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1、因式分解高级篇十字相乘第1页，本讲稿共25页知识结构知识结构因式分解常因式分解常用方法用方法提公因式法提公因式法公式法公式法十字相乘法十字相乘法分组分解法分组分解法拆项添项法拆项添项法配方法配方法待定系数法待定系数法求根法求根法第2页，本讲稿共25页一、提公因式法一、提公因式法 只需只需找到找到多项式中的多项式中的公因式公因式，然，然后用后用原多项式除以公因式原多项式除以公因式，把所得的，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。法结合起来用。提公因式法提公因式法随堂练习：随堂练习：1）15(mn)+13(nm)2）4(x+y)+4(x3y)第3页，
2、本讲稿共25页二、公式法二、公式法 只需发现多项式的只需发现多项式的特点特点，再将，再将符合其形式的公式套进去即可完成因符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法式分解，有时需和别的方法结合结合或多或多种公式种公式结合结合。接下来是一些常用的乘法公式，接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。可以逆用进行因式分解。第4页，本讲稿共25页常用公式常用公式1、(a+b)(ab)=a2b2 （平方差公式）平方差公式）2、(ab)2=a22ab+b2 （完全平方公式）（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2ab
3、+b2)（立方和公式）（立方和公式）及及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2)（立方差公式）（立方差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导公式推导第5页，本讲稿共25页三、十字相乘法三、十字相乘法前面出现了一个公式：前面出现了一个公式：前面出现了一个公式：前面出现了一个公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我们可以用它进行因式分解我们可以用它进行因式分解我们可以用它进行因式分解我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）（适用于二次
4、三项式）（适用于二次三项式）（适用于二次三项式）例例1：因式分解：因式分解x2+4x+3可以看出常数项可以看出常数项可以看出常数项可以看出常数项 3=3=1 3而一次项系数而一次项系数而一次项系数而一次项系数 4=4=1+3原式原式原式原式=(=(x x+1)()(x x+3)暂且称为暂且称为暂且称为暂且称为p、q型因式分解型因式分解第6页，本讲稿共25页例例2：因式分解：因式分解x27x+10可以看出常数项可以看出常数项可以看出常数项可以看出常数项10=10=(2)(5)而一次项系数而一次项系数而一次项系数而一次项系数 7=7=(2)+(5)原式原式原式原式=(=(x x2)()(x x5)
5、这个公式简单的说，这个公式简单的说，这个公式简单的说，这个公式简单的说，就是把常数项拆成两个数的乘积，就是把常数项拆成两个数的乘积，就是把常数项拆成两个数的乘积，就是把常数项拆成两个数的乘积，而这两个数的和刚好等于一次项系数而这两个数的和刚好等于一次项系数而这两个数的和刚好等于一次项系数而这两个数的和刚好等于一次项系数十字相乘法十字相乘法随堂练习：随堂练习：1）a26a+5 2）a25a+63）x2(2m+1)x+m2+m2特点：特点：二次项系数为二次项系数为1第7页，本讲稿共25页三、十字相乘法三、十字相乘法试因式分解试因式分解6x2+7x+2。这里就要用到这里就要用到这里就要用到这里就要用
6、到十字相乘法十字相乘法（适用于二次三项式）（适用于二次三项式）。既然是二次式，就可以写成既然是二次式，就可以写成既然是二次式，就可以写成既然是二次式，就可以写成(axax+b b)()(cxcx+d d)的形式。的形式。的形式。的形式。(ax+b)(cx+d)=所以，需要将所以，需要将所以，需要将所以，需要将二次项系数二次项系数与与与与常数项常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，分别拆成两个数的积，而这四个数中，分别拆成两个数的积，而这四个数中，分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么
7、因式分两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。解就成功了。解就成功了。解就成功了。acad+bcbd第8页，本讲稿共25页=173 x2+11 x+106 x2+7 x+223124+3=76x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+63x2+11x+10=(x+2)(3x+5)(ax+b)(cx+d)=acad+bcbd第9页，本讲稿共25页=65 x2 6 xy 8 y2试因式分解试因式分解5x26xy8y2。这里仍然可以用这里仍然可以用这里仍然可以用这里仍然可以用十
8、字相乘法十字相乘法。15244 105x26xy8y2=(x2y)(5x+4y)简记口诀：简记口诀：首尾分解，首尾分解，交叉相乘，交叉相乘，求和凑中。求和凑中。十字相乘法十字相乘法随堂练习：随堂练习：1）4a29a+22）7a219a63）2(x2+y2)+5xy第10页，本讲稿共25页2课时第11页，本讲稿共25页四、分组分解法四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等过交换项的位置，添、去括号等一些一些变换变换达到因式分解的目的。达到因式分解的目的。例例1：因式分解：因式分解 abac+bdcd。解：原式解：原式=(ab ac)+(bd c
9、d)=a(b c)+d(b c)=(a+d)(b c)还有别的还有别的解法吗？解法吗？第12页，本讲稿共25页四、分组分解法四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些交换项的位置，添、去括号等一些变换变换达到因式分解的目的。达到因式分解的目的。例例1：因式分解：因式分解 abac+bdcd。解：原式解：原式=(ab+bd)(ac+cd)=b(a+d)c(a+d)=(a+d)(b c)第13页，本讲稿共25页例例2：因式分解：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x
10、2+x+1)=(x+1)(x2x+1)(x2+x+1)立方和公式立方和公式分组分解法分组分解法随堂练习：随堂练习：1）xyxzy2+2yzz22）a2b2c22bc2a+1第14页，本讲稿共25页回顾例题：回顾例题：因式分解因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1x2)=(x+1)(x2+1)2x2 =(x+1)(x2+x+1)(x2x+1)*五、拆项、添项法五、拆项、添项法怎么结果怎么结果与刚才不与刚才不一样呢？一样呢？因为它还因为它还可以继续可以继续因式分解因式分解
11、第15页，本讲稿共25页 拆项添项法对数学能力有着拆项添项法对数学能力有着更高的更高的要求要求，需要，需要观察观察到多项式中应拆哪一项使到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的定的预见性预见性，尝试较多，做题较繁琐。，尝试较多，做题较繁琐。最好能根据现有多项式内的项最好能根据现有多项式内的项猜测猜测可能需可能需要使用的公式，有时要根据形式要使用的公式，有时要根据形式猜测猜测可能的系可能的系数。数。五五*、拆项添项法、拆项添项法第16页，本讲稿共25页因式分解因式分解 x4+4解：原式解：原式=x4+4x2+4 4x2 =(x2+2)
12、2 (2x)2 =(x2+2x+2)(x22x+2)都是平方项都是平方项猜测使用完全平方公式猜测使用完全平方公式完全平方公式完全平方公式平方差公式平方差公式拆项添项法拆项添项法随堂练习：随堂练习：1）x423x2y2+y42）(m21)(n21)+4mn第17页，本讲稿共25页配方法配方法 配方法是一种特殊的拆项添项法，配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式将多项式配成完全平方式配成完全平方式，再用平方，再用平方差公式进行分解。差公式进行分解。因式分解因式分解 a2b2+4a+2b+3。解：原式解：原式=(a2+4a+4)(b22b+1)=(a+2)2 (b1)2 =(a+b+1)(ab+3)
13、配方法配方法 (拆项添项法拆项添项法)分组分解法分组分解法完全平方公式完全平方公式平方差公式平方差公式第18页，本讲稿共25页六六*、待定系数法、待定系数法试因式分解试因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。通过十字相乘法得到通过十字相乘法得到通过十字相乘法得到通过十字相乘法得到 (2(2x x33y y)()(x x+3+3y y)设原式等于设原式等于(2x3y+a)(x+3y+b)通过比较两式同类项的系数可得：通过比较两式同类项的系数可得：通过比较两式同类项的系数可得：通过比较两式同类项的系数可得：解得：解得：解得：解得：，原式原式原式原式 =(2=(2x x33y y+4)(+
14、4)(x x+3+3y y+5)+5)待定系数法，待定系数法，一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。数法。第19页，本讲稿共25页=3=1410+42
15、x2+3 xy 9 y2+14 x 3 y+20双十字相乘法双十字相乘法 双十字相乘法适用于双十字相乘法适用于二次六项式二次六项式的因的因式分解，而待定系数法则没有这个限制。式分解，而待定系数法则没有这个限制。因式分解因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。21336 345=312 15原式原式原式原式 =(2x x3y y+4)()(x x+3y y+5)第20页，本讲稿共25页七七*、求根法、求根法 设原多项式等于零，解出方程的设原多项式等于零，解出方程的解解 x1、x2，则原式就可以分解为，则原式就可以分解为(xx1)(xx2)(xx3)更多的方法需要同学们自己去寻找更多的方
16、法需要同学们自己去寻找!多练才能拥有自己的解题智慧多练才能拥有自己的解题智慧!第21页，本讲稿共25页综综合合训训练练(一一)第22页，本讲稿共25页综合训练综合训练(二二)2、x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz因式因式分解后的分解后的结果是结果是()()。A.(A.(y y z z)()(x x+y y)()(x x z z)B.()B.(y y z z)()(x x y y)()(x x+z z)C.(C.(y y+z z)()(x x y y)()(x x+z z)D.()D.(y y+z z)()(x x+y y)()(x x z z)3、因式分解、因式分解 x3+6x2+11x+6。第23页，本讲稿共25页综合训练综合训练(三三)第24页，本讲稿共25页总结训练总结训练(一一)第25页，本讲稿共25页