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1、第七章偏导数与全微分1第1页，本讲稿共74页xo-RRR-R2第2页，本讲稿共74页（2）邻域：以点为园心，以 为半径的开园域称为点 的 邻域，即3第3页，本讲稿共74页（3 3）平面区域）平面区域：由一条或几条连续曲线所围的平面的一部分称为平面区域记为D.围成区域的曲线称为边界，连同边界在内的区域称为闭区域，不包括边界的区域称为开区域；如果可延伸到无穷远处，就称为无界区域，否则称为有界区域.我们这里讨论的区域是一种特殊的区域：任何平行于X轴或Y轴的直线与该平面区域的交点不多于两点，但容许边界曲线包含平行坐标轴的线段.例如：是无界开区域4第4页，本讲稿共74页是有界闭区域.5第5页，本讲稿共7
2、4页2、多元函数的定义二元函数的定义域是平面点集，通常用平面区域D表示.6第6页，本讲稿共74页107第7页，本讲稿共74页对应关系的求法同一元函数8第8页，本讲稿共74页9第9页，本讲稿共74页3、二元函数的几何意义10第10页，本讲稿共74页11第11页，本讲稿共74页注：二元函数的极限要求点注：二元函数的极限要求点Q(x,y)以任何方式，以任何方式，任何方向，任何路径趋向于任何方向，任何路径趋向于 时，均时，均有有若能找到两条不同的路径使若能找到两条不同的路径使沿此两路径沿此两路径 时，时，f(x,y)具有不同的具有不同的4.4.二元函数的极限二元函数的极限12第12页，本讲稿共74页例
3、4.若有(C ),则极限 存在.当点 沿无穷条路径趋向定点 时,有分析:多元极限是全面极限,动点趋于定点13第13页，本讲稿共74页方式应是任意方向任意路径.同时取极限过程中各变量变化是同步的,与累次极限没有关系,由此(C)成立,即连续必有极限.5.5.二元函数连续性定义：二元函数连续性定义：14第14页，本讲稿共74页4.闭区域上连续函数的有界性定理介值定理、最闭区域上连续函数的有界性定理介值定理、最大最小值定理、零值定理。大最小值定理、零值定理。6.6.二元函数偏导数定义二元函数偏导数定义15第15页，本讲稿共74页 同样可定义关于同样可定义关于y的偏导数的偏导数:注：注：16第16页，本
4、讲稿共74页17第17页，本讲稿共74页7二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数18第18页，本讲稿共74页12若题设条件告之函数具有二阶连续偏导数，若题设条件告之函数具有二阶连续偏导数，则意味着可交换混则意味着可交换混 合偏导数的求导次序，合偏导数的求导次序，可将结果整理为最简形式。可将结果整理为最简形式。8.8.二元函数的全微分二元函数的全微分:19第19页，本讲稿共74页20第20页，本讲稿共74页21第21页，本讲稿共74页三元函数的全微分三元函数的全微分:多元函数的全微分等于各自变量偏微分的和多元函数的全微分等于各自变量偏微分的和.22第22页，本讲稿共74页12349.9.连续、
5、偏导数存在与可微之间的关系连续、偏导数存在与可微之间的关系混合偏导数相等.23第23页，本讲稿共74页24第24页，本讲稿共74页二、基本问题及解法二、基本问题及解法问题问题(一一):一般函数一般函数 偏导数与全微分的计算偏导数与全微分的计算 25第25页，本讲稿共74页26第26页，本讲稿共74页例例2.已知已知 则（则（）分析：如果先求导再代值，无法将代入，所以应按定义去做。27第27页，本讲稿共74页故应选（B）28第28页，本讲稿共74页29第29页，本讲稿共74页解解：（1）30第30页，本讲稿共74页31第31页，本讲稿共74页搞清复合关系，哪是自变量、中间变量，通常画搞清复合关系
6、，哪是自变量、中间变量，通常画变量关系图，再按变量关系图的路径求导。从应变量关系图，再按变量关系图的路径求导。从应变量到自变量有多少条路径，求导时就有多少项，变量到自变量有多少条路径，求导时就有多少项，每一项均为函数对中间变量的偏导数与中间变量每一项均为函数对中间变量的偏导数与中间变量对自变量的偏导数之积。对自变量的偏导数之积。注：注：有些复杂的函数也可引进中间变量画出变有些复杂的函数也可引进中间变量画出变量关系图后再求导。量关系图后再求导。问题问题(二二):):复合函数偏导数求法复合函数偏导数求法32第32页，本讲稿共74页解解:变量关系如图变量关系如图:33第33页，本讲稿共74页34第3
7、4页，本讲稿共74页35第35页，本讲稿共74页36第36页，本讲稿共74页“抽象抽象”的复合函数偏导数的求法的复合函数偏导数的求法对抽象的二元复合函数求偏导数时，有的偏导数无法对抽象的二元复合函数求偏导数时，有的偏导数无法法具体求出只能保留法具体求出只能保留“抽象抽象”的形式。视情况可画变量的形式。视情况可画变量关系图，也可不画变量关系图。关系图，也可不画变量关系图。37第37页，本讲稿共74页例1.设 可导，则分析：应填2Z38第38页，本讲稿共74页另解：另解：39第39页，本讲稿共74页例3.设函数解：40第40页，本讲稿共74页由三元方程由三元方程F(x,y,z)=0所确定的所确定的
8、z是是x,y的函数的函数z=f(x,y)称称二元隐函数。二元隐函数。(因变量不能单独出现在等号一边因变量不能单独出现在等号一边);问题问题(三三)：多元隐函数偏导数的求法：多元隐函数偏导数的求法41第41页，本讲稿共74页42第42页，本讲稿共74页43第43页，本讲稿共74页44第44页，本讲稿共74页两边求导法两边求导法:公式法：公式法：45第45页，本讲稿共74页问题问题(四四):):求二元函数的极值求二元函数的极值(1)定义：定义：46第46页，本讲稿共74页(3)极值存在的充分条件：极值存在的充分条件：47第47页，本讲稿共74页步骤步骤48第48页，本讲稿共74页条件极值及解法条件
9、极值及解法求条件极值有两种方法：求条件极值有两种方法：(1)化为无条件极值化为无条件极值49第49页，本讲稿共74页(2)拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法求极值步骤：求极值步骤：123无须判定，直接根据实际问题下结论无须判定，直接根据实际问题下结论50第50页，本讲稿共74页51第51页，本讲稿共74页52第52页，本讲稿共74页例例2.（条件极值）某厂生产甲、乙两种产品，其销售（条件极值）某厂生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为单价分别为10万元和万元和9万元，生产万元，生产x件甲种产品和件甲种产品和y件件乙种产品的总成本为乙种产品的总成本为又已知两种产品的总产量为又已知两种产品的总产量为100
10、件，求企业获得最大件，求企业获得最大利润时利润时,两种产品的产量各是多少两种产品的产量各是多少?53第53页，本讲稿共74页54第54页，本讲稿共74页答答:企业获得最大利润时企业获得最大利润时,两种产品的产量分别为两种产品的产量分别为70件件和和30件件.55第55页，本讲稿共74页例例3.某公司可通过电台，报纸两种方式做销售某种商品某公司可通过电台，报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入的广告，根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广（万元）与电台广告费告费 （万元）及报纸广告费用（万元）及报纸广告费用 (万元万元)之间有关系式：之间有关系式：(1)在广告费用不限的情况下
11、在广告费用不限的情况下,求最优广告策略求最优广告策略;解解:（1）无条件极值）无条件极值利润函数利润函数56第56页，本讲稿共74页(2)求条件极值求条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法注：因驻点唯一，且实际问题存在最大利润，故当注：因驻点唯一，且实际问题存在最大利润，故当电台广告费为电台广告费为0.75万元，报纸广告费为万元，报纸广告费为1.25万元时利万元时利润最大此为最优广告策略润最大此为最优广告策略.以此代替检验。以此代替检验。构造拉格朗日函数：构造拉格朗日函数：57第57页，本讲稿共74页解得解得因此将广告费因此将广告费1.5万元全部用于报纸广告，可使利万元全部用于报纸广告，可使利润
12、最大润最大.58第58页，本讲稿共74页三、课后练习三、课后练习59第59页，本讲稿共74页60第60页，本讲稿共74页61第61页，本讲稿共74页11.已知函数设12.则（B）62第62页，本讲稿共74页13.已知 的全微分为则的取值分别为（B ）（A）2和2；（B）2和2；（C）3和3；（D）3和3.分析；由 全微分存在，知偏导数存且连续，从两个二阶混合偏导数相等，即，由此可而确定由题设知63第63页，本讲稿共74页故应选（B）64第64页，本讲稿共74页计算。14.设且解：变量关系如图65第65页，本讲稿共74页于是66第66页，本讲稿共74页16.设所确定的函数，且是可微的，求67第67页，本讲稿共74页解：变量关系如图：由 对x求导，得（1）再由两边对x求导，得出（2）68第68页，本讲稿共74页将（2）代入（1）得：整理解出 ：17.设69第69页，本讲稿共74页提示：18.设70第70页，本讲稿共74页提示：可引进中间变量，也可直接求导.令71第71页，本讲稿共74页19.设提示：先分别求出，再代入化简.20.设由方程 确定了函数 ，则（D ）72第72页，本讲稿共74页解：利用隐函数求偏导数公式，令由此可得，故选（D）21.由方程 确定的函数 73第73页，本讲稿共74页处的全微分分析：等式两边求全微分，有74第74页，本讲稿共74页