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1、第三章 傅立叶变换1第1页，本讲稿共44页此外，此外，a0、an及及bn又分别称为又分别称为“直流分量、余弦分量的幅度、正弦分量的幅度直流分量、余弦分量的幅度、正弦分量的幅度”。2.Dirichlet 条件条件：当周期信号当周期信号 f(t)满足以下条件时，才能进行傅立叶级数展开满足以下条件时，才能进行傅立叶级数展开(1)在一个周期内在一个周期内,f(t)的间断点数目有限；的间断点数目有限；(2)在一个周期内在一个周期内,f(t)的极值数目有限；的极值数目有限；(3)在一个周期内,f(t)绝对可积，即3.简化形式简化形式:(1)余弦形式 关系关系:(2)正弦形式 关系关系:另外,第2页，本讲稿
2、共44页4.建立建立“频谱频谱”的概念：的概念：基基 频频 频频率率 f f1 1=1/T=1/T1 1,基基 波波 频频率率为为基基频频的分量，的分量，称称为为“基波基波”。谐谐 波波 频频率率 2f 2f1 1,3f,3f1 1，nfnf1 1,的分量的分量 ，分，分别别称称为为“二次二次谐谐波、三次波、三次谐谐波波”。幅度幅度谱谱是指是指将将幅度幅度值值(如如c cn n)作作为为函函数数、频频率率 作作为为自自变变量，量，绘绘制的制的关关系曲系曲线线。相位相位谱谱是指是指将将相位相位值值(如如 )作作为为函函数数、频频率率 作作为为自自变变量，量，绘绘制的制的关关系曲系曲线线。5.周期
3、信号频谱的特点：周期信号频谱的特点：“谱线谱线”的概念的概念在幅度在幅度谱谱中中,每每条条线线的高度代表的高度代表该频该频率分量的幅度大小率分量的幅度大小,称称为谱为谱线线.cn c0 c3c1 c2 0 1 3 1 1 n 1 1 幅度谱 0 1 3 1 1 n 1 1 n n 相位谱 特点特点 周期信周期信号号的的频谱频谱是离散是离散谱谱!其其频谱频谱只只会会出出现现在在 =0=0、1 1、2 2 1 1等离散的等离散的频频率位置上。率位置上。第3页，本讲稿共44页例：某周期信号如图所示，试求其傅立叶级数，及幅度谱和相位谱。f(t)E -T1 0 T1 t解：解：或者是：；第4页，本讲稿共
4、44页最后，求其幅度谱和相位谱：最后，求其幅度谱和相位谱：0 1 3 1 1 n 1 1 n n 相位谱 cn E/T/T1 1 0 1 幅度谱=0,第5页，本讲稿共44页二、指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可表示为指数形式周期信号的傅里叶级数展开也可表示为指数形式已知已知1、根据欧拉公式得：、根据欧拉公式得：把上式代入已知中得：把上式代入已知中得：第6页，本讲稿共44页令为指数形式傅里叶级数的系数，简称为第7页，本讲稿共44页为复数形式为复数形式2、重要关系、重要关系(Fn与其他系数的关系与其他系数的关系)见书见书92页页3、指数形式表示的信号频谱见图、指数形式表示的信号频谱见
5、图93页页 4、帕赛瓦尔定理能量守恒定理，平均功率、帕赛瓦尔定理能量守恒定理，平均功率利用傅里叶级数的有关结论研究周期信号的功率特性利用傅里叶级数的有关结论研究周期信号的功率特性第8页，本讲稿共44页周期信号的平均功率是三角形式的傅里叶级数，或者是指数形式的傅里叶级数，两边平方，并在一个周期内进行积分上式表明：上式表明：周期信号的平均功率傅里叶级数展开直流成分，基波及各谐波分量周期信号的平均功率傅里叶级数展开直流成分，基波及各谐波分量有效值的平方和，也即时域和频域的能量守恒称帕赛瓦定理（或方程）有效值的平方和，也即时域和频域的能量守恒称帕赛瓦定理（或方程）第9页，本讲稿共44页三、函数的对称性
6、与傅里叶系数的关系f(t)是实函数而且它的波形满足某种对称性，使表达式变的简单地。波形的对称性有两类：波形的对称性有两类：1、对整个周期对称有偶函数和奇函数、对整个周期对称有偶函数和奇函数2、对半周期对称有奇谐函数、对半周期对称有奇谐函数对称条件：对称条件：(1)、偶函数：若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足、偶函数：若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足f(t)=f(-t),此时此时f(t)是偶函数是偶函数第10页，本讲稿共44页上式关系得，1、偶函数的Fn为实数。2、偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项为0，只可能含有直流项和余弦项。(2)、奇函数：若信号波形相对于原点是对称的，即满足、奇函数
7、：若信号波形相对于原点是对称的，即满足f(t)=f(-t),此时此时f(t)是偶函数是偶函数第11页，本讲稿共44页上式关系得，1、只有正弦分量。2、奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项。(3)、奇谐函数：若信号波形沿时间轴平移半个周期并相对于时间轴上下反转，此、奇谐函数：若信号波形沿时间轴平移半个周期并相对于时间轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足时波形并不发生变化，即满足f(t)=f(tT1/2),这样函数为奇谐函数或称为半波对这样函数为奇谐函数或称为半波对称函数称函数如图如图P9635奇谐函数奇谐函数第12页，本讲稿共44页上式表明，上式表明，当当f（t）为实奇谐函数时，实奇谐
8、函数的傅里叶级数中，没有直流分量，）为实奇谐函数时，实奇谐函数的傅里叶级数中，没有直流分量，不含偶次谐波项，只含有基波和奇次谐波的正弦，余弦项，而不会包含偶次谐波不含偶次谐波项，只含有基波和奇次谐波的正弦，余弦项，而不会包含偶次谐波项。项。第13页，本讲稿共44页四.傅立叶有限项级数与最小方均误差:1.方均误差方均误差EN:假设，用假设，用SN(t)表示表示 f(t)的前的前2N+1项级项级数数即若用SN(t)近似表示 f(t)，则误差为：方均误差为:经过整理，可得：例：例：f(t)0 tf(t)既是偶函数、又是奇谐函数既是偶函数、又是奇谐函数,只有直流项和只有直流项和余弦项余弦项无直流项，只
9、有基波和奇次无直流项，只有基波和奇次谐波的正弦、余弦项谐波的正弦、余弦项只有基波和奇次谐波的余弦项只有基波和奇次谐波的余弦项！且=n=1,5,n=3,7,第14页，本讲稿共44页 考察其有限项级数考察其有限项级数 SN:S1=S2=S3=分别用分别用S1、S2、S3来近似表示原函数来近似表示原函数 f(t),波形示意图见教材波形示意图见教材 P P99 99。相应的方均误差相应的方均误差EN:结论：结论：有限项级数的项数有限项级数的项数N取得愈多、则波形愈逼近原信号取得愈多、则波形愈逼近原信号f(t),且且EN愈小。愈小。当当n时，SN(t)=f(t)。当当f(t)是脉冲信号时是脉冲信号时,其
10、傅立叶级数中的高频分量主要影响的是它的跳变沿；其傅立叶级数中的高频分量主要影响的是它的跳变沿；低频分量主要影响脉冲顶部的形状低频分量主要影响脉冲顶部的形状。换言之，信号言之，信号f(t)的波形变化越剧烈、它所的波形变化越剧烈、它所包含的高频分量越丰富；变化越缓慢、则所含低频分量越丰富。包含的高频分量越丰富；变化越缓慢、则所含低频分量越丰富。当用有限项级数愈逼近原信号当用有限项级数愈逼近原信号f(t)时时,如果其中任一频谱分量的幅度或相位发如果其中任一频谱分量的幅度或相位发生变化时，则最后叠加形成的输出波形会失真。生变化时，则最后叠加形成的输出波形会失真。2.吉布斯现象吉布斯现象:第15页，本讲
11、稿共44页二.周期锯齿脉冲信号:f(t)0 T1 t奇函数奇函数 f(t)的傅立叶系数的傅立叶系数 a0、an都为都为0,利用积分结果：则 结论结论 周期周期锯齿锯齿脉冲信脉冲信号号的的频谱频谱中，不包含直流分量和余弦分量，只有正弦分中，不包含直流分量和余弦分量，只有正弦分量；而且，各次量；而且，各次谐谐波的幅度以波的幅度以 的的规规律收律收敛敛。第16页，本讲稿共44页三.周期三角脉冲信号:f(t)E 0 tf(t)是偶函数是偶函数,故其的正弦分量的系数故其的正弦分量的系数 bn=0。利用积分结果：则则=且且=0=0，则0，当n为偶数时当n为奇数时从而结论：周期三角脉冲的频谱只含有直流、基波
12、和奇次谐波的余弦项。且谐波的幅度以 的规律收敛。第17页，本讲稿共44页3.4 傅立叶傅立叶变换 非周期信号非周期信号的的频谱分析方法分析方法一一.定义的引出定义的引出:0 1 -T1 0 T1 2T1 0 T1 0 1 0 tT1增大T1 可以发现可以发现:当当T1时，谱线的间隔时，谱线的间隔1 1,离散离散谱谱线变谱谱线变密；密；当当T1无无穷大大时,谱线的间谱线的间隔隔1 1 无限小无限小,离散离散谱谱就就变变成了成了连续谱连续谱。的值的值0，因此，不能因此，不能再用再用 作作为非周期非周期信号信号频谱的度量指的度量指标。但同但同时应时应注意到：注意到：第18页，本讲稿共44页当当T1无
13、无穷大大时:谱线间隔1d离散频率变量离散频率变量 n1连续频率变量连续频率变量 有限的数值有限的数值又又=原周期信号的傅立叶级数当当 T1时:T1即第19页，本讲稿共44页二.傅立叶变换的含义:正变换的定义是j F(F()一般是一般是复复函函数数,从而又又 F(F()称称为为f(t)f(t)的的“频谱频谱密度密度函函数数”。注 意：表示的是非周期信号的各频率分量的相对大小，而不是其幅度值；表示的是非周期信号的各频率分量的相对大小，而不是其幅度值；表示的是非周期信号的各频率分量之间的相位关系。表示的是非周期信号的各频率分量之间的相位关系。但是：也将但是：也将 曲线称为非周期信号的曲线称为非周期信
14、号的“幅度频谱幅度频谱”；将将 曲线称为非周期信号的曲线称为非周期信号的“相位频谱相位频谱”。当当 f(t)是实函数时是实函数时,是是 的偶函数；的偶函数；是是 的奇函数。的奇函数。三.傅立叶变换存在的条件:充分条件:第20页，本讲稿共44页3.5 3.6 几种典型非周期信号的傅立叶几种典型非周期信号的傅立叶变换一.矩形脉冲信号:幅度为幅度为 E、脉宽为、脉宽为的的对称脉冲对称脉冲f(t)E-/20/20/2/2t t 1.函数函数F()的表达式：的表达式：即是是 的实函数！的实函数！2.频谱分析频谱分析:(1)幅度谱幅度谱 F(F()是是 的偶函数！的偶函数！第21页，本讲稿共44页(2)相
15、位谱是是 的实函数的实函数,a.当当 时时,F()是个正数是个正数,则其相位为则其相位为 0:即b.当当 时时,F()是个负数是个负数,则其相位则其相位 :即 相位相位谱为谱为是是 的奇函数！的奇函数！第22页，本讲稿共44页(2)单边指数信号单边指数信号的表示式为：单边指数信号的表示式为：其中其中a为正实数为正实数图图P114319第23页，本讲稿共44页双边指数、钟形脉冲信号自已看（3）符号函数 sgn(t)tf(t)这种信号不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换这种信号不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换令容易看出，先求得先求得f1(t)的频谱，然后取极限。从而得出符号函数的频谱，
16、然后取极限。从而得出符号函数f(t)的频谱的频谱第24页，本讲稿共44页（4）升余弦函数）升余弦函数表达式为表达式为第25页，本讲稿共44页频谱是由三项构成的，它们都是矩形脉冲的频谱，只是有两项沿频率轴左，右平移了所以升余弦的频谱比矩形频谱更加集中所以升余弦的频谱比矩形频谱更加集中得到，见图得到，见图P119,326（5）冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换）冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换一、冲激函数的傅里叶变换：正变换一、冲激函数的傅里叶变换：正变换即即特点：1）由矩形脉冲取极限得到，当脉冲宽缩减时，频谱必然展宽。2）单位冲激函数的频谱等于常数，在整个频率范围内频谱是均匀分布）单位冲激函数的频谱等
17、于常数，在整个频率范围内频谱是均匀分布3）时域变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。）时域变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。这种频谱称这种频谱称“均匀谱均匀谱”或或“白色谱白色谱”第26页，本讲稿共44页逆变换：图形具有对称性：直流信号：直流信号：频谱或傅里叶变换频谱或傅里叶变换频谱或傅里叶变换频谱或傅里叶变换直流信号的傅里叶变换是位于直流信号的傅里叶变换是位于w=0的冲激函数的冲激函数第27页，本讲稿共44页冲激偶函数的傅里叶变换另一种方法：另一种方法：阶跃函数的傅里叶变换阶跃函数的傅里叶变换第28页，本讲稿共44页（1）单们阶跃函数u(t)的频谱在w0点存在一个
18、冲激函数，因含直流分量（2）u(t)不是纯直流分量，它在t=0点处有跳变，因此在频谱中还出现其他频率分量。第29页，本讲稿共44页3.7 傅立叶傅立叶变换的基本性的基本性质一一.对称性对称性:FT设:证明：证明：根据傅立叶逆变换的定义根据傅立叶逆变换的定义 FT将将 t 、t，得到得到即这是标准的傅立叶正变换表达式。这是标准的傅立叶正变换表达式。易见：当 f()为偶函数时，FT例例 1.已知 时域中的矩形脉冲信号 FT 频域中的Sa 函数那么时域中的Sa 函数 FT频域中的矩形脉冲信号 FT即 由:FT利用对称性，可得:FT当当=c c 时，相关图示相关图示 见教材见教材 P124 的的 图图
19、3-30。第30页，本讲稿共44页二.线形特性:FT若:FT及 FT则其中,a、b为常数。结论可推广至结论可推广至 n 个信号的叠加个信号的叠加:FT三三.奇、偶、虚、实奇、偶、虚、实 特性特性：1.f(t)为为实实函数函数:是是 的的偶偶函数；函数；是是 的的奇奇函数；函数；是是 的的偶偶函数；函数；是是 的的奇奇函数。函数。第31页，本讲稿共44页(1)当当 f(t)是是 t 的实偶函数时的实偶函数时,F()是是的实偶函数。的实偶函数。证明：证明：是是t t的奇函数，的奇函数，则(2)当当 f(t)是是 t 的实奇函数时的实奇函数时,F()是是的虚奇函数。的虚奇函数。证明：证明：是是t t
20、的奇函数，的奇函数，2.f(t)为为虚虚函数函数:不妨设不妨设 f(t)=jg(t),其中其中 g(t)是实函数是实函数此时是是 的的奇奇函数；函数；是是 的的偶偶函数；函数；仍然是仍然是 的的偶偶函数；函数；仍然是仍然是 的的奇奇函数。函数。作业作业：证明教材证明教材 P126 的式的式(3 55)的三的三条结论。条结论。第32页，本讲稿共44页四.尺度变换特性:时频展缩特性时频展缩特性 FT若1.性质描述性质描述:FT则其中其中,a a 是是 0 0 的实数。的实数。证明：证明：F f(at)当 a0 时F f(at)同理可证:当 a0 时2.实际意义:g(t)1g(t/2)1结论结论:若
21、在时域中扩展若在时域中扩展信号的持续时间信号的持续时间,则对应则对应于压缩信号的频宽；于压缩信号的频宽；反之：若要压缩信号的反之：若要压缩信号的持续时间，则不得不展持续时间，则不得不展宽其频带。宽其频带。时长与带宽是一对矛盾时长与带宽是一对矛盾通信速度与信道容量是通信速度与信道容量是一对矛盾！一对矛盾！第33页，本讲稿共44页五、时移特性表达式的意义：信号f(t)在时域中沿时间轴右移（延时）t0等效于在频域中频谱乘以因子，也就是说信号右移后，其幅度谱不变，而相位谱产生附加变化例：求图所示三脉冲信号的频谱。f(t)-TTto第34页，本讲稿共44页解：令上图中间表示矩形单脉冲信号，用表示的频谱函
22、数的频谱函数频谱如图频谱如图336所示，见所示，见P130页页第35页，本讲稿共44页六、频移特性同理可得：实际意义：调制、解调、变频，调制是从低频端搬迁到高频端。在实际中，是使用实现频谱的搬迁。第36页，本讲稿共44页七.微分特性:FT设:1.时域微分时域微分:FT证明证明:利用傅立叶逆变换的定义利用傅立叶逆变换的定义将其两边同时对将其两边同时对 t t t t 求导求导:FT所以：*若对*式继续进行的过程，则可得：FT 2.频域微分频域微分:FT证明证明:当然是对傅立叶正变换的定义式当然是对傅立叶正变换的定义式两边同时进行 得到 :FT同理同理,可推广至可推广至:第37页，本讲稿共44页例
23、:FTFT则FT八八.积分特性积分特性:时域积分时域积分:FT证明证明:按照傅立叶正变换的定义按照傅立叶正变换的定义FTF而F*从而*式第38页，本讲稿共44页例例:求如图所示三角形脉冲的频谱求如图所示三角形脉冲的频谱 F()。f(t)E 0 t 0 t f(t)f(t)0 t解：解：将信号连续求两次导数，分别得到将信号连续求两次导数，分别得到 f(t)及及f(t)易见:则 利用FT1以及傅立叶变换的时移特性,可知若用 、分别表示f(t)及f(t)的傅立叶变换,由微分特性可得由微分特性可得:而且从而第39页，本讲稿共44页九.卷积特性:1.时域卷积定理时域卷积定理:FT若:FT及 FT2.频域
24、卷积定理频域卷积定理:FT证明证明:F根据根据“频移特性频移特性”3.性质说明性质说明:实际上，前面的很多性质都是实际上，前面的很多性质都是“卷积特性卷积特性”的具体应用！的具体应用！时移特性：时移特性：FT FT例题例题 3-8例题例题 3-9第40页，本讲稿共44页3.9 周期信号的傅立叶周期信号的傅立叶变换回顾回顾:研究研究 周期信号周期信号 的频谱特性的频谱特性 傅立叶傅立叶级数级数 研究非周期信号研究非周期信号 的频谱特性的频谱特性 傅立叶变换傅立叶变换统一用一种频谱分析方法统一用一种频谱分析方法一一.正正(余余)弦信号的傅立叶变换弦信号的傅立叶变换:F又又FT的频移特性FFF同理F
25、FF第41页，本讲稿共44页二.其它周期信号的傅立叶变换:设设 信号信号f(t)的周期为的周期为 T1将将 f(t)展成傅立叶级数展成傅立叶级数:对其两边取傅立叶变换对其两边取傅立叶变换:FFFF1.傅立叶变换结果傅立叶变换结果:结论结论:周期信号的傅立叶变换是由一系列位于周期信号的傅立叶变换是由一系列位于=0=0、1 1、2 21 1 等处等处的的冲激函数构冲激函数构成的成的,且各个冲激的强度分别等于相应的傅立叶系数且各个冲激的强度分别等于相应的傅立叶系数 Fn 的的 倍。倍。再次注意：傅立叶变换是傅立叶变换是“频谱频谱密度密度函数函数”！因此，周期信号的傅立叶变换结果可以理解为因此，周期信
26、号的傅立叶变换结果可以理解为 在无限小的频带范围内在无限小的频带范围内(即即 各个谐频各个谐频点处点处)取得了无限大的频谱值取得了无限大的频谱值(即即 形成冲激形成冲激)!第42页，本讲稿共44页2.Fn 与Ff0(t)的关系：其中其中 f f0(t)是是 周期脉冲序列周期脉冲序列f f(t)的一个周期的一个周期 ,即即“单脉冲单脉冲”F与 相比较可得:结论结论：可以利用单脉冲的傅立叶变换结果可以利用单脉冲的傅立叶变换结果确定周期性脉冲序列的傅立叶系数。确定周期性脉冲序列的傅立叶系数。例3-10:周期单位冲激序列 如图所示,求其傅立叶级数和傅立叶变换。(1)0 t解解:(1)傅立叶级数傅立叶级
27、数第43页，本讲稿共44页结论结论:周期单位冲激序列的傅立叶级数展开式周期单位冲激序列的傅立叶级数展开式中中,包含有幅度相等包含有幅度相等(都为都为 )的的=0 0、1 1、2 21 1、n n1 1 的频率分量。的频率分量。(2)傅立叶变换：傅立叶变换：F根据F可知F即结论结论:在周期单位冲激序列的傅立叶变换中在周期单位冲激序列的傅立叶变换中,各冲激函数同样是位于各冲激函数同样是位于=0 0、1 1、2 21 1、n n1 1 等频率处，且冲激强度都为等频率处，且冲激强度都为1 1。例例 3-11：计算周期矩形脉冲信号的傅立叶级数及变换。：计算周期矩形脉冲信号的傅立叶级数及变换。f(t)E0t解解:傅立叶变换为傅立叶变换为:傅立叶傅立叶 级数为级数为:图示及解释参见教材图示及解释参见教材 P149。第44页，本讲稿共44页