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1、一、新课引入一、新课引入第1页，共25页，编辑于2022年，星期六ADBCEFGHab不等式：不等式：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。ABCDE(FGH)ab证明推导证明推导1：第2页，共25页，编辑于2022年，星期六结论：如果a、bR,那么 a+b2ab (当且仅当a=b时取“=”号)以公式(1)为基础,运用不等式的性质推导公式(2)这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法综合法。如果a、bR,那么有 (a-b)0 (1)把(1)式左边展开，得 a -2ab+b 0 a+b 2ab (2)
2、(2)式中取等号成立的充要条件是什么？式中取等号成立的充要条件是什么？证明推导证明推导2：第3页，共25页，编辑于2022年，星期六证明推导证明推导3：证明推导证明推导4：均值不等式的几何解释是均值不等式的几何解释是:半径不小于半弦半径不小于半弦.均值不等式的代数解释为均值不等式的代数解释为:两个正数的等差中项不小两个正数的等差中项不小它们的等比中项它们的等比中项.两个不等式的适用范围不同两个不等式的适用范围不同第4页，共25页，编辑于2022年，星期六结论推广结论推广公式公式 如果a1，a2，an 0，且 n1，那么 (a1+a2+an )/n 叫做这n个正数的算术平均数算术平均数，叫做这n
3、个正数的几何平均数几何平均数。a1a2a nn结论：n个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。如果a1，a2，an 0，且 n1，那么 (a1+a2+an )/n 第5页，共25页，编辑于2022年，星期六二、新课讲解二、新课讲解其中当且仅当其中当且仅当ab时取等号时取等号.第6页，共25页，编辑于2022年，星期六三、探索三、探索由a、b、cR，依次对其中的两个运用公式(2)，有a +b 2ab;b +c 2bc;c +a 2ca.把以上三式叠加，得 a +b +c ab+bc+ca（a、b、cR）(3)(当且仅当a=b=c时取“=”号)从以上推导过程中可以学到一种处理两项
4、以上的和式问题的数学思想与方法迭代与叠加迭代与叠加.证明：a +b +c ab+bc+ca（a、b、cR）(当且仅当a=b=c时取“=”号)第7页，共25页，编辑于2022年，星期六变式：变式：3种情况，种情况，5个结论个结论：第8页，共25页，编辑于2022年，星期六推广：推广：（1 1）两个正数积为定值，和有最小值。）两个正数积为定值，和有最小值。（2 2）两个正数和为定值，积有最大值。）两个正数和为定值，积有最大值。应用要点：应用要点：一正一正 二定二定 三相等三相等2、(04重庆）已知重庆）已知则则x y 的最大值是的最大值是 。练习：练习：1、当、当x0时，时，的最小值为的最小值为
5、，此，此时时x=。21思考：当思考：当x0时表达时表达式又有何最值呢？式又有何最值呢？第9页，共25页，编辑于2022年，星期六 3.基本不等式基本不等式(2)第10页，共25页，编辑于2022年，星期六一、复习引入一、复习引入第11页，共25页，编辑于2022年，星期六二、新课讲解二、新课讲解第12页，共25页，编辑于2022年，星期六第13页，共25页，编辑于2022年，星期六第14页，共25页，编辑于2022年，星期六例例3.已知已知lgx+lgy1，的最小值是的最小值是_.2第15页，共25页，编辑于2022年，星期六函数有最值，并求其最值。函数有最值，并求其最值。第16页，共25页，
6、编辑于2022年，星期六基本不等式基本不等式3-3-应用应用第17页，共25页，编辑于2022年，星期六例例1.1.用篱笆围一个面积为用篱笆围一个面积为100m100m2 2矩形菜园，矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所问这个矩形的长、宽各为多少时，所 用篱笆最短，最短的篱笆是多少？用篱笆最短，最短的篱笆是多少？练习练习1:1:已知直角三角形的面积等于已知直角三角形的面积等于5050，两条直角边各为多少时，两条直两条直角边各为多少时，两条直 角边的和最小，最小值是多少？角边的和最小，最小值是多少？结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值第18页，共25
7、页，编辑于2022年，星期六例例2.2.用一段长为用一段长为36m36m的篱笆围成一个矩形菜的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？菜园的面积最大，最大面积是多少？练习练习2:2:用用20cm20cm长的铁丝折成一个面积最大长的铁丝折成一个面积最大的矩形的矩形,应当怎样折应当怎样折?结论结论2 2：两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值注注意意：在在使使用用“和和为为常常数数，积积有有最最大大值值”和和“积积为为常常数数，和和有有最最小小值值”这这两两个个结结论论时时，应应验验证证三三
8、点点：“一一正正、二二定定、三三相相等等”后才能取最值后才能取最值.当条件不完全具备时，应创造条件当条件不完全具备时，应创造条件.第19页，共25页，编辑于2022年，星期六例3:某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四周围墙建造单价为周围墙建造单价为400元元/m，中间两道隔墙建造，中间两道隔墙建造单价为单价为248元元/m，池底建造单价为，池底建造单价为80元元/m2，水，水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长和宽，使总
9、造价最低，并求出最底造价。长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。分析：分析：设污水处理池的长为 x m,总造价为y元，（1）建立 x 的函数 y；（2）求y的最值.第20页，共25页，编辑于2022年，星期六设污水处理池的长为 x m,总造价为y元，则解解：y=400(2x+200/x2)+248(2200/x)+80200=800 x+259200/x+16000.当且仅当800 x=259200/x,即x=18时，取等号。答答：池长18m，宽100/9 m时，造价最低为30400元。某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如上图
10、）。如果池四的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四周围墙建造单价为周围墙建造单价为400元元/m，中间两道隔墙建造，中间两道隔墙建造单价为单价为248元元/m，池底建造单价为，池底建造单价为80元元/m2，水，水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。第21页，共25页，编辑于2022年，星期六练习练习3.3.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其 容积为容积为4800m4800m3 3,深为深为3m,3m,如果池底每如果池底每1m1m2
11、 2的造的造 价为价为150150元，池壁每元，池壁每1m1m2 2的造价为的造价为120120元，元，问怎样设计水池能使总造价最低？问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？最低总造价是多少元？【解解题题回回顾顾】用用不不等等式式解解决决有有关关实实际际应应用用问问题题，一一般般先先要要将将实实际际问问题题数数学学化化，建建立立所所求求问问题题的的代代数数式式，然然后后再再据据此此确确定定是是解解不不等等式式，还还是是用不等式知识求目标函数式的最值用不等式知识求目标函数式的最值.第22页，共25页，编辑于2022年，星期六 若正数若正数x、y满足满足x+2y1.求求 的最小值的最小值
12、.【解题回顾解题回顾】本题常有以下错误解法：本题常有以下错误解法：错误的原因在两次运用错误的原因在两次运用平平均均不不等等式式的的时时候候取取等等号号的的条条件件矛矛盾盾.(第第一一次次须须x2y，第第二二次须次须xy).求求条条件件极极值值的的问问题题，基基本本思思想想是是借借助助条条件件化化二二元元函函数数为为一一元元函函数数，代代入入法法是是最最基基本本的的方方法法，代代换换过过程程中中应应密密切切关关注注字字母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法.练习练习4.第23页，共25页，编辑于2022年，星期六5.“a0且且b0”是是“”成立的成立的()(
13、A)充分而非必要条件充分而非必要条件 (B)必要而非充分条件必要而非充分条件 (C)充要条件充要条件 (D)既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件 6.甲甲、乙乙两两车车从从A地地沿沿同同一一路路线线到到达达B地地，甲甲车车一一半半时时间间的的速速度度为为a，另另一一半半时时间间的的速速度度为为b；乙乙车车用用速速度度a行行走走了了一一半半路路程程，用用速速度度b行行走走了了另另一一半半路路程程，若若ab，则则两两车车到到达达B地地的的情况是情况是()(A)甲车先到达甲车先到达B地地 (B)乙车先到达乙车先到达B地地 (C)同时到达同时到达 (D)不能判定不能判定 AA第24页，共25页，编辑于2022年，星期六7.某某公公司司租租地地建建仓仓库库，每每月月土土地地占占用用费费y1与与仓仓库库到到车车站站的的距距离离成成反反比比，而而每每月月库库存存货货物物的的运运费费y2与与到到车车站站的的距距离离成成正正比比，如如果果在在距距离离车车站站10公公里里处处建建仓仓库库，这这两两项项费费用用y1和和y2分分别别为为2万万元元和和8万万元元，那那么么要要使使这这两两项项费费用用之之和和最最小小，仓仓库库应应建建在在离离车车站站()(A)5公公里里 (B)4公公里里 (C)3公公里里 (D)2公里公里 C第25页，共25页，编辑于2022年，星期六