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1、单调性与最大小值第1页，共31页，编辑于2022年，星期五 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律反映了相应函数的哪些变化规律：1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随随x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？第2页，共31页，编辑于2022年，星期五问题问题1画出画出f(x)=x的图像，并观察其图像。的图像，并观察其图像。2、在在区区间间 _上上，随随着着x的的增增大大，f(x)的的值值随随着着 _.o5-5-55f(x)=x1、从左至右图象上升还是下降、从左至右图象
2、上升还是下降 _?上升上升增大增大第3页，共31页，编辑于2022年，星期五1、在区间、在区间 _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而 _.问题问题2画出画出 的图像，并观察图像的图像，并观察图像.o5-5-552、在在区区间间 _ 上上，f(x)的的 值值 随随 着着x的的 增增 大大 而而 _.(-,0(0,+)减小减小增大增大第4页，共31页，编辑于2022年，星期五函数单调性的概念：函数单调性的概念：一一般般地地，设设函函数数y=f(x)的的定定义义域域为为I，如如果果对对于于定定义义域域I内内的的某某个个区区间间D内内的的任任意意两两个个自自变变量量x1，x2，当当x
3、1x2时时，都都有有f(x1)f(x2)，那那么么就就说说f(x)在在区区间间D上上是是增增函数函数,如图如图1.1 1增函数增函数第5页，共31页，编辑于2022年，星期五 一一般般地地，设设函函数数y=f(x)的的定定义义域域为为I，如如果果对对于于定定义义域域I内内的的某某个个区区间间D内内的的任任意意两两个个自自变变量量x1，x2，当当x1f(x2)，那那么么就就说说f(x)在在区区间间D上上是是减减函函数数,如图如图2.yx0 x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图图1yx0 x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图图2第6页，共31页，编辑于2022年，星期五 1、函函数数的
4、的单单调调性性是是在在定定义义域域内内的的某某个个区区间间上上的的性质，是函数的性质，是函数的局部性质局部性质.第7页，共31页，编辑于2022年，星期五xy21013对于函数对于函数y=f(x)，若在区间，若在区间 I I 上，上，上，上，当当x1时时,y1;当当 x2时时,y3,能说在区间能说在区间 I 上函数值上函数值 y 随自变量随自变量 x的增的增大而增大吗大而增大吗?2、必须是对于区间、必须是对于区间D内的内的任意任意两个自变量两个自变量x1，x2；当当x1x2时，时，总有总有f(x1)f(x2)分别是增函数和分别是增函数和减函数减函数.第8页，共31页，编辑于2022年，星期五
5、如果函数如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单调性单调性，区，区间间D叫做叫做y=f(x)的的单调区间单调区间.函数的单调性定义函数的单调性定义第9页，共31页，编辑于2022年，星期五例例1.下图是定义在下图是定义在 闭区间闭区间-5,5上的函数上的函数y=f(x)的图象的图象,根根据图象说出据图象说出y=f(x)的单调区间的单调区间,以及在每个单调区间上以及在每个单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数是增函数还是减函数?解解:函数函数y=f(x)的单调区间
6、有的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5,其中其中y=f(x)在区间在区间-5,-2),1,3)上是减函数上是减函数,在区间在区间-2,1),3,5上是增函数上是增函数.第10页，共31页，编辑于2022年，星期五用定义证明函数单调性的步骤是：用定义证明函数单调性的步骤是：（1）取值）取值（2）作差）作差（4）定号）定号（5）结论）结论根据单调性的定义得结论根据单调性的定义得结论 即取即取 是该区间内的任意两个值且是该区间内的任意两个值且 即求即求 （3）变形）变形 通过因式分解、配方、有理化等方法通过因式分解、配方、有理化等方法 即根据给定的区间和即根据给定的区间和 的符号来
7、确定的符号来确定 的符号的符号第11页，共31页，编辑于2022年，星期五例例2 2 求证：函数求证：函数 在区间在区间 上是单上是单调增函数调增函数，则，则证明：在区间（证明：在区间（0，+）上任取两个值）上任取两个值 且且 又因为又因为 ，所以说，所以说 即函数即函数 在区间（在区间（0，+）上是单调增）上是单调增函数函数.第12页，共31页，编辑于2022年，星期五探究探究画出反比例函数画出反比例函数 的图象的图象 1 这个函数的定义域是什么？这个函数的定义域是什么？2 它在定义域它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结上的单调性怎样？证明你的结论论xy0 x x0分两个区间分两个区间(0
8、，+)，（，（，（，（-，0）来考虑）来考虑）来考虑）来考虑其单调性其单调性其单调性其单调性.第13页，共31页，编辑于2022年，星期五函数函数f(x)=1/x 在在(0，+)上是减上是减函数函数.f(x1)-f(x2)=由于由于x1,x2 得得x1x20,又由又由x10所以所以f(x1)-f(x2)0,即即f(x1)f(x2).证明：证明：（1）在在区间区间(0，+)上，设上，设x1,x2是是(0，+)上上任意两个实数，且任意两个实数，且x1x2，则，则（2）在区间（）在区间（-，0）上，同理可得到函数）上，同理可得到函数f(x)=1/x 在在（-，0）上是减）上是减函数。函数。第14页，
9、共31页，编辑于2022年，星期五下列两个函数的图象：下列两个函数的图象：图图1ox0 xMyyxox0图图2M观观 察察 观察这两个函数图象，图中有个最高点，那观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？么这个最高点的纵坐标叫什么呢？思考思考第15页，共31页，编辑于2022年，星期五 设函数设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与与M的大小的大小关系如何？关系如何？思考思考f(x)M(0)=1O122、存在、存在0，使得，使得(0)=1.1、对任意的、对任意的 都有都有(x)
10、1.1是此函数的最大值是此函数的最大值第16页，共31页，编辑于2022年，星期五知识要点M是函数是函数y=f(x)的最大值（的最大值（maximum value）：）：一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在，如果存在实数实数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的x I，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在 ，使得，使得 .那么，我们称那么，我们称M是函数是函数y=f(x)的最大值的最大值第17页，共31页，编辑于2022年，星期五 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果实数，如果实数M满足：满足：（1）对于任意的的）对于任
11、意的的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在 ，使得，使得 ，那么我们称那么我们称M是函数是函数y=f(x)的最小值的最小值（minimun value）.能否仿照函数的最大值的定义，给出函数能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？的最小值的定义呢？思考思考第18页，共31页，编辑于2022年，星期五 函数的最大值是函数值域中的一个元素吗函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？思考思考是是 如果在函数如果在函数f(x)定义域内存在定义域内存在x1和和 x2，使对，使对定义域内任意定义域内任意x都有都有 成立，由成立，由此你能得到什么结论？如果函数此你能得到什么结论
12、？如果函数f(x)的最大值是的最大值是b，最小值是，最小值是a，那么函数，那么函数f(x)的值域是的值域是a，b吗？吗？思考思考函数函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值在定义域中既有最大值又有最小值.第19页，共31页，编辑于2022年，星期五探究探究:函数单调性与函数的最值的关系函数单调性与函数的最值的关系（1）若函数）若函数y=f(x)在区间在区间m，n(m0k 0k 0增函数增函数减函数减函数减函数减函数增函数增函数单调性单调性第30页，共31页，编辑于2022年，星期五函数函数单调区间单调区间单调性单调性增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数第31页，共31页，编辑于2022年，星期五