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1、第三章 离散傅立叶变换第1页，共110页，编辑于2022年，星期二本章目录n n引言引言n n离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）的）的定义定义n n离散傅里叶变换的基本离散傅里叶变换的基本性质性质n n频率域采样频率域采样n nMatlab实现实现n n离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT)的的应用应用第2页，共110页，编辑于2022年，星期二3.1 引言n n各种形式的傅里叶变换各种形式的傅里叶变换n nCTFTCTFT:时域连续，频域连续时域连续，频域连续n nCFS:CFS:时域连续，频域离散时域连续，频域离散n nDTFT:DTFT:时域离散，频域连续时域离散，频域连续n n
2、DFS:DFS:时域离散，频域离散时域离散，频域离散第3页，共110页，编辑于2022年，星期二离散傅里叶变换的导出n由于数字计算机由于数字计算机只能计算有限长只能计算有限长离散的序离散的序列，因此有限长序列在数字信号处理中就列，因此有限长序列在数字信号处理中就显得很重要。显得很重要。n任一有限长序列频域连续，使得无法利用任一有限长序列频域连续，使得无法利用计算机直接进行频域数字计算，因此频域计算机直接进行频域数字计算，因此频域需要需要离散化离散化。DFT第4页，共110页，编辑于2022年，星期二3.2 离散傅里叶变换DFTn n离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义n nDFT和和z变换
3、、变换、DTFT的关系的关系n nDFT的隐含周期性的隐含周期性(和和DFS的关系）的关系）第5页，共110页，编辑于2022年，星期二3.2.1 序列与周期延拓序列任何周期为任何周期为N N的周期序列的周期序列 都可以看作长度为都可以看作长度为N N的有限长序列的有限长序列x x(n n)的周期延拓序列，而的周期延拓序列，而x x(n n)则是则是 的一个周期的一个周期.第6页，共110页，编辑于2022年，星期二运算符运算符(n n)N N例如，例如，N N=8=8，则有，则有 x(7)如果如果 n n=n n1 1+MNMN ，00n n1 1N N-1-1，M M为整数为整数 则则(n
4、 n)N N=n n1 1 2 2、表示、表示n n对对N N求余数求余数1 1、表示序列以、表示序列以N N为周期延拓为周期延拓第7页，共110页，编辑于2022年，星期二3.2.2 主值区间，主值序列主值区间：主值区间：通常把通常把 的第一个周期的第一个周期n=0n=0到到N-1N-1定义为定义为“主值区间主值区间”主值序列：主值序列：把把x(n)x(n)称为称为 的的“主值序列主值序列”第8页，共110页，编辑于2022年，星期二3.2.3 DFT的导出 对对 和和 分别取一个周期，刚好对应分别取一个周期，刚好对应 和和 ，而，而 刚好为一个有限长序列，从而得到其刚好为一个有限长序列，从
5、而得到其离散的频域离散的频域 。时域离散、频域离散第9页，共110页，编辑于2022年，星期二 3.2.4 离散傅里叶变换的定义n n离散傅里叶正变换离散傅里叶正变换(DFT)定义定义00k kN N-1-1 00n nN N-1-1 x x(n n)长度为长度为M Mn n离散傅里叶反变换离散傅里叶反变换离散傅里叶反变换离散傅里叶反变换(IDFT)(IDFT)定义定义定义定义条件：条件：NMNM第10页，共110页，编辑于2022年，星期二3.2.5 DFT和Z变换、序列的傅里叶变换的关系 设序列设序列x(n)的长度为的长度为N，其，其Z变换、变换、DFT和傅里叶变换分和傅里叶变换分别为别为
6、 0k N-1第11页，共110页，编辑于2022年，星期二三种变换的关系 00k k N-1 N-100k k N-1 N-1n n比较三式可得比较三式可得第12页，共110页，编辑于2022年，星期二DFT和Z变换的关系00k k N-1 N-1单位圆上的单位圆上的8个等间隔取样点示意图个等间隔取样点示意图N N8 8序列序列序列序列x x(n n n n)的的的的N N点点点点DFTDFTDFTDFT相相相相当于是在当于是在当于是在当于是在x x(n n)的的的的z z变变换的单位圆上进行换的单位圆上进行N N点等间隔取样，同时点等间隔取样，同时点等间隔取样，同时点等间隔取样，同时第一个
7、取样点取在第一个取样点取在第一个取样点取在第一个取样点取在z z z z=1 1处。处。第13页，共110页，编辑于2022年，星期二DFT和DTFT的关系物理意义：物理意义：X X(k k)是是x x(n n)的傅里叶变换的傅里叶变换X X(e(ej j)在在区间区间00，22上的上的N N点等间隔取样。点等间隔取样。0k N-1第14页，共110页，编辑于2022年，星期二设有限长序列为设有限长序列为x(n)=R4(n)，求，求x(n)的傅里叶变换的傅里叶变换(DTFT)，以及，以及4点、点、8点、点、16点点DFT。解：（解：（1）x(n)的傅里叶变换的傅里叶变换 例3.2.1第15页，
8、共110页，编辑于2022年，星期二（3）x(n)的的8点点DFT（N8）k k=0=0，1 1，7 7（4）x(n)的的16点点DFT（N16）k k=0=0，1 1，15 15（2）x(n)的的4点点DFT（N4）第16页，共110页，编辑于2022年，星期二例3.2.1 的图形显示n nDFT实现了频域离实现了频域离散化。散化。n nDFTDFT与与与与N N有关，有关，有关，有关，N N越越越越大（对原序列尾部大（对原序列尾部大（对原序列尾部大（对原序列尾部补零）补零），对，对，对，对X(eX(ejwjw)采样的点数越多，采样的点数越多，越接近原连续信号越接近原连续信号的谱。的谱。N4
9、N8N16第17页，共110页，编辑于2022年，星期二3.2.6 DFT的隐含周期性（和DFS的关系）DFTDFT变换对，虽然在形式上是变换对，虽然在形式上是N N点序列的时频变换，但它点序列的时频变换，但它蕴含着首先把蕴含着首先把N N点的信号作周期延拓然后进行点的信号作周期延拓然后进行DFSDFS，最后，最后从从DFSDFS中各取主值。中各取主值。DFSDFS:DFTDFT:第18页，共110页，编辑于2022年，星期二3.3 离散傅里叶变换的基本性质 n线性性质线性性质n循环移位性质循环移位性质n循环卷积定理循环卷积定理n复共轭序列的复共轭序列的DFTDFTnDFTDFT的共轭对称性的
10、共轭对称性第19页，共110页，编辑于2022年，星期二3.3.1 线性性质设设x x1 1(n n)和和x x2 2(n n)长度分别为长度分别为N N1 1和和N N2 2，且且取取N N=max=maxN N1 1，N N2 2，则，则y y(n n)的的N N点点DFTDFT为为 0k N1 注意：如果注意：如果N N1 1和和N N2 2不相等，则以不相等，则以N N为为DFTDFT变换长度时，其变换长度时，其中相对较短的序列就通过补零增加到长度为中相对较短的序列就通过补零增加到长度为N N。第20页，共110页，编辑于2022年，星期二3.3.2 循环移位性质n序列的循环移位序列的
11、循环移位设设x x(n n)长度为长度为N N，则，则x x(n n)的循环移位定义：的循环移位定义：循环循环循环循环移位移位移位移位取主值取主值取主值取主值特点：从左移出，特点：从左移出，从右移入从右移入见书P80第21页，共110页，编辑于2022年，星期二设设x x(n n)是长度为是长度为N N的有限长序列，的有限长序列，y y(n n)为为x x(n n)的的循环移位，即：循环移位，即：则则其中，其中，0 0k k N N1 1，时域循环移位定理 有限长序列的循环移位导致频谱线性相移，而有限长序列的循环移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。对频谱幅度无影响。第22页，共110页，
12、编辑于2022年，星期二时域循环移位定理证明n证明证明令令n n+m m=n n，则有，则有第23页，共110页，编辑于2022年，星期二频域循环移位定理n频域循环移位定理频域循环移位定理 如果：如果：时域序列的调制等效于频域的循环移位时域序列的调制等效于频域的循环移位则：则：第24页，共110页，编辑于2022年，星期二3.3.3 循环卷积定理n序列序列N N点循环卷积点循环卷积x(n)和和h(n)的长度分别为的长度分别为N1和和N2，N=maxN1,N2。NNN第25页，共110页，编辑于2022年，星期二循环卷积过程循环卷积过程对序列对序列x(m)x(m)：x(0),x(1),x(N-1
13、x(0),x(1),x(N-1）先循环先循环 再反褶再反褶 再移位，取主值，得到其循环倒相序列再移位，取主值，得到其循环倒相序列 x(n-m)x(n-m)N NRRN N(n)(n)n=0 n=0时：时：x(0),x(N-1),x(N-2),x(2),x(1)x(0),x(N-1),x(N-2),x(2),x(1)x(0),x(N-1),x(N-2),x(2),x(1)x(0),x(N-1),x(N-2),x(2),x(1)n=1n=1时：时：x(1)x(0),x(N-1),x(N-2),x(2)x(1)x(0),x(N-1),x(N-2),x(2)x(1)x(0),x(N-1),x(N-2)
14、,x(2)x(1)x(0),x(N-1),x(N-2),x(2)得到循环卷积矩阵，见书得到循环卷积矩阵，见书得到循环卷积矩阵，见书得到循环卷积矩阵，见书P82P82P82P82式式式式3.2.63.2.63.2.63.2.6 再和再和h(m)h(m)相乘求和相乘求和图示说明图示说明第26页，共110页，编辑于2022年，星期二序列循环卷积结果：序列循环卷积结果：序列序列x(n)x(n)的的N N点循环卷积矩阵点循环卷积矩阵见书见书P82P82例例3.2.13.2.1第27页，共110页，编辑于2022年，星期二n时域循环卷积定理时域循环卷积定理 x1(n)和和x2(n)的长度分别为的长度分别为
15、N1和和N2，N=maxN1,N2。则：则：X(k)=X1(k)X2(k)NN时域作循环卷积频域作乘法若：若：第28页，共110页，编辑于2022年，星期二频域循环卷积定理则则 x(n)=x1(n)x2(n)若若 N N N NN N N N时域作乘法频域作循环卷积第30页，共110页，编辑于2022年，星期二3.3.4 复共轭序列的DFTn复共轭序列的复共轭序列的DFT DFT 设设x x*(n n)是是x x(n n)的复共轭序列，长度为的复共轭序列，长度为N N，00k kN-1N-1则则且且第31页，共110页，编辑于2022年，星期二复共轭序列的DFT的证明证明：证明：第32页，共1
16、10页，编辑于2022年，星期二任意序列可表示为：任意序列可表示为：3.3.5 DFT的共轭对称性1.1.任意序列的共轭对称分量与共轭反对称分量任意序列的共轭对称分量与共轭反对称分量 特点特点:关于原点对称关于原点对称第33页，共110页，编辑于2022年，星期二2.2.2.2.有限长序列的共轭对称和共轭反对称分量有限长序列的共轭对称和共轭反对称分量有限长序列的共轭对称和共轭反对称分量有限长序列的共轭对称和共轭反对称分量共轭反对称序列：共轭反对称序列：共轭对称序列：共轭对称序列：关于关于N/2对称对称第34页，共110页，编辑于2022年，星期二3.有限长序列的分解任意有限长序列：任意有限长序
17、列：其中：其中：第35页，共110页，编辑于2022年，星期二3.有限长序列的分解同样有：同样有：第36页，共110页，编辑于2022年，星期二4.有限长序列共轭对称性1其中其中:时域作实、虚部分解，频域作共轭对称、反对称分解时域作实、虚部分解，频域作共轭对称、反对称分解第37页，共110页，编辑于2022年，星期二4.有限长序列共轭对称性2其中其中:时域作共轭对称、反对称分解，频域作实、虚部分解时域作共轭对称、反对称分解，频域作实、虚部分解第38页，共110页，编辑于2022年，星期二5.实序列共轭对称性即：即：当当N N为偶数时，只需计算为偶数时，只需计算N/2+1N/2+1个点个点当当N
18、 N为奇数时，只需计算（为奇数时，只需计算（N N1)/21)/2个点个点减少运算量，提高运算效率第39页，共110页，编辑于2022年，星期二实序列共轭对称性的应用实序列共轭对称性的应用 例：设例：设x x1 1(n n)和和x x2 2(n n)都是都是N N点的实数序列，试用一次点的实数序列，试用一次 N N点点DFTDFT运算来计算它们各自的运算来计算它们各自的DFTDFT。1 1、4 4、3 3、2 2、一次一次N N点点DFTDFT第40页，共110页，编辑于2022年，星期二3.3.6 DFTDFT形式下的形式下的ParsevalParseval定理定理第41页，共110页，编辑
19、于2022年，星期二3.4 频域抽样理论 n频域抽样频域抽样 指对序列的傅里叶变换指对序列的傅里叶变换X(ej)进行抽样。进行抽样。n对有限长序列而言，由对有限长序列而言，由DFT的讨论可知，的讨论可知，DFT是在频域内对序列傅里叶变换是在频域内对序列傅里叶变换X(ej)的等间隔取样，即实现了的等间隔取样，即实现了频域抽样频域抽样。第42页，共110页，编辑于2022年，星期二要解决的问题：要解决的问题：x(n)x(t)fs2fm、g(t)X(k)X(ejw)?、?？时域抽样定理：在满足奈奎斯特定理条件下，时域抽时域抽样定理：在满足奈奎斯特定理条件下，时域抽样信号可以不失真地还原原连续信号。样
20、信号可以不失真地还原原连续信号。频域抽样呢？频域抽样呢？X(K)X(K)能恢复能恢复X(eX(ejwjw)吗？抽样条件？吗？抽样条件？内插公式？内插公式？第43页，共110页，编辑于2022年，星期二3.4.1 频域取样 设任意序列设任意序列x(n)x(n)存在存在Z Z变换，且收敛域包括单位圆变换，且收敛域包括单位圆 在单位圆上对在单位圆上对X X(z z)进行进行N N点等间隔取样，得到点等间隔取样，得到 第44页，共110页，编辑于2022年，星期二推导：将将X(k)看成是长度为看成是长度为N的有限长序列的有限长序列 的的DFT，即，即 0nN-1 定义定义由于由于所以所以 第45页，共
21、110页，编辑于2022年，星期二代入频率取样值，得代入频率取样值，得式中，式中，x x(m m)x x(n n)由于由于 所以所以推导：第46页，共110页，编辑于2022年，星期二 的意义 是原序列是原序列x x(n n)以以N N为周期的周期延拓序列。为周期的周期延拓序列。时域的取样造成频域的周期延拓，频域上的取样，时域的取样造成频域的周期延拓，频域上的取样，同样也造成时域的周期延拓，这正是傅里叶变换时同样也造成时域的周期延拓，这正是傅里叶变换时域和频域之间对称关系的反映。域和频域之间对称关系的反映。当序列当序列x x(n n)的长度为的长度为M M，当，当 N N y=fft(x);n
22、y=fft(x,N);ny=fft(x)利用利用FFT算法计算序列算法计算序列x的离散傅里叶变换。的离散傅里叶变换。ny=fft(x,N)采用采用N点点FFT。n当序列当序列x长度小于长度小于N时，函数时，函数fft自动对序列尾部补零，构成自动对序列尾部补零，构成N点点数据；数据；n当当x长度大于长度大于N时，函数时，函数fft自动截取序列前面自动截取序列前面N点数据进行点数据进行FFT。第96页，共110页，编辑于2022年，星期二例1：计算R4(n)的频谱。clear;xn=1 1 1 1;Xk=fft(xn,512);Xk16=fft(xn,16);Xk32=fft(xn,32);k=0
23、:15;wk=2*k/16;subplot(3,2,1);stem(wk,abs(Xk16),.);以下为绘图程序略 第97页，共110页，编辑于2022年，星期二3.6.2 频域采样定理的验证M=26;N=32;n=0:M;xa=0:M/2;xb=ceil(M/2)-1:-1:0;xn=xa,xb;Xk=fft(xn,512);X32k=fft(xn,32);X16k=X32k(1:2:N);x32n=ifft(X32k);x16n=ifft(X16k,N/2);subplot(3,2,2);stem(n,xn,.)以下是绘图程序略第98页，共110页，编辑于2022年，星期二结果图第99页
24、，共110页，编辑于2022年，星期二3.6.3 用DFT计算线性卷积的Matlab实现n函数函数ifft用于快速计算向量或矩阵的离散用于快速计算向量或矩阵的离散傅里叶逆变换，与函数傅里叶逆变换，与函数fft的调用规则基的调用规则基本相同。本相同。n调用方式为调用方式为ny=ifft(x);ny=ifft(x,N);第100页，共110页，编辑于2022年，星期二例：利用FFT实现线性卷积例例 利用利用FFT实现线性卷积。已知序列实现线性卷积。已知序列x(n)=R4(n)，求：，求：（1）用）用conv函数求函数求x(n)与与x(n)的线性卷积的线性卷积y(n)，并绘出图形；，并绘出图形；（2
25、）用）用FFT求求x(n)与与x(n)的的4点循环卷积点循环卷积y1(n)，并绘出图形；，并绘出图形；（3）用）用FFT求求x(n)与与x(n)的的8点循环卷积点循环卷积y2(n)，并将结果，并将结果与（与（1）比较，说明线性卷积与循环卷积之间的关系。）比较，说明线性卷积与循环卷积之间的关系。解解 程序如下：程序如下：第101页，共110页，编辑于2022年，星期二N1=4;N2=8;n1=0:1:N1-1;n2=0:1:N2-1;x=1,1,1,1;%构造序列构造序列x(n)x1=1,1,1,1,0,0,0,0;%在序列在序列x(n)后补后补4个零个零figure(1)subplot(2,2
26、,1)stem(n1,x),grid on;title(序列序列x(n)y1=conv(x,x);%y1为为x(n)与与x(n)的线性卷积的线性卷积subplot(2,2,2)stem(0:1:length(y1)-1,y1),grid on;title(x(n)与与x(n)线性卷积线性卷积)第102页，共110页，编辑于2022年，星期二X2=fft(x);%计算计算x(n)与与x(n)的的4点循环卷积点循环卷积Y2=X2.*X2;y2=ifft(Y2);subplot(2,2,3)stem(n1,y2),grid on;title(x(n)与与x(n)的的4点循环卷积点循环卷积)X3=ff
27、t(x1);%计算计算x(n)与与x(n)的的8点循环卷积点循环卷积Y3=X3.*X3;y3=ifft(Y3)subplot(2,2,4)stem(n2,y3),grid on;title(x(n)与与x(n)的的8点循环卷积点循环卷积)第103页，共110页，编辑于2022年，星期二程序运行结果图第104页，共110页，编辑于2022年，星期二3.6.4 3.6.4 高密度谱与高分辨率谱差异的高密度谱与高分辨率谱差异的MatlabMatlab实现实现 例例 试通过计算说明高密度频谱和高分辨率频谱之间的差异。试通过计算说明高密度频谱和高分辨率频谱之间的差异。（1）取）取x(n)（0n10）时，
28、求其离散傅里叶变换）时，求其离散傅里叶变换X1(k);（2）将（）将（1）中的）中的x(n)以补零的方式，使以补零的方式，使x(n)加长到加长到 0n100，求，求X2(k);（3）取）取x(n)（0n100），求），求X3(k);（4）比较分析）比较分析X1(k)、X2(k)、X3(k)，说明高密度频谱和高，说明高密度频谱和高 分辨率频谱之间的差异。分辨率频谱之间的差异。第105页，共110页，编辑于2022年，星期二Matlab程序清单n1=0:9;x=cos(0.48*pi*n1)+sin(0.52*pi*n1);X1=abs(fft(x);%对对10点的时域信号进行点的时域信号进行FF
29、T变换并取模变换并取模xc=x,zeros(1,90);%在序列后补在序列后补90个零，得到长度为个零，得到长度为100的序列的序列X2=abs(fft(xc);%对补零后的时域信号进行对补零后的时域信号进行FFT变换并取模变换并取模n=0:99;xn=cos(0.48*pi*n)+sin(0.52*pi*n);%建立建立100个点的时域信号个点的时域信号X3=abs(fft(xn);%对对100点的时域信号进行点的时域信号进行FFT变换并取模变换并取模第106页，共110页，编辑于2022年，星期二figure(1);subplot(3,1,1);stem(n1,X1)%画出原始信号画出原始
30、信号10点的点的DFT变换的图变换的图title(取样取样10点的点的DFT)subplot(3,1,2);stem(n,X2)%画出补画出补90个零后的个零后的DFT变换的图变换的图title(补补0到到100点的点的DFT)subplot(3,1,3);stem(n,X3)%画出取样点数为画出取样点数为100的的DFT变换的图变换的图title(取样取样100点的点的DFT)第107页，共110页，编辑于2022年，星期二程序运行结果高密度谱高密度谱高分辨率谱高分辨率谱第108页，共110页，编辑于2022年，星期二本章小结：1.1.序列离散傅立叶变换（序列离散傅立叶变换（DFT)DFT)及其性质；及其性质；2.2.周期序列的周期序列的DFSDFS及及DFTDFT；3.3.频域采样定理；频域采样定理；4.4.循环卷积计算线性卷积；循环卷积计算线性卷积；5.5.DFTDFT作谱分析。作谱分析。第109页，共110页，编辑于2022年，星期二本章作业：本章作业：P105T2 T2（1 1）T4T4T12T12T15T15T18T18T19T19 第110页，共110页，编辑于2022年，星期二