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1、第十五讲 曲线的凹向与拐点第1页，本讲稿共22页yOx ABCabc 一、曲线的凹向及其判别法一、曲线的凹向及其判别法第2页，本讲稿共22页第3页，本讲稿共22页二、拐点及其求法二、拐点及其求法第4页，本讲稿共22页 yxO11-1-1第5页，本讲稿共22页例例3.3.判断曲线判断曲线的凹凸性的凹凸性.解解:故曲线故曲线在在上是向上凹的上是向上凹的.说明说明:1)若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0,2)2)根据拐点的定义及上述定理根据拐点的定义及上述定理,可得可得拐点的判别法拐点的判别法如下如下:若曲线或不存在或不存在,但但在在 两侧两侧异号异号,则点则点是曲线是曲线的一个拐点的一个拐点
2、.则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号在其两侧二阶导数不变号,第6页，本讲稿共22页例例4.4.求曲线求曲线的拐点的拐点.解解:不存在因此点因此点(0,0)为曲线为曲线的拐点的拐点.凹凹凸第7页，本讲稿共22页例例5.5.求曲线求曲线的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解:1)求求2)求求:拐点可能点坐标拐点可能点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向下凹下凹,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸第8页，本讲稿共22页yOxCMNPLa三、曲线的渐近线三、曲线的渐近线第9页，本讲稿共22页第10页，本讲稿共22页例例6.求曲线的渐近线.解解:所以有铅直渐近线及又因为
3、曲线的斜渐近线.第11页，本讲稿共22页第12页，本讲稿共22页二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘步骤步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为 0 和不存在的点;并考察其对称性及周第13页，本讲稿共22页第14页，本讲稿共22页第15页，本讲稿共22页第16页，本讲稿共22页例例8.描绘的图形.解解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点)(极小)4)第17页，本讲稿共22页例例9.描绘函数的图形.解解:1)定义域为图形对称于 y 轴.2)求关键点3)判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)第18页，本讲稿共22页(极大极大)(拐点拐点)为水平渐近线5)作图4)求渐近线第19页，本讲稿共22页第20页，本讲稿共22页作业作业 P P12.第21页，本讲稿共22页第22页，本讲稿共22页