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1、第三章第六讲曲率求法与方程求解2022/9/25泰山医学院信息工程学院 刘照军1本讲稿第一页，共二十九页第七节第七节 曲率曲率一、弧微分一、弧微分二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径四、曲率中心的计算公式四、曲率中心的计算公式 渐屈线渐屈线与渐伸线与渐伸线本讲稿第二页，共二十九页规定：规定：一、弧微分一、弧微分*本讲稿第三页，共二十九页单调增函数单调增函数本讲稿第四页，共二十九页曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量)弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲
2、程度越大)1 1、曲率的定义、曲率的定义二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式本讲稿第五页，共二十九页)yxo设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，（定义定义曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率本讲稿第六页，共二十九页注意注意:(1)(1)直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2)(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径且半径越小曲率越大越小曲率越大.2 2、曲率的计算公式、曲率的计算公式)yxo本讲稿第七页，共二十九页2004-4-10本讲稿第八页，共二十九页例例1 1解解显然显然,3、应用本讲稿第九页，共二十九页定义定义三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率
3、半径本讲稿第十页，共二十九页1.1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数为倒数.注意注意:2.2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率曲线在该点处的曲率越小越小(曲线越平坦曲线越平坦););曲率半径越小曲率半径越小,曲率越大曲率越大(曲线越弯曲线越弯曲曲).).3.3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).).本讲稿第十一页，共二十九页例例2 2 设工件内表面的截线为抛物线设工件内表面的
4、截线为抛物线 .现在要用现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？解解 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处曲率半径中的最小值曲率半径中的最小值.由本节例由本节例1 1可知，抛物线在其顶点可知，抛物线在其顶点处的曲率半径最小。因此处的曲率半径最小。因此所以，所以，K=0.8=0.8因而，求得抛物线顶点处的曲率半径因而，求得抛物线顶点处的曲率半径2、应用本讲稿第十二页，共二十九页四、小节本讲主
5、要讲述了函数图形的描绘、注意做题步骤、曲线的曲率与曲率半径的定义。会用公式求解。本讲稿第十三页，共二十九页五、作业 CT3-7 P177 3 4 8本讲稿第十四页，共二十九页重点：本章基本内容及基本计算方法。难点：基本计算方法及应用。关键：微分中值定理的内容及灵活应用方法。本讲稿第十五页，共二十九页一、问题的提出求近似实根的步骤：求近似实根的步骤：确定根的大致范围确定根的大致范围根的隔离根的隔离问题：问题：高次代数方程或其他类型的方程求精确根一般比高次代数方程或其他类型的方程求精确根一般比较困难较困难,希望寻求方程近似根的有效计算方法希望寻求方程近似根的有效计算方法本讲稿第十六页，共二十九页以
6、根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似实根确度要求的近似实根常用方法常用方法二分法和切线法（牛顿法）二分法和切线法（牛顿法）本讲稿第十七页，共二十九页二、二分法作法：作法：本讲稿第十八页，共二十九页总之，总之，本讲稿第十九页，共二十九页本讲稿第二十页，共二十九页例例解解如图如图本讲稿第二十一页，共二十九页计算得计算得:本讲稿第二十二页，共二十九页本讲稿第二十三页，共二十九页三、切线法定义定义用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出用曲线弧一端的切线来代替曲线
7、弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法（牛顿法）方程实根的近似值，这种方法叫做切线法（牛顿法）本讲稿第二十四页，共二十九页如图，如图，本讲稿第二十五页，共二十九页如此继续，得根的近似值如此继续，得根的近似值本讲稿第二十六页，共二十九页例例解解本讲稿第二十七页，共二十九页代入代入(1),得得计算停止计算停止.本讲稿第二十八页，共二十九页四、小结求方程近似实根的常用方法求方程近似实根的常用方法:二分法、切线法（牛顿法）、割线法二分法、切线法（牛顿法）、割线法切线法实质切线法实质：特定的迭代法：特定的迭代法求方程的根的求方程的根的迭代法迭代法是指由根的近似值出发是指由根的近似值出发,通过递推通过递推公式将近似值加以精确化的反复演算过程公式将近似值加以精确化的反复演算过程.基本思想基本思想:优点优点:.形式简单便于计算形式简单便于计算;2.形式多样便于选择形式多样便于选择.本讲稿第二十九页，共二十九页