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1、第四章线性系统的根轨迹法第1页，本讲稿共77页4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念一、根轨迹定义一、根轨迹定义 开环传递函数的某个参数由开环传递函数的某个参数由0时，闭环特征根在时，闭环特征根在s平面上移动的平面上移动的轨迹。轨迹。例例1：如图所示二阶系统，试绘：如图所示二阶系统，试绘制其根根轨迹。制其根根轨迹。解：解：系统开环传递函数为：系统开环传递函数为：闭环传递函数：闭环传递函数：-第2页，本讲稿共77页jw-2-112-1-2s闭环特征方程为：闭环特征方程为：特征根为：特征根为：讨论讨论：.当当K=0时，时，s1=0,s2=-2当当K=0.125时，时，s1=-0.13,s2=
2、-1.866当当K=0.25时，时，s1=-0.29,s2=-1.707当当K=0.5时，时，s1=-1,s2=-1当当K=1时，时，s1=-1+j,s2=-1-j当当K=2.5时，时，s1=-1+2j,s2=-1-2j当当K=时，时，s1=-1+j,s2=-1-j第3页，本讲稿共77页二二.根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能1.稳定性稳定性 根轨迹不会穿越虚轴进入右半根轨迹不会穿越虚轴进入右半s平面，则系统稳平面，则系统稳定，如果根轨迹越过虚轴进入定，如果根轨迹越过虚轴进入s右半平面，此时根轨右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处的迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。值，就是临界开环增益。jw-
3、2-112-1-2s.2.稳态性能稳态性能由坐标原点处的极点数确定系统类型；由坐标原点处的极点数确定系统类型；若给定系统的稳态误差要求，则可以确定闭环若给定系统的稳态误差要求，则可以确定闭环极点位置的容许范围。极点位置的容许范围。第4页，本讲稿共77页3.动态性能动态性能K=0时，根轨迹均在时时，根轨迹均在时s平面的左半部分平面的左半部分，系统始终稳定系统始终稳定；(1)0K0.5时，时，一对共轭复根，一对共轭复根，欠阻尼系统欠阻尼系统，阶跃，阶跃响应为阻尼振荡过程。响应为阻尼振荡过程。问题在于逐点计算工作量大，若要更有效的绘制问题在于逐点计算工作量大，若要更有效的绘制根轨迹就必须找出绘根轨迹
4、的规律根轨迹就必须找出绘根轨迹的规律jw-2-112-1-2s.第5页，本讲稿共77页三、闭环零极点与开环零极点的关系三、闭环零极点与开环零极点的关系典型闭环系统结构图典型闭环系统结构图前向通路前向通路传函传函：KG*-前向通路根轨迹增益前向通路根轨迹增益KH*-反馈通路根轨迹增益反馈通路根轨迹增益反馈通路反馈通路传函传函：第6页，本讲稿共77页开环传递函数：开环传递函数：K*-开环系统根轨迹增益开环系统根轨迹增益闭环传递函数为：闭环传递函数为：第7页，本讲稿共77页(1)闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。对于单位反馈系统，
5、闭环系统根轨迹增益等于开环系统对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹益。根轨迹益。(2)闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递数的极点所组成。传递数的极点所组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。(3)闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。结论结论第8页，本讲稿共77页四、根轨迹方程四、根轨迹方程闭环特征方程：闭环特征方程：-根轨迹方程根轨迹方程五、模值条件方程和相角条件方程五、模值条件方程和相角条件方程第9页，本
6、讲稿共77页模值条件：模值条件：相角条件：相角条件：注释：注释：1.根轨迹上的点应同时满足上两个方程；根轨迹上的点应同时满足上两个方程；2.相角条件方程与相角条件方程与K*无关，模值方程才与无关，模值方程才与K*相关；相关；3.模值条件用来确定对应的模值条件用来确定对应的K*；4.相角条件是决定根轨迹的相角条件是决定根轨迹的充要条件充要条件，s平面上一点平面上一点s1若满足相角条若满足相角条件即为根轨迹上的一点。件即为根轨迹上的一点。第10页，本讲稿共77页绘制根轨迹方法：绘制根轨迹方法：1.试探法：任选试探法：任选s1点看是否满足相角条件；点看是否满足相角条件；2.按基本规则按基本规则(如下
7、节讲述如下节讲述)手工绘制；手工绘制；3.用计算机绘制。用计算机绘制。一些约定一些约定：在根轨迹图中，在根轨迹图中，“”表示表示开环极点开环极点，“”表示开环表示开环有限值有限值零点零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的方向。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的方向。“.”表示表示根轨迹上的点。根轨迹上的点。第11页，本讲稿共77页4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则一、绘制根轨迹的基本法则一、绘制根轨迹的基本法则法则法则1.根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，若根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，若nm，则有，则有n-m条根轨迹终
8、止于无穷远处。条根轨迹终止于无穷远处。第12页，本讲稿共77页K*=0时时必有必有K*=时时必有必有-起点起点-终点终点若若nm，那么剩余的，那么剩余的n-m个终点在哪里？个终点在哪里？答案：在无穷远处。答案：在无穷远处。n-m个无限远零点个无限远零点第13页，本讲稿共77页法则法则2.根轨迹根轨迹的分支数、对称性和的分支数、对称性和连续性连续性 根轨迹的分支数与开环有限零点根轨迹的分支数与开环有限零点m和有限极点和有限极点n中的大者相等，中的大者相等，它们是连续的且对称于实轴。它们是连续的且对称于实轴。根轨迹的分支数与开环极点数根轨迹的分支数与开环极点数n相等相等(nm)，或与开环有，或与开
9、环有限零点数限零点数m相等相等(nm时：时：n-m条根轨迹沿着条根轨迹沿着渐近线渐近线趋向无穷远处。趋向无穷远处。与实轴的交点：与实轴的交点：与实轴的夹角：与实轴的夹角：0000第17页，本讲稿共77页例例2.系统开环传递函数为：系统开环传递函数为：，试确定根轨迹分支数、，试确定根轨迹分支数、起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴的交点和夹角。起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴的交点和夹角。解解：根轨迹有根轨迹有3条；条；起点为起点为开环极点：开环极点：p1=0，p2=-1，p3=-5；因无有限值零点，所以因无有限值零点，所以3条根轨迹条根轨迹都趋向无穷远。都趋向无穷远。与实轴
10、的交点：与实轴的交点：与实轴的夹角：与实轴的夹角：零极点分布和渐近线如图所示：零极点分布和渐近线如图所示：第18页，本讲稿共77页法则法则5.根轨迹的分离点与分离角根轨迹的分离点与分离角 若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分离点若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。或会合点。分离点在两极点之间，会合点在两零点之间。闭环特分离点在两极点之间，会合点在两零点之间。闭环特征方程有重根。征方程有重根。jw-2-112-1-2s分离点分离点A-分离点分离点 B-会合点会合点分离角：分离角：l-根轨迹分支数根轨迹分支数第19页，本讲稿共77页求取分离点的方法求取分离
11、点的方法(1)用试探法求解：用试探法求解：若系统无有限零点：若系统无有限零点：例例3例例4-1.系统结构图如图所示，系统结构图如图所示，试绘制该系统概略根轨迹。试绘制该系统概略根轨迹。1.开环零极点：开环零极点：解：解：第20页，本讲稿共77页3.渐近线：渐近线：2.实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-3,-2 -1,04.分离点：分离点：实轴区域实轴区域-2,-3 必有必有一个根轨迹的分离点一个根轨迹的分离点d，d 满足分离点方程：满足分离点方程：解得：解得：第21页，本讲稿共77页(3)牛顿余数定理法牛顿余数定理法步骤：步骤：(1)求出求出 ；(2)设设 ；(3)在其分离点可能出现的实轴坐标
12、附近找一试探点在其分离点可能出现的实轴坐标附近找一试探点s1；(4)用用(s-s1)去除去除P(s)，得到商，得到商Q(s)、余数、余数R1；(5)用用(s-s1)去除去除Q(s)，得到余数，得到余数R2；(6)计算计算s2=s1-R1/R2；(7)将将s2 作为新的试探点重复步骤作为新的试探点重复步骤(4)(6)。第23页，本讲稿共77页例例4.试用试用牛顿余数定理法牛顿余数定理法确定例确定例3的分离点。的分离点。解：解：因因-3,-2内必有分离点，所以选内必有分离点，所以选s1=-2.5。第24页，本讲稿共77页所以，分离点为所以，分离点为-2.47。第25页，本讲稿共77页例例5.单位反
13、馈系统的开环传递函数为：单位反馈系统的开环传递函数为：试确定实轴上根轨迹的分离点。试确定实轴上根轨迹的分离点。解：解：实轴上根轨迹区间是：实轴上根轨迹区间是：(-,-5-1,0显然，分离点为显然，分离点为-0.4725，而，而-3.5275不是分离点。不是分离点。闭环特征方程为：闭环特征方程为：(舍去舍去)(1)极值法极值法第26页，本讲稿共77页因因-1,0内必有分离点，所以选内必有分离点，所以选s1=-0.5。所以，分离点为所以，分离点为-0.472。(2)牛顿余数定理法牛顿余数定理法第27页，本讲稿共77页法则法则6.根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角起始起始(出射出射)角角p
14、i：起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与正实轴正实轴的夹角。的夹角。第28页，本讲稿共77页终止终止(入射入射)角角j j zi：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与正实轴正实轴的夹角。的夹角。第29页，本讲稿共77页例例6.如图，试确定根轨迹离开复数共轭极点的如图，试确定根轨迹离开复数共轭极点的起始起始角。角。p1=-1+j1，p2=-1-j1，p3=0，p4=-3，z1=-2根据对称性，可知根据对称性，可知 p2点的出射角为：点的出射角为：注意：注意：相角要注意符号：逆时针为正，顺时针为负；相角要注意符号：逆时
15、针为正，顺时针为负；注意矢量的方向。注意矢量的方向。解：解：tanj j 1 1=1j j 1 1=452=903=135tan4=0.54=26.6取取k=0(考虑到周期性考虑到周期性)：p1=-26.6p2=-p1=26.6第30页，本讲稿共77页例例7例例4-3.系统系统开环传递函数如下，试绘制该系统概略根轨迹。开环传递函数如下，试绘制该系统概略根轨迹。3.渐近线：渐近线：解：解：2.实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：1.开环零极点：开环零极点：n-m=1，只有一条，只有一条180o渐进线。渐进线。4.分离点：分离点：无分离点。无分离点。(，-2.5 -1.5，0第31页，本讲稿共77页-
16、1-2108.59059 37 19 56.5 起始角：起始角：5.起始角起始角和终止角和终止角：第32页，本讲稿共77页90 121 153 199 63.5 117 终止角：终止角：第33页，本讲稿共77页概略根轨迹图概略根轨迹图 第34页，本讲稿共77页法则法则7.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环特征方程至少有一对共轭虚根，这时的增益称为特征方程至少有一对共轭虚根，这时的增益称为临界根轨迹增临界根轨迹增益益。交点和交点和临界根轨迹增益临界根轨迹增益的求法：的求法：(1)由劳斯稳定判据求解
17、；由劳斯稳定判据求解；(2)令令s=jw w，代入闭环特征方程中，使实、虚部分别为零，代入闭环特征方程中，使实、虚部分别为零，求出求出w w 和和K*。第35页，本讲稿共77页解：解：方法一方法一例例8.，试求根轨迹与虚轴的交点。，试求根轨迹与虚轴的交点。K*=0 w w=0 舍去舍去(根轨迹的起点根轨迹的起点)与虚轴的交点与虚轴的交点:闭环系统的特征方程为：闭环系统的特征方程为：s=jw w第36页，本讲稿共77页方法二：用劳思稳定判据确定方法二：用劳思稳定判据确定交点交点的值。的值。劳思表为：劳思表为：s2的辅助方程：的辅助方程：K*=30 当当s1行等于行等于0时，时，特征方程可能出现纯
18、虚根。特征方程可能出现纯虚根。即即第37页，本讲稿共77页法则法则8.根之和根之和当当n-m2时：时：对于任意的对于任意的K*闭环极点之和等于开环极点之和为常数。闭环极点之和等于开环极点之和为常数。表明：表明：当当K*变化时，部分闭环极点在复平面上向右移动变化时，部分闭环极点在复平面上向右移动(变大变大)，则，则另一些极点必然向左移动另一些极点必然向左移动(变小变小)。该规则的作用：该规则的作用：(1)定性判断根轨迹的走向；定性判断根轨迹的走向；(2)已知几个闭环根可以求出其他一个或两个根。已知几个闭环根可以求出其他一个或两个根。第38页，本讲稿共77页小结小结需掌握绘制根轨迹的需掌握绘制根轨
19、迹的8 8个准则个准则根轨迹的起点和终点；根轨迹的起点和终点；根轨迹的分支数、对称性和连续性；根轨迹的分支数、对称性和连续性；实轴上根轨迹；实轴上根轨迹；根轨迹的渐近线；根轨迹的渐近线；根轨迹的分离点与分离角；根轨迹的分离点与分离角；根轨迹的根轨迹的起始角和终止角；起始角和终止角；根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点；根之和。根之和。第39页，本讲稿共77页1.标注开环极点和零点标注开环极点和零点(纵、横坐标用相同的比例尺纵、横坐标用相同的比例尺)；2.实轴上的根轨迹；实轴上的根轨迹；3.n-m条渐近线；条渐近线；4.根轨迹的根轨迹的起始角和终止角起始角和终止角；5.根轨迹与虚轴的交点；根轨迹
20、与虚轴的交点；6.根轨迹的分离点；根轨迹的分离点；结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的分支数、起始点结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的分支数、起始点和终点、根之和等性质画出根轨迹。和终点、根之和等性质画出根轨迹。根轨迹作图步骤根轨迹作图步骤第40页，本讲稿共77页例例9例例4-4系统系统开环传递函数如下，试绘制该系统概略根轨开环传递函数如下，试绘制该系统概略根轨迹。迹。3.渐近线：渐近线：4.起始角：起始角：1.开环零极点：开环零极点：2.实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：解：解：-3，0第41页，本讲稿共77页5.分离点：分离点：6.与虚轴的交点：与虚轴的交点：劳思表为：劳思表为：第42页，
21、本讲稿共77页当当s1行等于行等于0时，时，特征方程可能出现纯虚根。特征方程可能出现纯虚根。即即K*=8.16 s2的辅助方程：的辅助方程：概略根轨迹图概略根轨迹图第43页，本讲稿共77页3.渐近线：渐近线：例例10.开环传递函数为：开环传递函数为：，试绘制该系统概试绘制该系统概略根轨迹。略根轨迹。4.起始角：起始角：1.开环零极点：开环零极点：2.实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：解：解：(，0第44页，本讲稿共77页5.与虚轴的交点：与虚轴的交点：特征方程：特征方程：s=j-舍去舍去(起点起点)第45页，本讲稿共77页6.分离点：分离点：由图可知这两点并不在根轨迹上，所以由图可知这两点并不在
22、根轨迹上，所以并非分离点。并非分离点。特征方程：特征方程：概略根轨迹图概略根轨迹图第46页，本讲稿共77页开环极点、零点分布及其相应的根轨迹开环极点、零点分布及其相应的根轨迹第47页，本讲稿共77页二二、闭环极点的确定闭环极点的确定 上面绘制根轨迹的基本原则，可以简便地绘制系统根轨迹的上面绘制根轨迹的基本原则，可以简便地绘制系统根轨迹的大致图形。为了得到准确的根轨迹曲线，必要时可以选取若干个大致图形。为了得到准确的根轨迹曲线，必要时可以选取若干个试验点，用相角条件去检验。试验点，用相角条件去检验。方法：方法：根据模值条件先用试探法确定实数闭环极点的数值；根据模值条件先用试探法确定实数闭环极点的
23、数值；用综合除法得到其余闭环极点。用综合除法得到其余闭环极点。第48页，本讲稿共77页4.3 广义根轨迹广义根轨迹-以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹一、参数根轨迹一、参数根轨迹 在控制系统中，除根轨迹增益在控制系统中，除根轨迹增益K*以外，其它情形下的根轨迹统以外，其它情形下的根轨迹统称为广义根轨迹。称为广义根轨迹。闭环特征方程：闭环特征方程：变换变换当系统有两个参数变化时，所绘出的根轨迹称谓当系统有两个参数变化时，所绘出的根轨迹称谓根轨迹簇根轨迹簇。等效开环传递函数：等效开环传递函数：利用此式画出的根轨迹，就是以参数利用此式画出的根轨迹，就是以参数A为变量
24、的参数根轨迹。为变量的参数根轨迹。第49页，本讲稿共77页列出系统的闭环特征方程；列出系统的闭环特征方程；以特征方程中不含参变量的各项除特征方程，得等效的以特征方程中不含参变量的各项除特征方程，得等效的系统根轨迹方程。该参数称为等效系统的根轨迹增益；系统根轨迹方程。该参数称为等效系统的根轨迹增益；用已知的方法绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的用已知的方法绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参数根轨迹。参数根轨迹。绘制参数根轨迹的步骤绘制参数根轨迹的步骤第50页，本讲稿共77页-解解：例例1 1：绘制如下系统以绘制如下系统以a为参数的根轨迹。为参数的根轨迹。闭环特征方程为：闭环特征方程为：等效的开
25、环传递函数为：等效的开环传递函数为：1.开环零极点：开环零极点：2.实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：(，0第51页，本讲稿共77页3.渐近线：渐近线：4.初始角：初始角：5.分离点：分离点：-2-10-2-1012第52页，本讲稿共77页例例2例例4-7设单位反馈系统的开环传递函数设单位反馈系统的开环传递函数如下，其中开环增益可如下，其中开环增益可自行选定。试分析时间常数自行选定。试分析时间常数Ta 对系统性能的影响。对系统性能的影响。解解：闭环特征方程为：闭环特征方程为：第53页，本讲稿共77页等效开环极点：等效开环极点：选定不同选定不同K值，然后将值，然后将G1(s)的零、极点画在的零、极
26、点画在 s 平面上，再令平面上，再令Ta=0 绘制出绘制出Ta变化时的参数根轨迹。变化时的参数根轨迹。等效的开环传递函数为：等效的开环传递函数为：第54页，本讲稿共77页参数根轨迹簇参数根轨迹簇第55页，本讲稿共77页二、附加开环零、极点的作用二、附加开环零、极点的作用 根轨迹的形状、位置完全取决于系统的开环零、极点，因此根轨迹的形状、位置完全取决于系统的开环零、极点，因此可以通过增加开环零、极点来改造根轨迹，从而实现改善系统的可以通过增加开环零、极点来改造根轨迹，从而实现改善系统的目的。目的。1.增加开环极点增加开环极点一般说，在一般说，在s左半平面增加极点，左半平面增加极点，对根轨迹的影响
27、对根轨迹的影响：(1)改变根轨迹在实轴上的分布；改变根轨迹在实轴上的分布；(2)改变根轨迹渐近线的条数、倾角；改变根轨迹渐近线的条数、倾角；(3)改变根轨迹的分支数；改变根轨迹的分支数；(4)促使根轨迹促使根轨迹右移，降低系统的相对稳定性。右移，降低系统的相对稳定性。第56页，本讲稿共77页实例实例(1)增加一个实数极点增加一个实数极点 轨迹向右弯曲，极点对系统稳定不利轨迹向右弯曲，极点对系统稳定不利，极点越靠近虚轴影极点越靠近虚轴影响越大。响越大。稳定稳定K*小时稳定小时稳定K*大时可能不稳定大时可能不稳定第57页，本讲稿共77页(2)增加一对共轭复数极点增加一对共轭复数极点第58页，本讲稿
28、共77页2.增加开环零点增加开环零点增加开环零点对根轨迹的影响增加开环零点对根轨迹的影响：(1)改变根轨迹在实轴上的分布；改变根轨迹在实轴上的分布；(2)改变根轨迹渐近线的条数、倾角；改变根轨迹渐近线的条数、倾角；(3)若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近，若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近，构成开构成开环偶极子，则两者相互抵消环偶极子，则两者相互抵消(因此，可加入一个零点来抵消因此，可加入一个零点来抵消有损于系统性能的极点有损于系统性能的极点)；(4)促使根轨迹促使根轨迹左移，系统的稳定性增强。左移，系统的稳定性增强。第59页，本讲稿共77页(1)增加一个增加一个实数实数零点零点
29、增加的零点使根轨迹左偏，对系统稳定有利，增加的零点使根轨迹左偏，对系统稳定有利，越靠近虚轴越靠近虚轴影响越大。影响越大。实例实例第60页，本讲稿共77页(2)增加一对轭复数零点增加一对轭复数零点第61页，本讲稿共77页三、零度根轨迹三、零度根轨迹常规根轨迹的相角条件：常规根轨迹的相角条件：(2k+1)p p=180o+2kp p-180o根轨迹根轨迹零度根轨迹的相角条件：零度根轨迹的相角条件：2kp p=0o+2kp p零度根轨迹的来源：零度根轨迹的来源：1.非最小相位系统非最小相位系统(系统在系统在s平面的右半侧有开环零极点平面的右半侧有开环零极点)中包含中包含s最高次幂的系数为负的因子；最
30、高次幂的系数为负的因子；2.控制系统中包含有正反馈内回路。控制系统中包含有正反馈内回路。负反馈系统根轨迹称为负反馈系统根轨迹称为180o根轨迹根轨迹或简称为根轨迹；或简称为根轨迹；正反馈系统根轨迹称为正反馈系统根轨迹称为0o根轨迹根轨迹。因此：因此：第62页，本讲稿共77页零度根轨迹的绘制零度根轨迹的绘制+闭环传递函数：闭环传递函数：根轨迹方程：根轨迹方程：模值条件：模值条件：相角条件：相角条件：第63页，本讲稿共77页绘制绘制0 0度根轨迹的准则度根轨迹的准则(修改的准则修改的准则)法则法则3.实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：法则法则4.渐近线的夹角：渐近线的夹角：法则法则6.初始角和终止角
31、：初始角和终止角：初始角：初始角：终止角：终止角：其其右侧右侧实轴上的开环零、极点个数之和实轴上的开环零、极点个数之和为为偶数偶数(包括包括0)的区域的区域。第64页，本讲稿共77页例例1：设单位正反馈系统的开环传递函数为：设单位正反馈系统的开环传递函数为：试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。1.开环零极点：开环零极点：解解：2.实轴上：实轴上：3.渐近线：渐近线：p1=0 p2=-1 p3=-5-5，-1 0，+)第65页，本讲稿共77页4.分离点：分离点：根轨迹图根轨迹图第66页，本讲稿共77页例例2例例4-8 设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别如下，试设具有正反馈回路系统的内回
32、路传递函数分别如下，试绘制该回路的根轨迹图。绘制该回路的根轨迹图。1.开环零极点：开环零极点：解解：2.实轴上：实轴上：3.渐近线：渐近线：(-，-3，-2，+)第67页，本讲稿共77页4.分离点：分离点：经整理：经整理：5.起始角：起始角：根轨迹图根轨迹图6.确定临界开环增益：确定临界开环增益：s=0时时第68页，本讲稿共77页比较正负反馈的根轨迹方程：比较正负反馈的根轨迹方程：若开环传递函数为：若开环传递函数为：则正负反馈的根轨迹方程分别为：则正负反馈的根轨迹方程分别为：可见，正反馈根轨迹相当于负反馈根轨迹的可见，正反馈根轨迹相当于负反馈根轨迹的K*从从0-时的时的根轨迹。所以，可将正负反
33、馈系统的根轨迹合并，得根轨迹。所以，可将正负反馈系统的根轨迹合并，得-K*+时的整个区间的根轨迹。时的整个区间的根轨迹。第69页，本讲稿共77页正反馈正反馈(0度度)根轨迹图根轨迹图将例将例1给出的开环传递函数分别绘制正负根轨迹图如下：给出的开环传递函数分别绘制正负根轨迹图如下：负反馈负反馈(180度度)根轨迹图根轨迹图第70页，本讲稿共77页4.4 系统性能的分析系统性能的分析一、稳定性一、稳定性 如果闭环极点全部位于如果闭环极点全部位于s左半平面，则系统一定是稳定的，即稳左半平面，则系统一定是稳定的，即稳定只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。定只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置
34、无关。二、运动形式二、运动形式如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极 点，则时间响应点，则时间响应一定是单调的；一定是单调的；如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。第71页，本讲稿共77页三、超调量三、超调量四、调节时间四、调节时间 调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实数调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实数绝对值绝对值s s1=zwzwn，如果实数极点距虚，如果实数极点距虚 轴最近，并且它附近没有实轴最近，并且它附近没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值。数
35、零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值。超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率 ，并与其它闭环零、极点接，并与其它闭环零、极点接 近坐标原近坐标原点的程度有关。点的程度有关。第72页，本讲稿共77页五、实数零、极点影响五、实数零、极点影响 零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；极点增加系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。它极点增加系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。它们的作用，随着其本身接近坐标原点的程度而加强。们的作用，随着其本身接近坐标原点的程度而加强。六、偶极子及其处理六、偶极子及其处
36、理 如果零、极点之间的距离比它们本身模值小一个数量如果零、极点之间的距离比它们本身模值小一个数量级，则它们就构成了偶极子。远离原点的偶极子，其影响级，则它们就构成了偶极子。远离原点的偶极子，其影响可略；接近原点的偶极子，其影响必须考虑。可略；接近原点的偶极子，其影响必须考虑。第73页，本讲稿共77页七、主导极点七、主导极点 在在s平面上，最靠近虚轴而附近又无闭环零点的一些闭环平面上，最靠近虚轴而附近又无闭环零点的一些闭环极点，对系统性能影响最大，称为主导极点，凡比主导极点极点，对系统性能影响最大，称为主导极点，凡比主导极点的实部大的实部大6倍以上的其他闭环零、极点，其影响均可忽略。倍以上的其他
37、闭环零、极点，其影响均可忽略。第74页，本讲稿共77页补充：利用补充：利用MATLAB绘制根轨迹图绘制根轨迹图一、求开环传递函数的零、极点一、求开环传递函数的零、极点例：已知系统的开环传递函数：例：已知系统的开环传递函数：，求系统开环零、极点的位置。求系统开环零、极点的位置。num=2 5 1;den=1 2 2;pzmap(num,den);title(pole-zero Map);开环传递函数分子系数，降幂排列开环传递函数分子系数，降幂排列开环传递函数分母系数，降幂排列开环传递函数分母系数，降幂排列求零极点函数求零极点函数打印标题打印标题解：打开解：打开Matlab，创建一个，创建一个m文
38、件，输入下列程序片段：文件，输入下列程序片段：第75页，本讲稿共77页二、绘制常规根轨迹二、绘制常规根轨迹例：已知系统的开环传递函数：例：已知系统的开环传递函数：，试绘制该系统的根轨迹图。试绘制该系统的根轨迹图。num=2 5 1;den=1 2 2;axis equal;rlocus(num,den);title(控制系统根轨图控制系统根轨图);k,p=rlocfind(num,den);绘制根轨迹函数绘制根轨迹函数求十字光标处的闭环极点求十字光标处的闭环极点selected_point=-1.0456+0.5062i第76页，本讲稿共77页本章要求本章要求 1.了解了解根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念；2.掌握掌握根轨迹绘制的基本法则、能绘制常规根轨迹根轨迹绘制的基本法则、能绘制常规根轨迹(重点重点)；3.了解广义根轨迹了解广义根轨迹(难难点点)。第77页，本讲稿共77页