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1、第七章多元函数积分学7.1 二重积分(甲) 内容要点一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序序问题模型 I：设有界闭区域)()(,),(21xyxbxayxD其中12( ),( )xx在 , a b上连续，( , )f x y在D上连续，则DbaxxDdyyxfdxdxdyyxfdyxf)()(21),(),(),(模型 II：设有界闭区域)()(,),(21yxydycyxD其中12( ),( )yy在 ,c d上连续，( , )fx y在D上连续则21()()( , )( , )( , )ydDDcyf x y df x y dxdydyf x y dx关于二重积分的计算主要
2、根据模型I 或模型II，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D如果既不符合模型I 中关于 D 的要求， 又不符合模型II 中关于 D 的要求， 那么就需要把D 分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I 或模型 II 中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D，然后根据D 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。二、在极坐标系中化二重积分为累次积分
3、在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定对进行积分，然后再对进行积分，由于区域D的不同类型，也有几种常用的模型。模型 I 设有界闭区域12( , ),( )( )D其中12( ),( )在,上连续，( ,)(cos ,sin)f x yf在D上连续。则21( )( )( , )(cos ,sin)( cos ,sin)DDf x y dfd ddfd模型 II 设有界闭区域)(0,),(D其中( )在,上连续，( , )( cos ,sin)f x yf在D上连续。则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名
4、师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - DDdfdddfdyxf)(0)sin,cos()sin,cos(),(（乙）典型例题一、二重积分的计算例 1 计算2yDedxdy，其中 D 由 y=x,y=1 和 y 轴所围区域解：如果22110yyDxedxdydx edy那么先对2ye求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累次积分。22100yyyDedxdydy edx这时先对x积分，2ye当作常数处理就可以了。原式=)11 (2121101022eedyyeyy例 2 计算2| | 102|xyyxdxdy解：原式 =11022222x
5、xdyxydyyxdx2223311222221103113221122()()33225|(2)3332yy xyyxxydxyxdxx dxxdx例 3 求22()DIxyy d1)1(4:2222yxyxD解一：DDD大圆小圆2222222000()163DDxyy dxy ddr dr大圆大圆对称性cos202232D229320drrddyxD小圆小圆)23(91622dyyxD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - -
6、- - 解二：由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知D0ydDDdyxdyx上2222212222222222002cos2224416162()(32)3399DDxy dxy ddr ddr dr上上原式二、交换积分的顺序例 1 交换aaxxaxdyyxfdx20222),(的积分顺序解原式 =Ddxdyyxf),(其 中D由22yaxx和2yax以 及2xa所围的区域321UDUDDD由2222222yaaxxaxyayxaxy解出解出因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得原式aayaaayaaayaaayadxyxfdydxyxfdydxyxfdy2222020222222
7、),(),(),(例 2 设证明连续，yf)(00( )( )(0)()()axfyIdxdyf afaxxy证明：交换积分次序ayayaxyadxyfdyI220)2()2()(令,c o s2,s i n22t d tyadxtyayax则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 2002cos2( )( )( )(0)cos2aaaytIfy dydtfy dyf afayt三、二重积分在几何上的应用1、求空间物体的
8、体积例 1 求两个底半径为R 的正交圆柱面所围立体的体积解设两正交圆柱面的方程为222222xyRxzR和，它们所围立体在第一卦限中的那部分体积dxdyxRVD221其中 D 为220,0 xRyRx因此30222200132)(22RdxxRdyxRdxVRxRR而整个立体体积由对称性可知313168RVV例 2 求球面)0(24222222RRxyxRzyx和圆柱面所围（包含原点那一部分）的体积解d x d yyxRVD222144其中 D 为 xy 平面上22xRxy与 x 轴所围平面区域用极坐标系进行计算2cos222220032330444432322(1sin )()3323RDVRr rdrddRr rdrRdR2、求曲面的面积（数学一）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -