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1、第3章导数与微分第1页，本讲稿共30页复习复习 第二章第二章 (二二)极限运算法则 因式分解法“约去0因子”观察法“有理分式函数x”“重要极限”法“等价无穷小”代换法“初等函数连续”法 “复合函数极限法则”法 “罗必达法则”法1 极限方法第2页，本讲稿共30页2 函数的连续性 利用初等函数的连续性，求初等函数的间断点；求初等函数的连续区间；已知分段函数连续，求待定常数；判断分段函数在分段点连续的方法利用 ,求k 利用 ,求k 等价无穷小量x0时：sin x x，tan x x，ln(1+x)x (ex1)x *x=u(x)，只要u(x)0 结论仍成立。第3页，本讲稿共30页初等函数在其定义区间
2、内任一点连续。重要极限公式：第4页，本讲稿共30页主要学习内容 导数的概念 基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则简单函数的二阶导数 第5页，本讲稿共30页学习要求1、理解导数的概念，知道可导与连续的关系2、知道导数的几何意义，会求切线方程3、掌握基本初等函数的导数公式4、掌握导数的四则运算法则5、会求简单函数的二阶导数重点 导数公式和四则运算法则难点 求导方法第6页，本讲稿共30页 3.1 导数的概念3.1.1 实例 曲线的切线问题 设函数f(x)连续，点P(x f(x)是区间内的一点 求曲线y=f(x)在点P的切线斜率。解 在曲线上另取一点Q(x+x f(x+x)，割线的斜率KPQ=P
3、(x,y)Q(x+x,y+y)xy0 x x+xyR切线的斜率 第7页，本讲稿共30页3.1.2 导数的概念 函数f(x)在点x 处导数定义 f(x)的另一定义式 函数f(x)在点x 处可导的充要条件 函数f(x)在某区间上导数 函数f(x)可导与连续的关系第8页，本讲稿共30页 函数f(x)在点x 处导数定义3.1.1 设函数y=f(x)在点x 及其附近有定义，若极限 存在，则称函数f(x)在点x 处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x x 处的导数。记作还可表示 第9页，本讲稿共30页例1 求抛物线y=x在点x=1处的切线的斜率。解抛物线y=x在点x=1处的切线的斜率为2=2第10页
4、，本讲稿共30页 f(x)的另一定义式 记记 x=h 记记 x+x=x 则 x=x x 第11页，本讲稿共30页 函数f(x)在点x 处可导的充要条件（了解）（了解）左导数 右导数 函数f(x)在点x 处可导 或或第12页，本讲稿共30页 若函数f(x)在点x 处可导，下列不等于f(x)的是()。D例2注注 (C)=0B第13页，本讲稿共30页 函数f(x)在某区间上导数 若函数f(x)在区间I内每一点可导，则称函数f(x)在区间I内可导。即对每一个xI，都有f(x)的一个导数值f(x)与之对应，把f(x)称为函数f(x)的导函数(简称导数)。记作 即即另一种形式表示第14页，本讲稿共30页
5、函数f(x)在点x x 处的导数f(x)与函数f(x)的导函数f(x)的关系例3 设 y=x 求y,y(1)。解=3x第15页，本讲稿共30页 一般地，y=x y=(x)=x -1 (为任意实数)如：求f(3)。第16页，本讲稿共30页 函数f(x)可导与连续的关系（P64）例4 考察函数 在点x=0处的可导性。解函数 在点x=0不可导 曲线 在点x=0处切线的倾角为/2，即 切线垂直x轴，且斜率为。而曲线 在点x=0处连续。第17页，本讲稿共30页注注 函数f(x)在点x 可导函数f(x)在点x 连续；反之未必成立。例5 设f(x)=|x|/|/x，则f(1)=()。A.不存在 B.0 C.
6、1 D.1例6 下列结论中，正确的说法是()。A.f(x)在x=x 处连续，则一定在x 处可导B.f(x)在x=x 处不连续，则一定在x 处不可导C.f(x)在x=x 处有极限，则一定在x 处有定义A.D.f(x)在x=x 处无极限，则一定在x 处无定义B B第18页，本讲稿共30页3.1.3 导数的几何意义导数的几何意义k=f(x)曲线y=f(x)在点(x y)处的切线方程 法线方程 例7 求过曲线 上的点x=1处的切线方程。解x=1 代入已知，y=1曲线 在点(11)处的切线方程为第19页，本讲稿共30页3 2 导数的基本公式与运算法则1 基本初等函数的导数公式2 导数的四则运算法则3 高
7、阶导数第20页，本讲稿共30页3.2.1 基本初等函数的导数公式 P66例1 用导数定义求下列函数的导数（求导方法了解）（求导方法了解）y=logax y=ax y=sinx解 第21页，本讲稿共30页思考思考下列函数的导数第22页，本讲稿共30页2 导数的四则运算法则 P67设函数u=u(x)，v=v(x)均可导，则第23页，本讲稿共30页例2 求导数解第24页，本讲稿共30页=2cos2x第25页，本讲稿共30页例3 求导数 y=tanx y=secx解=secx tanx=secx同样第26页，本讲稿共30页3.2.3 高阶导数 f(x)的导函数 ，若 可导，称它的导数 为f(x)的二阶导数。记作 类似定义n 阶导数 记作二阶、二阶以上的导数统称高阶导数。称f(x)为函数y=f(x)的一阶导数。注 这里以二阶导数为主。第27页，本讲稿共30页例4解第28页，本讲稿共30页第29页，本讲稿共30页小结1 函数f(x)在点x 处导数定义2 函数f(x)可导与连续的关系3 曲线y=f(x)在点(x y)处的切线方程4 基本初等函数的导数公式5 导数的四则运算法则6 高阶导数f(x)、f(x)预习预习 3-3 3-4第30页，本讲稿共30页