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1、追及与相遇问题第1页，共43页，编辑于2022年，星期三第2页，共43页，编辑于2022年，星期三第3页，共43页，编辑于2022年，星期三第4页，共43页，编辑于2022年，星期三1 1 1 1、追及与相遇问题的、追及与相遇问题的、追及与相遇问题的、追及与相遇问题的实质实质：2 2 2 2、理清理清理清理清三大关系：三大关系：三大关系：三大关系：两者速度相等两者速度相等。它往往是物体间能否追上或。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。断的切入点。研究的两物体能否在研究的两物体能否在相同的时刻相同的时刻相同的
2、时刻相同的时刻到达到达到达到达相同的空间相同的空间相同的空间相同的空间位置位置位置位置的问题。的问题。时间关系、速度关系、位移关系。时间关系、速度关系、位移关系。3 3、巧用一个、巧用一个条件条件条件条件：第5页，共43页，编辑于2022年，星期三 1.物理分析法物理分析法：抓好抓好“两物体能否同时到达空间某位置两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景。一幅物体运动关系的图景。2.数学分析法数学分析法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的方程（通常为一元二次方程），用
3、判别式进行讨论，若0，即有两个解，说明可以相遇两次；若=0，说明刚好追上或相遇；若0，说明追不上或不能相碰。3.图象法图象法：将两者的速度将两者的速度时间图象在同一坐标系中画出，时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解。然后利用图象求解。4.相对运动法相对运动法：巧妙地选取参照系，然后找两物体的运动关系。解答追及、相遇问题常用的方法解答追及、相遇问题常用的方法第6页，共43页，编辑于2022年，星期三(1)速度小者追速度大者速度小者追速度大者类型类型图象图象说明说明匀加速追匀加速追匀速匀速t=t0以前以前,后面物体与前后面物体与前面物体间距离增大面物体间距离增大t=t0即速度相等时即速度相
4、等时,两物两物体相距最远为体相距最远为x0+xt=t0以后，后面物体与以后，后面物体与前面物体间距离减小前面物体间距离减小能追及且只能相遇一次能追及且只能相遇一次匀速追匀匀速追匀减速减速匀加速追匀加速追匀减速匀减速第7页，共43页，编辑于2022年，星期三1.1.在解决追及相遇类问题时，要紧抓在解决追及相遇类问题时，要紧抓“一图三式一图三式”，即：，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，另外还要注意最后对解的讨论分析。另外还要注意最后对解的讨论分析。2.2.分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字分析追及、相遇类问题时，要注
5、意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的眼，充分挖掘题目中的隐含条件隐含条件，如，如“刚好刚好”“”“恰好恰好”“”“最最多多”“”“至少至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。条件。解题思路解题思路分析两物体分析两物体运动过程运动过程画运动画运动示意图示意图找两物体找两物体的关系式的关系式列方程列方程求解求解第8页，共43页，编辑于2022年，星期三(1)(1)汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追上汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？追上时汽车的瞬时速度多大？例例3一辆汽车以一辆汽车
6、以3m/s2的加速度开始启动的瞬间，另一辆的加速度开始启动的瞬间，另一辆以以6m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过(2)当当v汽汽v自自时，两者距离如何变化？时，两者距离如何变化？汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多大？大？(3)画出两车运动的画出两车运动的vt图象，并试着用图象法解上述两问题图象，并试着用图象法解上述两问题第9页，共43页，编辑于2022年，星期三例例3一辆汽车以一辆汽车以3m/s2的加速度开始启动的瞬间，的加速度开始启动的瞬间，解：解
7、：汽车汽车:第10页，共43页，编辑于2022年，星期三例例3一辆汽车以一辆汽车以3m/s2的加速度开始启动的瞬间，的加速度开始启动的瞬间，另一辆另一辆以以6m/s的速度做匀速直线运动的自行车的速度做匀速直线运动的自行车恰好恰好从汽车的旁边通过从汽车的旁边通过(1)(1)汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？上？追上时汽车的瞬时速度多大？(2)当当v汽汽v自自时，两者距离如何变化？时，两者距离如何变化？汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时
8、的距离是多大？大？解：解：汽车汽车:乘客乘客:第11页，共43页，编辑于2022年，星期三第12页，共43页，编辑于2022年，星期三(3)画出两车运动的画出两车运动的vt图象，并试着用图象法解上述两问题图象，并试着用图象法解上述两问题第13页，共43页，编辑于2022年，星期三练一练、甲练一练、甲.乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L111 m处，乙车速度处，乙车速度v乙乙60 m/s，甲车速度，甲车速度v甲甲50 m/s，此时乙车离终点，此时乙车离终点线尚有线尚有L2600 m，如图所示，如图所示.若甲车加速运动，加速度若甲车加
9、速运动，加速度a2 m/s2，乙车速度不变，不计车长乙车速度不变，不计车长.求：求：（1）经过多长时间甲）经过多长时间甲.乙两车间距离最大，最大距离是多少？乙两车间距离最大，最大距离是多少？（2）经过多长时间甲乙两车相遇？）经过多长时间甲乙两车相遇？（3）试通过计算说明到达终点前甲车能否超过乙车？）试通过计算说明到达终点前甲车能否超过乙车？第14页，共43页，编辑于2022年，星期三(2)速度大者追速度小者速度大者追速度小者类型类型图象图象说明说明匀减速匀减速追追匀速匀速开始追及时，后面物体与前面物体间开始追及时，后面物体与前面物体间的距离的距离在减小，当两物体速度相等时，即在减小，当两物体速
10、度相等时，即t=t0时刻：时刻：若若 x=x0，则恰能追及，两物体只，则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件条件若若 xx0，则相遇两次，设，则相遇两次，设t1时刻时刻 x1=x0，两物体第一次相遇，则，两物体第一次相遇，则t2时时刻两物体第二次相遇刻两物体第二次相遇匀速追匀速追匀匀加速加速匀减速匀减速追追匀加速匀加速第15页，共43页，编辑于2022年，星期三 说明：说明：表中的表中的 x是开始追及以后，后面物体因速度大而比前是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；面物体多运动的位移；x0是开始追及以前两物体之间的距离；是开
11、始追及以前两物体之间的距离；t2-t0=t0-t1；v1是前面物体的速度，是前面物体的速度，v2是后面物体的速度。是后面物体的速度。第16页，共43页，编辑于2022年，星期三解：解：汽车汽车:乘客乘客:此时人和车相距最近此时人和车相距最近此过程：此过程：x人人vt42m8m第17页，共43页，编辑于2022年，星期三在一条平直的公路上，乙车以在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速度为乙车的后面做初速度为15m/s，加速度大小为，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，的匀减速运动，则两车初始距离则两车初始距离L满足什么条件时可以使：满
12、足什么条件时可以使：（1）两车不相遇；）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；）两车只相遇一次；（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）第18页，共43页，编辑于2022年，星期三例例1：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车以以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。试求：汽车从路口的速度匀速驶来，从后面超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远开动后，在追上自行车之
13、前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？此时距离是多少？第19页，共43页，编辑于2022年，星期三甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v-t图象如图示，图象如图示，图中图中OPQ和和OQT的的“面积面积”分别为分别为x1和和x2(x2x1)。初始时，甲车在乙车前方初始时，甲车在乙车前方x0处处()A.若若x0=x1+x2，两车不会相遇，两车不会相遇B.若若x0 x1，两车相遇，两车相遇2次次C.若若x0=x1，两车相遇，两车相遇1次次D.若若x0=x2，两车相遇，两车相遇1次次A B C第20页，共43页，编辑于2022年，星期三分析：汽车追上自行车之
14、前，分析：汽车追上自行车之前，v汽汽v自自时时x变小变小解法一解法一物理分析法物理分析法两者速度相等时，两车相距最远。两者速度相等时，两车相距最远。（速度关系）（速度关系）v汽汽=at=v自自 t=v自自/a=6/3=2sx=v自自t at2/2=62 3 22/2=6m第21页，共43页，编辑于2022年，星期三解法二解法二用数学求极值方法来求解用数学求极值方法来求解设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远x=x1x2=v自自tat2/2（位移关系）（位移关系）x=6t3t2/2由二次函数求极值条件知由二次函数求极值条件知t=b/2a=6/3s=2s时，时，x最大最大xm=6t3t2/2
15、=62 3 22/2=6m第22页，共43页，编辑于2022年，星期三解法三解法三用相对运动求解更简捷用相对运动求解更简捷 选匀速运动的自行车为参考系，则从运动开始到相距最远这选匀速运动的自行车为参考系，则从运动开始到相距最远这段时间内，汽车相对参考系的各个物理量为：段时间内，汽车相对参考系的各个物理量为：初速度初速度v0=v汽初汽初v自自=06=6m/s末速度末速度vt=v汽末汽末v自自=66=0加速度加速度a=a汽汽a自自=30=3m/s2相距最远相距最远x=6mvt2v022a6223第23页，共43页，编辑于2022年，星期三解法四解法四用图象求解用图象求解1）自行车和汽车的）自行车和
16、汽车的vt图象图象如图如图v/（ms-1）v60t/sttV汽汽V自自由于图线与横坐标轴所包围的面积表示位移由于图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小，所以由图上可以看出的大小，所以由图上可以看出在相遇之前，在在相遇之前，在t时刻两车速度相等时，时刻两车速度相等时，自行车自行车的位移（矩形面积）与汽车位移（三角形面积）之差（即斜线部的位移（矩形面积）与汽车位移（三角形面积）之差（即斜线部分）达最大，所以分）达最大，所以t=v自自/a=6/3=2s2）由图可看出，在）由图可看出，在t时刻以后，由时刻以后，由v自自线与线与v汽汽线组成的三角形面积与线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，
17、两车的位移相等（即相遇）。所以由标有斜线的三角形面积相等时，两车的位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时，图得相遇时，t=2t=4sv=2v自自=12m/s第24页，共43页，编辑于2022年，星期三 2什么时候汽车追上自行车，此时汽车的什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？速度是多少？解：汽车追上自行车时，解：汽车追上自行车时，二车位移相等（位移关系）二车位移相等（位移关系）则则vt=at2/26t=at2/2，t=4sv=at=34=12m/s思考：若自行车超过汽车思考：若自行车超过汽车2s后，汽车才开始加速。那么，后，汽车才开始加速。那么，前面的前面的1、2两问如何？两问如何？第2
18、5页，共43页，编辑于2022年，星期三例例2：A火车以火车以v1=20m/s速度匀速行驶，速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距司机发现前方同轨道上相距100m处有另处有另一列火车一列火车B正以正以v2=10m/s速度与速度与A火车同火车同方向匀速行驶，方向匀速行驶，A车立即做加速度大小车立即做加速度大小为为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？应满足什么条件？第26页，共43页，编辑于2022年，星期三两车恰不相撞的条件是：两车恰不相撞的条件是：两车速度相两车速度相同时相遇同时相遇.由由A A、B B 速度关系速度关系：由由A A、B B位
19、移关系位移关系：方法一：物理分析法方法一：物理分析法第27页，共43页，编辑于2022年，星期三v/ms-1B BA At/so10t020方法二：图象法方法二：图象法第28页，共43页，编辑于2022年，星期三 代入数据得代入数据得 若两车不相撞，其位移关系应为若两车不相撞，其位移关系应为其图像其图像(抛物线抛物线)的顶点纵坐标必为正值的顶点纵坐标必为正值,故有故有方法三：二次函数极值法方法三：二次函数极值法第29页，共43页，编辑于2022年，星期三 代入数据得代入数据得 不相撞不相撞 00方法四、判别式法：方法四、判别式法：第30页，共43页，编辑于2022年，星期三以以B车为参照物，车
20、为参照物，A车的初速度为车的初速度为v0=10m/s，以加，以加速度大小速度大小a减速，行驶减速，行驶x=100m后后“停下停下”，末速度，末速度为为vt=0 以以B B为参照物为参照物,公式中的各个量都应是相对于公式中的各个量都应是相对于B B的的物理量物理量.注意物理量的正负号注意物理量的正负号.方法五：相对运动法方法五：相对运动法第31页，共43页，编辑于2022年，星期三例例3、一一车车从从静静止止开开始始以以1m/s2的的加加速速度度前前进进，车车后后相相距距x0为为25m处处，某某人人同同时时开开始始以以6m/s的的速速度度匀匀速速追追车车，能能否否追追上上？如追不上，求人、车间的
21、最小距离。？如追不上，求人、车间的最小距离。一、数学分析法：一、数学分析法：依题意，人与车运动的依题意，人与车运动的时间相等时间相等，设为，设为t,当人追上车时，两者之间的当人追上车时，两者之间的位移关系位移关系为：为：x车车+x0=x人人即：即：at22+x0=v人人t由此方程求解由此方程求解t，若有解，则可追上；，若有解，则可追上；若无解，则不能追上。若无解，则不能追上。代入数据并整理得：代入数据并整理得：t212t+50=0=b24ac=1224501=560所以，人追不上车。所以，人追不上车。x0v=6m/sa=1m/s2第32页，共43页，编辑于2022年，星期三二、二、物理分析法物
22、理分析法在在刚刚开开始始追追车车时时，由由于于人人的的速速度度大大于于车车的的速速度度，因因此此人人车车间间的的距距离离逐逐渐渐减减小小；当当车车速速大大于于人人的的速速度度时时，人人车车间间的的距距离离逐逐渐渐增增大大。因因此此，当当人人车车速速度相等时，两者间距离最小。度相等时，两者间距离最小。at=v人人t=6s在这段时间里，人、车的位移分别为：在这段时间里，人、车的位移分别为：x人人=v人人t=66=36mx车车=at2/2=162/2=18mx=x0+x车车x人人=25+1836=7m二、二、数学分析法数学分析法s=1/21t2+25-6t=1/21t2-6t+25=-14x汽汽所以
23、，汽车不能撞上自行车。所以，汽车不能撞上自行车。汽车与自行车间的最近距离为汽车与自行车间的最近距离为x=x0+x自自x汽汽=（10+47）m=7m数学分析法数学分析法x=x0+x自自x汽汽=(10+4t)-(10t-1/26t2)=3t2-6t+10 =-840，无解，无解 不相遇不相遇st第37页，共43页，编辑于2022年，星期三第38页，共43页，编辑于2022年，星期三追及类问题【例2】摩托车先由静止开始以25/16 m/s2的加速度做匀加速运动，后以最大行驶速度 25 m/s匀速运动，追赶前方以15 m/s的速度同向匀速行驶的卡车。已知摩托车开 始运动时与卡车的距离为1 000 m，
24、则：(1)追上卡车前二者相隔的最大距离是多少？(2)摩托车经过多少时间才能追上卡车？【解析】(1)对摩托车由静止开始匀加速至vm=25 m/s，用时t1=vm/a=16 s。发生位移x1=vm2/(2a)=200 m，显然未追上卡车。则追上卡车前二者共速时，间距最大(如图所示)，即x=x0+x卡-x摩 x摩=v2/(2a)x卡=v v/a 由联立得x=1 072 m。第39页，共43页，编辑于2022年，星期三 1.通过运动的分析，找隐含条件 2.利用二次函数求极值的方法 3.因追及相遇问题至少涉及两个物体的运动问题，对描述它们的物理量必须选同一参考系。基本思路是：分别对两物体研究 画出运动过
25、程示意图 列出方程 找出时间关系 解出结果，必要时进行讨论 (2)追上时，由运动情景图(如图所示)分析可知，x摩=x卡+x0 vm2/(2a)+vm(t-t1)=x0+vt 解得t=120 s。【答案】(1)1 072 m (2)120 s第40页，共43页，编辑于2022年，星期三A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20 m/s的速度做匀速运动。经过12 s后两车相遇。问B车加速行驶的时间是多少？【答案】6 s第41页，共43页，编辑于2022年，星期三
26、用图象求解追及问题【例3】甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运 动，它们的v-t图象如图所示。两图象在 t=t1时 相交于P点，P在横轴上的投影为Q，OPQ的 “面积”为S。在t=0时刻，乙车在甲车前面，相 距为d。已知此后两车相遇两次，且 第一次相 遇的时刻为t，则下面四组t和d的组合可能 是 ()A.t=t1，d=S B.t=(1/2)t1，d=(1/4)S C.t=(1/2)t1，d=(1/2)S D.t=(1/2)t1，d=(3/4)SD 【解析】甲做匀速运动，乙做匀加速运动，速度越来越大，甲、乙同时异地运动，当t=t1时，乙的位移为S，甲的位移为2S且v甲=v乙，若两者第一次相遇在t
27、=t1时，则由d+S=2S可得d=S。不过不会出现第二次相遇，所以A错误；若两者第一次相遇在t=(1/2)t1时，乙的位移为(1/4)S，甲的位移为S，由d+(1/4)S=S可得d=(3/4)S，所以D正确，B、C错误。第42页，共43页，编辑于2022年，星期三 (1)v-t图象中，由于位移的大小可以用图线和坐标轴包围的“面积”表示，因此可以根据“面积”判断物体是否相遇，还可以根据“面积”差判断物体间距离的变化。(2)用图象法求解运动学问题形象、直观，利用运动图象可以直接得出物体运动的速度、位移、加速度，甚至可以结合牛顿第二定律根据加速度来确定物体的受力情况。第43页，共43页，编辑于2022年，星期三