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1、高等数学竞赛试题1一、 填空： 1若是上的连续函数，则a = 1 。2函数在区间上的最大值为 。3 。4由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为 。5设函数由方程所确定，则 。二、选择题： 1 设函数f (x)可导，并且，则当时，该函数在点处微分dy是的（ A ）（A）等价无穷小； （B）同阶但不等价的无穷小；（C）高阶无穷小； （D）低阶无穷小。2 设函数f (x)在点x = a处可导，则在点x = a处不可导的充要条件是（ C ）（A）f (a) = 0，且； （B）f (a)0，但；（C）f (a) = 0，且； （D）f (a)0，且。3 曲线（ B ）（A）没有
2、渐近线； （B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（C）有一条铅直渐近线； （D）有两条水平渐近线。4设均为可微函数，且。已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项中的正确者为（ D ）（A）若，则； （B）若，则；（C）若，则； （D）若，则。5设曲面的上侧，则下述曲面积分不为零的是（ B ）（A）； （B）；（C）； （D）。三、设函数f (x)具有连续的二阶导数，且，求。解：由题设可推知f (0) = 0，于是有。故 。四、设函数由参数方程所确定，求。解：由，得到，所以。而当x = 9时，由及t 1，得t = 2，故。五、设n为自然数，计算积分。解：注意到：对于每个固定的n，总有，所以被积函
3、数在x = 0点处有界（x = 0不是被积函数的奇点）。又，于是有，上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有。所以。六、设f (x)是除x = 0点外处处连续的奇函数，x = 0为其第一类跳跃间断点，证明是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。证明：因为x = 0是f (x)的第一类跳跃间断点，所以存在，设为A，则A0；又因f (x)为奇函数，所以。命：则在x = 0点处连续，从而在上处处连续，且是奇函数：当x 0，则x 0，；当x 0，,即是连续的奇函数，于是是连续的偶函数，且在x = 0点处可导。又，即 ，所以是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。七、设f (u, v)有一阶连续
4、偏导数，证明：。解： 设：，则类似可得，代入原式左边，得到八、设函数f (u)连续，在点u = 0处可导，且f(0)= 0，求：。解：记，应用球坐标，并同时注意到积分区域与被积函数的对称性，有于是有。九、计算，其中L为正向一周。解：因为L为，故其中D为L所围区域，故为D的面积。为此我们对L加以讨论，用以搞清D的面积。当时，；当时，；当时，；当时，故D的面积为21=2。从而。十、 证明：当充分小时，不等式成立。 设，求。证明： 因为，又注意到当充分小时，所以成立不等式。 由知，当n充分大时有，故，而，于是，由夹逼定理知。十一、设常数，证明：当x 0且x 1时，。证明：设函数，故要证，只需证：当；当。显然：。命：，则。当x = 2时，x = 2为唯一驻点。又，所以x = 2为的唯一极小值点，故为的最小值(x 0)，即当x 0时，从而严格单调递增。又因，所以当；当。十二、设匀质半球壳的半径为R，密度为，在球壳的对称轴上，有一条长为l的均匀细棒，其密度为。若棒的近壳一端与球心的距离为a，a R ，求此半球壳对棒的引力。解：设球心在坐标原点上，半球壳为上半球面，细棒位于正z轴上，则由于对称性，所求引力在x轴与y轴上的投影及均为零。设k为引力常数，则半球壳对细棒引力在z轴方向的分量为：记。在球坐标下计算，得到若半球壳仍为上半球面，但细棒位于负z轴上，则。