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1、第三章 傅立叶变换1第1 页，本讲稿共44 页此外，a0、an及bn又分别称为“直流分量、余弦分量的幅度、正弦分量的幅度”。2.Dirichlet 条件：当周期信号 f(t)满足以下条件时，才能进行傅立叶级数展开(1)在一个周期内,f(t)的间断点数目有限；(2)在一个周期内,f(t)的极值数目有限；(3)在一个周期内,f(t)绝对可积，即3.简化形式:(1)余弦形式 关系:(2)正弦形式 关系:另外,第2 页，本讲稿共44 页4.建立“频谱”的概念：基 频 频率 f1=1/T1,基 波 频率为基频的分量，称为“基波”。谐 波 频率 2f1,3f1，nf1,的分量，分别称为“二次谐波、三次谐波
2、”。幅度谱是指将幅度值(如cn)作为函数、频率作为自变量，绘制的关系曲线。相位谱是指将相位值(如)作为函数、频率作为自变量，绘制的关系曲线。5.周期信号频谱的特点：“谱线”的概念在幅度谱中,每条线的高度代表该频率分量的幅度大小,称为谱线.cn c0 c3c1 c2 0 1 31 n1 幅度谱 0 1 31 n1 n 相位谱 特点 周期信号的频谱是离散谱!其频谱只会出现在=0、1、21等离散的频率位置上。第3 页，本讲稿共44 页例：某周期信号如图所示，试求其傅立叶级数，及幅度谱和相位谱。f(t)E-T1 0 T1 t解：或者是：；第4 页，本讲稿共44 页最后，求其幅度谱和相位谱：0 1 31
3、 n1 n 相位谱 cn E/T1 0 1 幅度谱=0,第5 页，本讲稿共44 页二、指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可表示为指数形式已知1、根据欧拉公式得：把上式代入已知中得：第6 页，本讲稿共44 页令为指数形式傅里叶级数的系数，简称为第7 页，本讲稿共44 页为复数形式2、重要关系(Fn与其他系数的关系)见书92页3、指数形式表示的信号频谱见图93页 4、帕赛瓦尔定理能量守恒定理，平均功率利用傅里叶级数的有关结论研究周期信号的功率特性第8 页，本讲稿共44 页周期信号的平均功率是三角形式的傅里叶级数，或者是指数形式的傅里叶级数，两边平方，并在一个周期内进行积分上式表明：周期
4、信号的平均功率傅里叶级数展开直流成分，基波及各谐波分量有效值的平方和，也即时域和频域的能量守恒称帕赛瓦定理（或方程）第9 页，本讲稿共44 页三、函数的对称性与傅里叶系数的关系f(t)是实函数而且它的波形满足某种对称性，使表达式变的简单地。波形的对称性有两类：1、对整个周期对称有偶函数和奇函数2、对半周期对称有奇谐函数对称条件：(1)、偶函数：若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足f(t)=f(-t),此时f(t)是偶函数第10 页，本讲稿共44 页上式关系得，1、偶函数的Fn 为实数。2、偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项为0，只可能含有直流项和余弦项。(2)、奇函数：若信号波形相对于原点是对
5、称的，即满足f(t)=f(-t),此时f(t)是偶函数第11 页，本讲稿共44 页上式关系得，1、只有正弦分量。2、奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项。(3)、奇谐函数：若信号波形沿时间轴平移半个周期并相对于时间轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足f(t)=f(tT1/2),这样函数为奇谐函数或称为半波对称函数如图P9635奇谐函数第12 页，本讲稿共44 页上式表明，当f（t）为实奇谐函数时，实奇谐函数的傅里叶级数中，没有直流分量，不含偶次谐波项，只含有基波和奇次谐波的正弦，余弦项，而不会包含偶次谐波项。第13 页，本讲稿共44 页四.傅立叶有限项级数与最小方均误差:1.方均误差
6、EN:假设，用SN(t)表示 f(t)的前2N+1项级数即若用SN(t)近似表示 f(t)，则误差为：方均误差为:经过整理，可得：例：f(t)0 tf(t)既是偶函数、又是奇谐函数,只有直流项和余弦项无直流项，只有基波和奇次谐波的正弦、余弦项只有基波和奇次谐波的余弦项！且=n=1,5,n=3,7,第14 页，本讲稿共44 页 考察其有限项级数 SN:S1=S2=S3=分别用S1、S2、S3来近似表示原函数 f(t),波形示意图见教材 P99。相应的方均误差EN:结论：有限项级数的项数N取得愈多、则波形愈逼近原信号f(t),且EN愈小。当n 时，SN(t)=f(t)。当f(t)是脉冲信号时,其傅
7、立叶级数中的高频分量主要影响的是它的跳变沿；低频分量主要影响脉冲顶部的形状。换言之，信号f(t)的波形变化越剧烈、它所包含的高频分量越丰富；变化越缓慢、则所含低频分量越丰富。当用有限项级数愈逼近原信号f(t)时,如果其中任一频谱分量的幅度或相位发生变化时，则最后叠加形成的输出波形会失真。2.吉布斯现象:第15 页，本讲稿共44 页二.周期锯齿脉冲信号:f(t)0 T1 t奇函数 f(t)的傅立叶系数 a0、an都为0,利用积分结果：则 结论 周期锯齿脉冲信号的频谱中，不包含直流分量和余弦分量，只有正弦分量；而且，各次谐波的幅度以 的规律收敛。第16 页，本讲稿共44 页三.周期三角脉冲信号:f
8、(t)E 0 tf(t)是偶函数,故其的正弦分量的系数 bn=0。利用积分结果：则=且=0，则0，当n 为偶数时当n 为奇数时从而结论：周期三角脉冲的频谱只含有直流、基波和奇次谐波的余弦项。且谐波的幅度以 的规律收敛。第17 页，本讲稿共44 页3.4 傅立叶变换 非周期信号的频谱分析方法一.定义的引出:0 1-T1 0 T1 2T1 0 T1 0 1 0 tT1增大T1 可以发现:当T1时，谱线的间隔1,离散谱谱线变密；当T1无穷大时,谱线的间隔1 无限小,离散谱就变成了连续谱。的值0，因此，不能再用 作为非周期信号频谱的度量指标。但同时应注意到：第18 页，本讲稿共44 页当T1无穷大时:
9、谱线间隔1d离散频率变量 n1连续频率变量 有限的数值又=原周期信号的傅立叶级数当 T1 时:T1即第19 页，本讲稿共44 页二.傅立叶变换的含义:正变换的定义是j F()一般是复函数,从而又 F()称为f(t)的“频谱密度函数”。注 意：表示的是非周期信号的各频率分量的相对大小，而不是其幅度值；表示的是非周期信号的各频率分量之间的相位关系。但是：也将 曲线称为非周期信号的“幅度频谱”；将 曲线称为非周期信号的“相位频谱”。当 f(t)是实函数时,是 的偶函数；是 的奇函数。三.傅立叶变换存在的条件:充分条件:第20 页，本讲稿共44 页3.5 3.6 几种典型非周期信号的傅立叶变换一.矩形
10、脉冲信号:幅度为 E、脉宽为的对称脉冲f(t)E-/20/2t1.函数F()的表达式：即是 的实函数！2.频谱分析:(1)幅度谱 F()是 的偶函数！第21 页，本讲稿共44 页(2)相位谱 是 的实函数,a.当 时,F()是个正数,则其相位为 0:即b.当 时,F()是个负数,则其相位:即 相位谱为是 的奇函数！第22 页，本讲稿共44 页(2)单边指数信号单边指数信号的表示式为：其中a为正实数图P114319第23 页，本讲稿共44 页双边指数、钟形脉冲信号自已看（3）符号函数 sgn(t)tf(t)这种信号不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换令容易看出，先求得f1(t)的频谱，然后取
11、极限。从而得出符号函数f(t)的频谱第24 页，本讲稿共44 页（4）升余弦函数表达式为第25 页，本讲稿共44 页频谱是由三项构成的，它们都是矩形脉冲的频谱，只是有两项沿频率轴左，右平移了所以升余弦的频谱比矩形频谱更加集中得到，见图P119,326（5）冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换一、冲激函数的傅里叶变换：正变换即特点：1）由矩形脉冲取极限得到，当脉冲宽缩减时，频谱必然展宽。2）单位冲激函数的频谱等于常数，在整个频率范围内频谱是均匀分布3）时域变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。这种频谱称“均匀谱”或“白色谱”第26 页，本讲稿共44 页逆变换：图形具有对称性：直流信号：频谱
12、或傅里叶变换频谱或傅里叶变换直流信号的傅里叶变换是位于w=0的冲激函数第27 页，本讲稿共44 页冲激偶函数的傅里叶变换另一种方法：阶跃函数的傅里叶变换第28 页，本讲稿共44 页（1）单们阶跃函数u(t)的频谱在w 0 点存在一个冲激函数，因含直流分量（2）u(t)不是纯直流分量，它在t=0 点处有跳变，因此在频谱中还出现其他频率分量。第29 页，本讲稿共44 页3.7 傅立叶变换的基本性 质一.对称性:FT设:证明：根据傅立叶逆变换的定义 FT将 t、t，得到即 这是标准的傅立叶正变换表达式。易见：当 f()为偶函数时，FT例 1.已知 时域中的矩形脉冲信号 FT 频域中的Sa 函数那么时
13、域中的Sa 函数 FT频域中的矩形脉冲信号 FT即 由:FT利用对称性，可得:FT当=c 时，相关图示 见教材 P124 的 图3-30。第30 页，本讲稿共44 页二.线形特性:FT若:FT及 FT则其中,a、b 为常数。结论可推广至 n 个信号的叠加:FT三.奇、偶、虚、实 特性：1.f(t)为实函数:是 的偶函数；是 的奇函数；是 的偶函数；是 的奇函数。第31 页，本讲稿共44 页(1)当 f(t)是 t 的实偶函数时,F()是的实偶函数。证明：是t的奇函数，则(2)当 f(t)是 t 的实奇函数时,F()是的虚奇函数。证明：是t的奇函数，2.f(t)为虚函数:不妨设 f(t)=jg(
14、t),其中 g(t)是实函数此时是 的奇函数；是 的偶函数；仍然是 的偶函数；仍然是 的奇函数。作业：证明教材 P126 的式(3 55)的三条结论。第32 页，本讲稿共44 页四.尺度变换特性:时频展缩特性 FT若1.性质描述:FT则其中,a 是 0 的实数。证明：F f(at)当 a0 时F f(at)同理可证:当 a0 时2.实际意义:g(t)1g(t/2)1结论:若在时域中扩展信号的持续时间,则对应于压缩信号的频宽；反之：若要压缩信号的持续时间，则不得不展宽其频带。时长与带宽是一对矛盾通信速度与信道容量是一对矛盾！第33 页，本讲稿共44 页五、时移特性表达式的意义：信号f(t)在时域
15、中沿时间轴右移（延时）t0等效于在频域中频谱乘以因子，也就是说信号右移后，其幅度谱不变，而相位谱产生附加变化例：求图所示三脉冲信号的频谱。f(t)-TT to第34 页，本讲稿共44 页解：令上图中间表示矩形单脉冲信号，用表示的频谱函数频谱如图336所示，见P130页第35 页，本讲稿共44 页六、频移特性同理可得：实际意义：调制、解调、变频，调制是从低频端搬迁到高频端。在实际中，是使用实现频谱的搬迁。第36 页，本讲稿共44 页七.微分特性:FT设:1.时域微分:FT证明:利用傅立叶逆变换的定义将其两边同时对 t t 求导:FT所以：*若对*式继续进行的过程，则可得：FT 2.频域微分:FT
16、证明:当然是对傅立叶正变换的定义式两边同时进行 得到:FT同理,可推广至:第37 页，本讲稿共44 页例:FTFT则FT八.积分特性:时域积分:FT证明:按照傅立叶正变换的定义FT F而F*从而*式第38 页，本讲稿共44 页例:求如图所示三角形脉冲的频谱 F()。f(t)E 0 t 0 t f(t)f(t)0 t解：将信号连续求两次导数，分别得到 f(t)及f(t)易见:则 利用FT1 以及傅立叶变换的时移特性,可知若用、分别表示f(t)及f(t)的傅立叶变换,由微分特性可得:而且从而第39 页，本讲稿共44 页九.卷积特性:1.时域卷积定理:FT若:FT及 FT2.频域卷积定理:FT证明:
17、F根据“频移特性”3.性质说明:实际上，前面的很多性质都是“卷积特性”的具体应用！时移特性：FT FT例题 3-8 例题 3-9第40 页，本讲稿共44 页3.9 周期信号的傅立叶 变换回顾:研究 周期信号 的频谱特性 傅立叶级数 研究非周期信号 的频谱特性 傅立叶变换统一用一种频谱分析方法一.正(余)弦信号的傅立叶变换:F又FT 的频移特性FFF同理FFF第41 页，本讲稿共44 页二.其它周期信号的傅立叶变换:设 信号f(t)的周期为 T1将 f(t)展成傅立叶级数:对其两边取傅立叶变换:FFFF1.傅立叶变换结果:结论:周期信号的傅立叶变换是由一系列位于=0、1、21 等处的冲激函数构成
18、的,且各个冲激的强度分别等于相应的傅立叶系数 Fn 的倍。再次注意：傅立叶变换是“频谱密度函数”！因此，周期信号的傅立叶变换结果可以理解为 在无限小的频带范围内(即 各个谐频点处)取得了无限大的频谱值(即 形成冲激)!第42 页，本讲稿共44 页2.Fn 与F f0(t)的关系：其中 f0(t)是 周期脉冲序列f(t)的一个周期,即“单脉冲”F与 相比较可得:结论：可以利用单脉冲的傅立叶变换结果确定周期性脉冲序列的傅立叶系数。例3-10:周期单位冲激序列 如图所示,求其傅立叶级数和傅立叶变换。(1)0 t解:(1)傅立叶级数第43 页，本讲稿共44 页结论:周期单位冲激序列的傅立叶级数展开式中,包含有幅度相等(都为)的=0、1、21、n1 的频率分量。(2)傅立叶变换：F根据 F可知F即结论:在周期单位冲激序列的傅立叶变换中,各冲激函数同样是位于=0、1、21、n1 等频率处，且冲激强度都为1。例 3-11：计算周期矩形脉冲信号的傅立叶级数及变换。f(t)E0t解:傅立叶变换为:傅立叶 级数为:图示及解释参见教材 P149。第44 页，本讲稿共44 页