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1、第十八章第十八章 勾股定理勾股定理 本章小结本章小结沉着说课沉着说课勾股定理是反映自然界根本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学开展中起过重要作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的发现验证和应用蕴涵着丰富的文化价值勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生对直角三角形有了更进一步的认识和理解为了使学生更好地认识勾股定理和它的逆定理，更好地运用他的解决实际生活中的问题，通过回忆已学过的知识，加强对勾股定理及逆定理的理解和应用在本章，数形结合的思想有较多的表达，教学中应更进一步地渗透这种思想，让学生更进一步体验从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图
2、形联想到有关的代数表示，这有助于学生认识数学的内在联系勾股定理和逆定理在现实世界中有着较为广泛的应用。在本小结中应让学生更进一步体会它们在解决问题中的作用，认识现实世界中蕴涵着丰富的数学信息 进一步介绍有关勾股定理的历史，表达其文化价值 这一定理又导致了无理数的产生数学历史上的第一次数学危机本章小结三维目标三维目标一、知识与技能1对直角三角形的特殊性质全面地进行总结2让学生回忆本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程；体会勾股定理及其逆定理的广泛应用3了解勾股定理的历史二、过程与方法1体会在结论获得和验证过程中的数形结合的思想方法2在回忆与思考的过程中，提高学生解决问题，反
3、思问题的能力，鼓励学生具有创新精神三、情感态度与价值观1在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣2通过对勾股定理历史的了解，培养学生的爱国主义精神，体验科学给人类带来的力量教学重点教学重点1回忆并思考勾股定理及其逆定理获得和验证的过程；总结直角三角形边、角之间分别存在的关系2体会勾股定理及其逆定理在生活中的广泛应用教学难点教学难点1勾股定理及其逆定理的广泛应用2建立本章的知识框架图，教具准备教具准备多媒体课件教学过程教学过程一、引入新课勾股定理，我们把它称为世界第一定理 它的重要性，通过这一章的学习已深有体验 首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是
4、由于勾股定理的发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在?实数?一章里讲到第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整解答的最早的不定方程，由此由它引导出各式各样的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到 1995 年，数学家怀尔斯才将它证明勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比拟完整地研究了这个先人给我们留下来的珍贵的财富，这节课，我们将通过回忆与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用二、回忆与思考问题 1：直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系?师：在上一学期我们已对直角三角形有所涉及，而这一章我们又重点研究了直
5、角三角形的性质现在我们来答复下列问题 1，从直角三角形的边、角的特殊性角度全面地进行总结生：从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角的关系来说，由于直角三角形中有一个特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角互余生：我认为直角三角形作为一个特殊的三角形，如果又有一个锐角是 30，那么 30的角所对的直角边是斜边的一半师：很好我们的学习就应该是一个不断总结、概括、创新的过程随着以后的学习，你会发现，直角三角形还有它更吸引人的地方下面我们来看第 2 个问题问题 2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形生：判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断例如：在ABC 中，B75，C15，根据三
6、角形的内角和定理，可得A90根据定义可判断ABC 是直角三角形在ABC 中A12B13C，由三角形的内角和定理可知A2A3A180，所以A30，B2A60，C3A90，ABC 是直角三角形上面两个例子都是从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形生：我来说一下从边如何去判断一个三角形是直角三角形吧 其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件(即勾股定理的逆定理)例如：ABC 的三条边分别为 a7，b25，c24，而 a2c272242625252b2，即 a2c2b2，根据勾股定理的逆定理可知ABC 是直角三角形但这里要注意的是 b所对的角B90ABC 三条边的比为 a:b
7、:c5:12:13，那么可设 a5k，b12k，c13k，a2b225k2144k2169k2，c2(13k)2169k2，所以，a2b2c2，ABC 是直角三角形师：同学们对我们所学知识能很灵活地运用在谈到应用这些知识的同时，我们不妨重温一下勾股定理的获得和验证的过程，体会验证过程中的数形结合的思想和方法，对于我们将来学习和研究数学会大有益处生：勾股定理获得是从一些特例猜测得到的我们在方格纸上任意画出一个直角三角形，使它的每个顶点都在方格纸的交点上，然后以它的每个边为边长在外部长出三个正方形，我们通过讨论、计算、数格子的方法得到了三个正方形的面积，并且发现以斜边为边长的正方形的面积等于那两个
8、以直角边为边长的正方形的面积和，我们设直角三角形的两直角边为 a、b，斜边为 c，大正方形的面积是 c2，两个小正方形的面积为 a2、b2，由上面的关系，我们猜测，是不是所有的直角三角形都有 a2b2c2这个结论呢?师：这位同学的思路很好勾股定理又是如何验证的呢?生：先是又找了几个特例验证，发现这个结论正确。但我们不可能把所有的直角三角形都拿来验证，仅此说明它正确，又不可信接下来我们就用先人的方法拼图，从一般意义上证明了勾股定理：取四个全等的直角三角形，将它们拼摆，得到一个以斜边为边长的正方形，通过用两种方法表示拼出的整个图形的面积，找到相等关系，从而得到勾股定理师：在我们的数学史上，好多结论
9、的发现都是这样一个过程，都是从几个或大量的特例中发现规律，大胆猜测出结论，然后以前面的理论作为根底，证明猜测，一个伟大的成果就诞生了掌握这种研究数学的方法，大胆创新，刻苦钻研，说不一定你就是未来的商高，第二个赵爽问题 3：请你举生活中的一个实例，并运用勾股定理解决它(这个问题可让学生在小组内先交流讨论，实例已由学生事先准备好，然后每组推荐一个最好的实例，展示给全班同学在全班进行交流)生：例如：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力如下列图，据气象观测，距沿海城市 A 的正南方向 260 千米 B处有一台风中心，沿 BC 的方向以 15 千米时的速
10、度向 D 移动，AD 是城市 A 距台风中心的距离最短，且 AD100 千米，求台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点?解：根据题意可知 ADBC在 RtABD 中，AB260 千米，AD100 千米，AB2AD2BD2，所以 BD2AB2AD2260210022402，BD240 千米那么台风中心经过 240 千米15 千米时16(小时)从 B 点移到 D 点生：例如：一个长为 10 米的梯子斜靠在墙上梯子的顶端距地面的垂直高度为 8 米，梯子的顶端下滑 2 米后，底端将水平滑动 2 米吗?试说明理由解：根据题意，可知：下列图中 ABDE10 米，AC8 米，AD2 米，所以 DC826
11、 米在 RtABC 中，BC2AB2AC21028236，BC6 米，在 RtCDE 中，CE2DC2CD21026282，CE8 米，那么 BECECB862 米所以顶端向下滑动 2 米，底端也水平滑动 2 米师：我们从学习这一章开始，就让同学们通过各种渠道收集勾股定理史料现在我们就来介绍一下你们收集到的有关勾股定理的史料吧问题 4：你了解勾股定理的史料吗?回在上古时代，人类虽然“愚昧无知，但是，当他们仰望苍穹时，也会引起无穷无尽的遥想，经常有人提出这样的问题：天有多高?要是从天地的形成来解释，也是有数的，据说，天和地原先是混沌的一团，像个大鸡蛋，后来降生一个神，叫盘古，由他来开天辟地据说“
12、天日高一丈，地日厚一丈，盘古日长一丈，如此万八千岁盘古的身子每天长高一丈，一万八千年后，这个顶天立地的大汉有多高，天也就是多高了虽然人们竭力探索通往天庭的路径，但希望是渺茫的。约在公元前 12 世纪，周朝政治家姬旦(即周公)首先考虑到确定“天高的问题当时，他要搞一番建设事业，需要广泛的科学技术的知识，也涉及测量问题，于是，他就把知名的学者商高找来，问道：“听说你的数学造诣很深，请你谈谈，古代伏羲是怎样确定天球的度数的?没有台阶走上天庭，也没有方法用尺子量测大地，那么，怎么知道天高地广的数呢?这就是数学史上有名的“周公问数这段话记载在?周髀算经?的首页昔者，周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请
13、问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出?骨髀算经?问世至今已经两千年了它所写的周公那么是距今三千年以前的古人他居然能够提这样大胆的设想测天量地，实在难能可贵不过，被问者商高也不模糊，当即胸有成竹地作出符合科学道理的答复商高认为：“数之法出自圆方。于是他联想到存在于矩之中的微妙内在关系：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五从此建立了直角三角形中的三边关系，即勾、股、弦构成三、四、五的关系商高的这桩发现在数学史上形成了一个新的里程碑，是对人类处理生活和生产问题，以及加强对大自然斗争手段的重要奉献后人在他的根底上进一步探索，终于确定了“勾股定理：a2b2c2式中 a、b
14、直角三角形直角边；c直角三角形的斜边商高答问的时间约在公元前 12 世纪，而在西方，那么在公元前 6 世纪才由古希腊数学家毕达哥拉斯发现“毕氏定理(即我国的“勾股定理)那么，回到“天有多高问题上来，商高用什么方法来测天量地呢?他的主要方法就是使用直角三角形中的勾、股、弦关系，并且确信，除非数学被应用于水工技术，否那么大禹是不可能战胜洪水的就这样，?周髀算经?提出一那么“荣子与陈子的答复的故事来具体说明商高方法的应用师：这位同学讲得很好陈子测日高的方法确实是一项了不起的创造，虽然由于大地不是平的，导致所得结果的误差太大，因此用这种方法测日高是不准确的，但是，这种方法却可以用于测量高耸景物的高度和
15、距离，陈子称自己的方法是“望远起高之术，为后人测度“可望不可及的景物提供极好的线索。由于时间关系，对勾股定理的历史同学们可继续收集，交流、讨论三、课时小结通过回忆与思考中的问题的交流由同学们自己建立本章的知识结构图板书设计板书设计本章小结1回忆与思考问题 1：直角三角形的边，角之间分别存在什么关系?在 RtABC 中，C90，那么有AB90，a2b2c2问题 2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形?在ABC 中如果AB90，那么ABC 是直角三角形如果 a2b2c2，那么ABC 是直角三角形问题 3：举生活实例，用勾股定理解决它例 1台风问题例 2梯子问题问题 4：勾股定理史料2本章知识
16、结构图=活动与探究如下列图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边 AD，点 D 落在 BC 边的点 F处，AD8cm，DC10cm，求 EC 的长过程：“折叠问题是数学中常见问题之一由折叠的过程可知AFEADE、ADAF，DCEF，在 RtABF 中，AB8cm，AF10cm，BF2AF2AB21028262，BF6，FCBCBF1064cm，如果设 CExcm，DE(8x)cm，所以 EF(8x)cm在 RtCEF 中，EF2CF2CE2，用这个关系就可建立关于 x 的方程解出 x 便求得 CE结果：解：根据题意，得(8x)242x2所以 x3，即 CE 的长为 3cm习题详解复习题
17、 181解：两人从同一地点同时出发10 分后，一人向北直行 200 米，一人向东直行 300米，此时，他们相距 2022300210013 米2解：根据题意 AC AB2BC2 1342772110mm所以两孔中心的垂直距离110mm3解：覆盖在顶上的塑料薄膜需a2b2d 321.521033.5m24解：根据题意，设三角形的三边分别为 k，3 k，2k，(3 k)2k2(2k)2，所以这个三角形是直角三角形5(1)逆命题：同位角相等，两条直线平行此逆命题成立；(2)逆命题：如果两个数的积是正数，那么这两个数是正数，此逆命题不成立；(3)逆命题；锐角三角形是等边三角形，此逆命题不成立；(4)逆
18、命题：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等此逆命题成立6解：(1)四边形 ABCD 的面积为：56(122412151221121415)30(452126)30135214.5四边形 ABCD 的周长为：2242 1222 1242 12522 5 5 17 26 3 5 17 26(2)BC2 5，CD 5，BD5(2 5)2(5)225所以 BC2CD2BD2即BCD 为直角7解：设折断处离地面的高度是 x 尺，根据题意，得(10 x)2x232解，得 x9120；所以折断处离地面的高度为9120尺，8解：圆柱底面的周长为 12cm，那么蚂蚁从 A 点爬到 B 点的最短路程(6)210214.6cm9解：根据题意长方体的斜对角线的长度 30240250270.7cm70cm70.7cm所以一根 70cm 长的木棒，可以放在长、宽、高分别是 30cm、40cm、50cm 的长方体木箱中。