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1、2021-2022学年河南省顶尖名校联盟高二下学期尖子生联赛数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（）ABCD【答案】A【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.【详解】解：，因此，.故选：A.2复数的共轭复数，则 ABCD【答案】A【详解】 .故选A.3已知，则tan(+2)=（）A BCD 【答案】A【分析】根据诱导公式和同角公式求出，再根据诱导公式和二倍角的正切公式可求得结果.【详解】，sin，cos =，sin =，tan =.tan(+2)=tan 2=.故选：A.【点睛】本题考查了诱导公式、同角公式、二倍角的正切公式，属于基础题.4某学校食堂对高三学生偏爱蔬菜还是肉类与性别的关
2、系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，有97.5%的把握但没有99%的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，则的观测值可能为（）0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828ABCD【答案】B【分析】根据把握率确定的观测值区间范围即可选择.【详解】有97.5%的把握但没有99%的把握，的观测值区间范围为，结合选项可知，的观测值可能为6.625故选:B5已知等边（为坐标原点）的三个顶点在抛物线上，且的面积为，则AB3CD【答案】C【详解】根据拋物线和等边三角形的对称性可知A，B两点关于x轴对称，不妨设直
3、线与联立得B(6p，2p)，因为AOB的面积为9，所以，解得.故选C.6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为ABCD【答案】A【详解】由三视图知，该几何体由球，圆柱，圆锥组成，球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为2，则该几何体的体积 故选A7甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（）A257B336C343D384【答案】C【分析】共有三种情况， 3人各站一个台阶，或有一个台阶有2人另一个是1人，或3人站一个台阶，然后根据分类计数原理即得【详解】由题意知本题需要分组解共有三种情况：第一种情况是3人各站一个台阶，有种；第二种情况有一个台阶
4、有2人，另一个台阶是1人，共有种，第三种情况3人站一个台阶，有种所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是种故选：C8已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的最大值为（）ABCD1【答案】C【分析】结合函数图像的对称性，及在区间上的单调性，可知，又的图像与直线的交点的横坐标为，从而得，进而可求出的取值范围.【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，又，得，令，得，所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，所以，解得，综上 所述，.故选：C【点睛】关于三角函数中的取值范围问题，结合三角函数的单调性与最大（小）值列关于的不
5、等式，从而求解出答案.9已知过双曲线右焦点，斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点，点为左焦点，且，则此双曲线的离心率为ABCD【答案】C【详解】由题意，过双曲线右焦点的直线，代入双曲线，可得，故选C.10如图，在菱形中，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是（）A平面平面B线段的最小值为C当，时，点D到直线的距离为D当P，Q分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为【答案】C【分析】取的中点，易知，结合条件及线面垂直的判定定理可得平面，进而有平面平面，即可判断A；建立坐标系，利用向量法可判断BCD.【详解】取的中点，连接，在菱形中，又，所以，又易
6、知，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，故A正确；以为原点，分别为轴建立坐标系，则，当，时，所以点D到直线PQ的距离为，故C错误；设，设，可得，当时，故B正确；当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，设PQ与AD所成的角为，则，所以PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确；故选：C.11已知函数的图象上存在关于直线对称的不同两点，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】依题意，函数的图象上存在关于对称的不同两点，则存在，且，使得，即，构造函数，故问题转化为存在，使得函数与有交点，然后通过研究函数的图象与性质即可求出结果.【详解】依题意，函数的图象上存在关于对称的不同两点，则存在，且，使得
7、，则，因此，设，故问题转化为存在，使得函数与有交点，又在上恒成立，函数在上单调递增，故，因此，为使函数与有交点，只需.故选：B.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理二、多选题12已知为圆周率，为自然对数的底数，则（）ABCD【答案】CD【分析】根据指数函数的性质及对数的运算性质以及换底公式计算可得；【详解】解：已知为圆周率，为自然对数的底数，即，故错误；，所以，即，故错误；，故正确；由，可得，所以，故正确，故选：CD三、填空题13已知
8、的展开式中的常数项为8，则_.【答案】3【详解】的通项为所以的展开式中的常数项为，所以a=3.故答案为3.14已知向量，向量，与垂直，则与夹角的余弦值为_【答案】【分析】先求得，然后求得与的夹角的余弦值.【详解】向量，向量，由于与垂直，所以，即，则，所以与的夹角的余弦值是.故答案为：.15若圆上，有且仅有一个点到的距离为1，则实数的值为_.【答案】4或66或4【分析】考虑点在圆内和圆外两种情况，进而结合圆的性质求得答案.【详解】由题意，圆心与点的距离为，而圆上有且仅有一个点到的距离为1，根据圆的性质，若点在圆内，则，若点在圆外，则.故答案为：4或6.16已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b
9、，c，M是的中点，若，则的最大值为_【答案】【分析】先由得到，再结合得到，最后借助基本不等式即可求解.【详解】由可得，化简得，即，又，由余弦定理知，即，又，化简得，又，当且仅当时取等.故，即.故答案为：.四、解答题17已知数列，满足，；(1)求的通项公式；(2)若，求的前2n项和【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题可得，进而可得，即得；（2）由题可得，然后利用分组求和法及等差数列求和公式即得.【详解】(1)，即，又，数列是首项为1，公差为的等差数列，；(2)，.18如图，直三棱柱中，侧面是正方形，侧面，点E是的中点(1)求证：/平面；(2)若，垂足为F，求二面角的正弦值【答案】(1)证明
10、过程见解析(2)【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再根据线面平行的定义证明线面平行；（2）以 为坐标原点, 以 所在直线分别为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系, 求平面 的法向量和平面的法向量，利用和求出答案.【详解】(1)如图, 连接 , 交于点, 连接 . 由 是正方形, 得为 的中点,所以 为 的中位线, 所以,因为 平面, 平面, 所以 /平面 .(2)由已知 底面 , 得 底面, 得 .又因为 , 故 两两垂直,如图, 以 为坐标原点, 以 所在直线分别为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系,设 , 则 , 则 ,设 , 则由 ,得 , 解得 . 所以 , 所以 .又因为 ,
11、所以 ,解得 所以 ,所以 .又 ,设平面 的一个法向量为 则 即 . 令 , 则 .设平面的一个法向量为 , 则即 . 令, 得,设二面角 的平面角为,.,由题意可知为锐角,即二面角 的正弦值为.192017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：（1）估计该组数据的中位数、众数；（2）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代
12、表），利用该正态分布，求；（3）在（2）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：（）得分不低于可获赠2次随机话费，得分低于则只有1次；（）每次赠送的随机话费和对应概率如下：赠送话费(单位：元)概率现有一位市民要参加此次问卷调查，记(单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列和数学期望.附：，若，则，.【答案】（1）中位数为，众数为65.（2）（3），分布列见解析【分析】【详解】试题分析：（1）由频率分布直方图可估计该组数据的中位数、众数；（2）利用加权平均数公式计算平均值；再根据正态分布的性质求；（3）设得分不低于分的概率为，则，则的取值为10，20，30，40，
13、利用相互独立事件的概率公式计算各个概率，得到的分布列和数学期望.试题解析：（1）由 ，得，设中位数为，由 ，解得，由频率分布直方图可知众数为65.（2）从这1000人问卷调查得到的平均值为 因为由于得分服从正态分布，所以 .（3）设得分不低于分的概率为，则，的取值为10，20，30，40，所以的分布列为：所以.20已知椭圆的左焦点为F，离心率为，点是椭圆C上一点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若MN为椭圆C上不同于A的两点，且直线关于直线对称，设直线与y轴交于点，求d的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由椭圆的离心率公式和，的关系，以及点是椭圆C上一点，可得，进而得到所求椭圆方程；
14、（2）设直线AM的斜率为，由对称性可得直线AN的斜率为，求得直线AM的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理可得M的横坐标，将其中的换为，可得N的横坐标，求得MN的斜率和方程，联立椭圆方程，由判别式大于0，结合M，N的位置，解不等式可得所求范围.【详解】(1)，又在椭圆C上，由解得，所以所求椭圆标准方程为(2)由（1）知，轴，设直线的斜率为k，因为，关于直线对称，所以直线的斜率为，又，所以直线的方程是，设，所以，将上式中的k换成得，所以，所以直线的方程是，代入椭圆方程得，所以，解得，又由题意知点M，N在A点两侧，而直线中，当时，故.21已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若，且在时恒
15、成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）求导，分和两种情况讨论分析单调性即可；（2）由已知不等式可令，通过恒成立，得到；再证明当时，在时恒成立.利用放缩法得到，所以只需证在时恒成立.记，求导，结合导数研究函数的最值，即可求解.【详解】解：（1），当时，恒成立，即函数在递减；当时，令，解得，令，解得，即函数在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由题意，即当时在时恒成立，即在时恒成立.记，则，记，在递增，又，当时，得.下面证明：当时，在时恒成立.因为.所以只需证在时恒成立.记，所以，又，所以在单调递增，又，
16、所以，单调递减；，单调递增，所以， 在恒成立.即在时恒成立.综上可知，当在时恒成立时，实数a的取值范围为.【点睛】方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.22在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 (t为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为.(1)求直线 和曲线的直角坐标方程，并指明曲线的形状；(2)设直线与曲线交于 两点，为坐标
17、原点，且，求.【答案】(1)，曲线是圆心为，半径的圆；(2) 【详解】试题分析：（1）消去参数可得直线的直角坐标方程，利用公式，可化极坐标方程为直角坐标方程，配方化为标准方程可得曲线；（2）可用极坐标的几何意义求解，直线的极坐标方程为，联立直线与曲线的极坐标方程，可得两解为正数，这就是极径，因此有，代入利用韦达定理可得试题解析： (1)由消去参数t，得y =2x，由，得，所以曲线C的直角坐标方程为，即.即曲线C是圆心为(1，1)，半径r=1的圆. (2)联立直线 和曲线的方程，得，消去，得，设 对应的极径分别为，则， ，所以.23已知函数（）若不等式恒成立，求的取值范围；（）求不等式的解集【答案】（）；（）或【分析】(1)由绝对值三角不等式得到，故恒成立得，解此不等式即可；（2）不等式等价于或，去掉绝对值得到，根据图像可得到结果.【详解】()， 由恒成立得，即或，得或的取值范围是.（）不等式等价于或， 由得由得如图所示：由图可得原不等式的解集为或【点睛】这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，以及函数的值域问题；一般对于解含有多个绝对值的不等式，根据零点分区间，将绝对值去掉，分段解不等式即可.第 19 页 共 19 页