使误差不超过使误差不超过的实根的近似值的实根的近似值用二分法求方程用二分法求方程xxx解解, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令.),()(
13、内连续内连续在在显然显然xf, 9 . 02 . 23)(2 xxxf. 0)(, 049. 1 xf,),()(内单调增加内单调增加在在故故xf如图如图至至多多有有一一个个实实根根0)( xf2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军21, 06 . 1)1(, 04 . 1)0( ff.1 , 00)(内有唯一的实根内有唯一的实根在在 xf.1 , 0, 1, 0即即是是一一个个隔隔离离区区间间取取 ba计算得计算得:; 1, 5 . 0, 055. 0)(, 5 . 01111 baf故故 ;75. 0, 5 . 0, 032. 0)(,75. 02222 baf故故 ;75. 0
14、,625. 0, 016. 0)(,625. 02333 baf故故 ;687. 0,625. 0, 0062. 0)(,687. 04444 baf故故 2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军22;687. 0,656. 0, 0054. 0)(,656. 05555 baf故故 ;672. 0,656. 0, 0005. 0)(,672. 06666 baf故故 ;672. 0,664. 0, 0025. 0)(,664. 07777 baf故故 ;672. 0,668. 0, 0010. 0)(,668. 08888 baf故故 ;672. 0,670. 0, 0002. 0)
15、(,670. 09999 baf故故 .671. 0,670. 0, 0001. 0)(,671. 010101010 baf故故 .671. 0670. 0 .10,671. 0,670. 03 其误差都小于其误差都小于作为根的过剩近似值作为根的过剩近似值作为根的不足近似值作为根的不足近似值即即2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军23三、切线法是根的一个隔离区间是根的一个隔离区间，内有唯一个的实根内有唯一个的实根在在则方程则方程上保持定号上保持定号在在及及且且，上具有二阶导数，上具有二阶导数，在在设设,),()(,)()(0)()(,)(babaxfbaxfxfbfafbaxf
16、定义定义用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法（牛顿法）法（牛顿法）2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军24如图，如图，更接近方程的根更接近方程的根比比轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标线与线与作切线，这切作切线，这切那个端点（此端点记作那个端点（此端点记作同号的同号的在纵坐标与在纵坐标与 0100)(,()(xxxxfxxf ,0ax 令令).)()(000 xxxfxfy 则则切切线线方方程程为为ABxyoab 1x)(xfy 0)(, 0)(0)(, 0)( xfxf
17、bfaf2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军25作切线，作切线，在点在点)(,(11xfx.)()(1112xfxfxx 得根的近似值得根的近似值如此继续，得根的近似值如此继续，得根的近似值)1()()(111 nnnnxfxfxx.,)()(:0bxxfbf 可可记记同同号号与与如如果果注注意意,)()(0001xfxfxx 得得令令, 0 yABxyoab 1x)(xfy 2x2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军26例例.10,04 . 19 . 01 . 1323 使误差不超过使误差不超过的实根的近似值的实根的近似值用切线法求方程用切线法求方程xxx解解, 4 .
18、 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令. 0)1(, 0)0(.1 , 0 ff是是一一个个隔隔离离区区间间上，上，如图，在如图，在1 , 0, 02 . 26)( xxf, 09 . 02 . 23)(2 xxxf2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军27同号，同号，与与)()(xfxf . 10 x令令代入代入(1),得得;738. 0)1()1(11 ffx;674. 0)738. 0()738. 0(738. 02 ffx;671. 0)674. 0()674. 0(674. 03 ffx;671. 0)671. 0()671. 0(671. 04 ffx计算停止计
19、算停止.10,671. 03 其误差都小于其误差都小于得根的近似值为得根的近似值为2022-4-17泰山医学院信息工程学院 刘照军28四、小结求方程近似实根的常用方法求方程近似实根的常用方法:二分法、切线法（牛顿法）、割线法二分法、切线法（牛顿法）、割线法切线法实质切线法实质：特定的迭代法：特定的迭代法求方程的根的求方程的根的迭代法迭代法是指由根的近似值出发是指由根的近似值出发,通过通过递推公式将近似值加以精确化的反复演算过程递推公式将近似值加以精确化的反复演算过程.基本思想基本思想:)(0)(xxxf )()()(xfxfxx 优点优点: :.形式简单便于计算形式简单便于计算;2.形式多样便于选择形式多样便于选择.