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1、第七章第七章 离散时间系离散时间系统的时域分析统的时域分析第1页，本讲稿共41页7.1 7.1 引言引言 连续时间系统与离散时间系统分析方法比较：连续时间系统与离散时间系统分析方法比较：微分方程差分方程数学模型数学模型系统函数系统函数时域分析时域分析变换域分析变换域分析频响特性频响特性拉普拉斯变换傅里叶变换z变换离散时间傅里叶变换连续时间系统离散时间系统第2页，本讲稿共41页7.2 7.2 离散时间信号离散时间信号序列序列（一）离散时间信号的表示方法（一）离散时间信号的表示方法离散时间信号：离散时间信号：时间变量是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函时间变量是离散的，只在某些不连续的规定瞬时
2、给出函数值，在其他时间没有定义。数值，在其他时间没有定义。波形图波形图数学表达式数学表达式各种变换域表示各种变换域表示表示方法表示方法 ZTZT、DTFTDTFT、DFTDFT0 1 2 3 n123第3页，本讲稿共41页（1 1）单位样值信号）单位样值信号（二）常用典型序列（二）常用典型序列-2 -1 0 1 2 n（2 2）单位阶跃序列）单位阶跃序列-2 -1 0 1 2 3 n1（3 3）单位斜变序列）单位斜变序列0 1 2 3 n123第4页，本讲稿共41页（4 4）单边指数序列）单边指数序列当当 时，序列是发散的；时，序列是发散的；当当 时，序列是收敛的。时，序列是收敛的。当当 时，
3、序列都取正值；时，序列都取正值；当当 时，序列正、负摆动。时，序列正、负摆动。第5页，本讲稿共41页（5 5）正弦序列）正弦序列若若 为有理数，为有理数，是周期的；是周期的；若若 是无理数，是无理数，是非周期的。是非周期的。称称 为离散域的频率（正弦序列频率）；为离散域的频率（正弦序列频率）；为连续域的正弦频率。为连续域的正弦频率。第6页，本讲稿共41页正弦序列正弦序列n0612当当 为有理数时，为有理数时，为周期序列；为周期序列；当当 为无理数时，为无理数时，为非周期序列。为非周期序列。例：（1）（2）（3）为无理数，为无理数，非周期序列非周期序列第7页，本讲稿共41页（三）序列的运算（三）
4、序列的运算（1 1）对自变量进行的运算：）对自变量进行的运算：移位、反褶与尺度移位、反褶与尺度序列移位：序列移位：-2 -1 0 1 2 3 n1-2 -1 0 1 2 3 n1-3 -2 -1 0 1 2 n1序列反褶：序列反褶：-3 -2 -1 0 1 2 n1第8页，本讲稿共41页序列尺度倍乘：序列尺度倍乘：0 1 2 3 4 5 6 n1234560 1 2 3 n2460 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n123456压缩时，要按规律去除某些点；压缩时，要按规律去除某些点；扩展时，要补足相应的零值。扩展时，要补足相应的零值。又称为序列的又称为序列的“重排重排”。
5、第9页，本讲稿共41页序列相加（减）：序列相加（减）：两序列同序号的数值逐项对应相加（减）。两序列同序号的数值逐项对应相加（减）。序列相乘：序列相乘：两序列同序号的数值逐项对应相乘。两序列同序号的数值逐项对应相乘。（2 2）对因变量进行的运算）对因变量进行的运算序列的差分：序列的差分：相邻两样值相减。相邻两样值相减。一阶前向差分：一阶前向差分：一阶后向差分：一阶后向差分：序列的累加：序列的累加：第10页，本讲稿共41页例例1 1：0 1 2 3 n123-1 0 1 2 n -1 0 1 2 3 n1第11页，本讲稿共41页任意序列可以分解为加权、延迟的单位样值信号之和。任意序列可以分解为加权
6、、延迟的单位样值信号之和。例例2 2：矩形序列矩形序列-2 -1 0 1 2 N-1 N n1任意序列任意序列-2 -1 0 1 2 n例例3 3：第12页，本讲稿共41页 例例4 已知x(n)=0.5 1.5 1 -0.5，求y(n)=x(n)+2x(n)x(n-2)解解 x(n-2)=0 0 0.5 1.5 1 -0.5 y(n)=x(n)+2x(n)x(n-2)=0.5 1.5 2 -2 第13页，本讲稿共41页“线性时不变线性时不变”7.3 7.3 离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型离散时间系统H是线性的是线性的H是时不变的是时不变的第14页，本讲稿共41页 例例7.3-1
7、判断下列系统是否为线性非时变系统。判断下列系统是否为线性非时变系统。(1)y(n)=Tx(n)=ax(n)+b；(2)解解(1)Tx1(n)=ax1(n)+b=y1(n)Tx2(n)=ax2(n)+b=y2(n)c1 y1(n)+c2y2(n)=a c1 x1(n)+b c1+a c2 x2(n)+bc2 Tc1 x1(n)+c2 x2(n)=a c1 x1(n)+c2 x2(n)+b =a c1 x1(n)+a c2 x2(n)+b c1 y1(n)+c2y2(n)所以是非线性系统。所以是非线性系统。Tx(n-n0)=ax(n-n0)+b=y(n-n0)，是非时变系统。是非时变系统。第15页
8、，本讲稿共41页(2)所以是线性系统。所以是线性系统。，是时变系统是时变系统第16页，本讲稿共41页（一）离散时间系统的数学模型（一）离散时间系统的数学模型差分方程差分方程仿真框图仿真框图 N N 阶线性常系数后向差分方程阶线性常系数后向差分方程（1 1）差分方程）差分方程 2 2 阶线性常系数前向差分方程阶线性常系数前向差分方程差分方程的阶数：差分方程的阶数：响应响应 的最大序号与最小序号之差。的最大序号与最小序号之差。第17页，本讲稿共41页(b)加法器加法器离散时间系统的基本运算单元：离散时间系统的基本运算单元：单位延时、相加、倍乘。单位延时、相加、倍乘。(a)单位延时器单位延时器(c)
9、数乘器数乘器（2 2）仿真框图）仿真框图或或或或例例1 1：第18页，本讲稿共41页例例2 2：P38P38习题习题7-97-9第19页，本讲稿共41页（二）差分方程的建立（二）差分方程的建立即即解：解：用迭代法求解此差分方程用迭代法求解此差分方程例例1 1：如果在每如果在每 个月初向银行存款个月初向银行存款x(n)元，月息为元，月息为a，每月利息不，每月利息不取出，试用差分方程写出第取出，试用差分方程写出第 n 个月初的个月初的本利和本利和y(n)。设。设xn=1000元，元，y(0)=0，求，求y(12)=?第20页，本讲稿共41页解：解：例例2 2：P14P14例例7-47-4 列写求第
10、列写求第 个结点电压个结点电压 的差分方程。的差分方程。或：或：第21页，本讲稿共41页 迭代法：迭代法：7.4 7.4 常系数线性差分方程的求解常系数线性差分方程的求解 时域经典法：时域经典法：零输入响应零输入响应+零状态响应：零状态响应：ZTZT法法：概念清楚，但只能给出数值解，不容易给出通式。概念清楚，但只能给出数值解，不容易给出通式。第22页，本讲稿共41页（一）（一）1.1.齐次解齐次解 的求解的求解满足齐次差分方程满足齐次差分方程（1 1）一阶齐次差分方程）一阶齐次差分方程已知已知特征方程特征方程特征根特征根迭代法迭代法第23页，本讲稿共41页特征方程特征方程特征根特征根二重根二重
11、根P17 P17 例例7-67-6：费班纳西数列费班纳西数列给定给定 ，求，求 。特征方程特征方程解：解：特征根特征根（2 2）N N 阶齐次差分方程阶齐次差分方程第24页，本讲稿共41页2.2.特解特解 的求解的求解nC(常数常数)D(常数常数)（不是系统的特征根（不是系统的特征根)（是系统的特征根（非重根）是系统的特征根（非重根）)激励激励特解特解第25页，本讲稿共41页设特解设特解代入差分方程代入差分方程P20 P20 例例7-97-9：给定激励函数给定激励函数 ，且已知，且已知 ，求，求 。解：解：第26页，本讲稿共41页例例3：，求，求y(ny(n）解：解：注意：注意：由于激励从由于
12、激励从n=0接入，所以初始条件要接入，所以初始条件要y(0),y(1)第27页，本讲稿共41页第28页，本讲稿共41页（三）（三）零输入响应：零输入响应：是指仅由系统的起始状态是指仅由系统的起始状态 所产生的响应。所产生的响应。若激励信号若激励信号 从从 时刻开始接入系统，时刻开始接入系统，则：则：零状态响应：零状态响应：是指仅由激励是指仅由激励 所产生的响应。所产生的响应。1.1.零输入响应零输入响应 的求解的求解例例3：，求，求 。解：解：是齐次解的一部分是齐次解的一部分第29页，本讲稿共41页特征方程特征方程特征根特征根设设2.2.零状态响应零状态响应 的求解的求解 卷积和法卷积和法记记
13、 零状态响应零状态响应第30页，本讲稿共41页例例3：，求，求 。解：解：（1 1）（2 2）设设，第31页，本讲稿共41页（4 4）（3 3）第32页，本讲稿共41页7.5 7.5 离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应离散时离散时间系统间系统单位样值响应：单位样值响应：（一）（一）的求解的求解解：解：例例1 1：，求，求 。在在 内，内，是个零输入响应。是个零输入响应。第33页，本讲稿共41页解：解：，求，求 。例例2 2：P28P28例例7-147-14在在 内，内，是个零输入响应。是个零输入响应。方法方法2见书见书第34页，本讲稿共41页（二）（二
14、）表征系统特性表征系统特性1.1.因果性因果性离散离散LTI 系统是系统是因果系统因果系统2.2.稳定性稳定性离散离散LTI 系统是系统是稳定系统稳定系统因果稳定因果稳定系统是我们主要的研究对象，其系统是我们主要的研究对象，其 是是单边的单边的而且是而且是衰减的衰减的。第35页，本讲稿共41页7.6 7.6 卷积（卷积和）卷积（卷积和）（一）卷积和的定义及图解法计算（一）卷积和的定义及图解法计算例：例：求求 。第36页，本讲稿共41页左边界为左边界之和，右边界为右边界之和。左边界为左边界之和，右边界为右边界之和。1 1 1 12 2 2 23 3 3 33 5 6 6 3 11 1 1 1 3
15、 2 1有限长序列卷积和的另一种求法：有限长序列卷积和的另一种求法：对位相乘求和法对位相乘求和法第37页，本讲稿共41页（二）常用序列的卷积和（二）常用序列的卷积和 若若 则则 第38页，本讲稿共41页第39页，本讲稿共41页（三）用卷积和求零状态响应（三）用卷积和求零状态响应P32P32例例7-157-15：某系统的单位样值响应某系统的单位样值响应若激励信号为若激励信号为 ，求零状态响应，求零状态响应 。解：解：第40页，本讲稿共41页7.7 7.7 解卷积（反卷积）解卷积（反卷积）因果因果LTI系统系统因果激励信号因果激励信号则零状态响应则零状态响应解卷积也可用变换域方法进行解卷积也可用变换域方法进行第41页，本讲稿共41页