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1、yOx ABCabc 一、曲线的凹向及其判别法一、曲线的凹向及其判别法二、拐点及其求法二、拐点及其求法 yxO11-1-1例例3.3. 判断曲线判断曲线4xy 的凹凸性的凹凸性. .解解: :,34xy 212xy 时，时，当当0 x;0 y,时时0 x, 0 y故曲线故曲线4xy 在在),(上是向上凹的上是向上凹的. .说明说明:1) 若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0 ,2) 2) 根据拐点的定义及上述定理根据拐点的定义及上述定理, , 可得可得拐点的判别法拐点的判别法如下如下: :若曲线)(xfy ,连续连续在点在点0 x00 )(xf或不存在或不存在,但但)(xf 在在 两侧两侧
2、异号异号,0 x则点则点)(,(00 xfx是曲线是曲线)(xfy 的一个拐点的一个拐点.则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号在其两侧二阶导数不变号,xyo例例4.4. 求曲线求曲线3xy 的拐点的拐点. 解解: :,3231xy3592 xyxy y0),(0),(0不存在0因此点因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线为曲线3xy 的拐点的拐点 . .oxy凹凹凸xxy24362 )(3632xx例例5.5. 求曲线求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解:1) 求求y ,121223xxy2) 求求:拐点可能点坐标拐点可能点坐标令0 y得,0322
3、1xx对应3) 列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向下凹下凹, 点 ( 0 , 1 ) 及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0(),(271132yOxCMNPLay kx b( )yf x三、曲线的渐近线三、曲线的渐近线例例 ) 1)(3(32323xxxxxxy， 例例6. 求曲线3223xxxy的渐近线 .解解:,) 1)(3(3xxxy,lim3yx) 1(x或所以有铅直渐近线3x及1x又因xxfkx)(lim32lim22xxxx1)(limxxfbx3232l
4、im22xxxxx22xy为曲线的斜渐近线 .312 xyy O x 二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘步骤步骤 :1. 确定函数)(xfy 的定义域 ,期性 ;2. 求, )(, )(xfxf 并求出)(xf 及)(xf 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 ;5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .为 0 和不存在的点 ;并考察其对称性及周y O x 1 2 1 2 -1 例例8. 描绘22331xxy的图形.解解: 1) 定义域为, ),(无对称性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(极大)(拐点)32(极小)4)xy1332201231例例9. 描绘函数21y22xe的图形. 解解: 1) 定义域为, ),(图形对称于 y 轴.2) 求关键点 y21,22xex y2122xe)1 (2x得令0 y;0 x得令0 y1x2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (3) 判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)(极大极大)(拐点拐点)0limyx0y为水平渐近线5) 作图4) 求渐近线2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (2221xeyxyoBA21作业作业 P P12.