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1、2021-2022学年河南省八所名校高二下学期第三次联考数学（理）试题一、单选题1已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【分析】首先利用复数的除法运算化简，再利用复数的几何意义求复数对应的点.【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D2有一机器人的运动方程为（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为（ ）ABCD【答案】D【分析】求出导函数，将代入导函数的解析式，化简即可得结果.【详解】因为，所以，则，所以机器人在时刻时的瞬时速度为，故选D.【点睛】本题主要考查导数的实际应用，意在考查灵活应用所学知识解决实
2、际问题的能力，属于基础题.3已知复数，i为虚数单位，则等于（）ABCD【答案】D【分析】先求出，即可求出.【详解】因为，所以,所以.故选：D4下列运算正确的个数为（） ，.A0B1C2D3【答案】A【分析】运用导数的求导公式对各运算检验即可【详解】解：（x2cosx）2xcosxx2sinx；（3x）3xln3；应该为应该为；个正确的个数为0；故选：A5指数函数是R上的增函数，是指数函数，所以是R上的增函数以上推理（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D正确【答案】B【分析】根据底数函数的定义即可判断小前提为错误.【详解】本题是演绎推理中三段论的具体应用.此推理形式正确，但是，函数y2|x
3、|不是指数函数，所以小前提错误，故选B.6已知抛物线上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为（）A30B45C135D165【答案】B【分析】利用导数求得切线的斜率，由此求得倾斜角.【详解】，所以在点处切线的斜率为，故切线的倾斜角为45.故选：B7设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f （x）的图象可能是（）ABCD【答案】A【分析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.【详解】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.【点睛】本小题主要考查导数与单调性的
4、关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.8图中抛物线与直线所围成的阴影部分的面积是（）A16B18C20D22【答案】B【分析】联立方程组可得交点的坐标，结合定积分的意义即可.【详解】由题意知，由，可得或，所以.故选：B9函数有小于1的极值点，则实数的取值范围是ABCD【答案】B【详解】试题分析：因为，所以函数定义域为x|x0,由得，a0,，又函数有小于1的极值点，所以，故选B【解析】本题主要考查导数的计算，利用导数求函数极值点评：易错题，本题涉及到对数函数，因此要注意函数的定义域据此得出10已知函数，则的图象大致为（）ABCD【答案】A【解析】利用导数分析函数的单调性以及函数值符号，由此可
5、得出函数的图象.【详解】对于函数，该函数的定义域为，求导得.当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增.所以，函数的最小值为，即对任意的，.所以，函数的定义域为，且，函数的单调递增区间为，递减区间为.所以，函数的图象如A选项中函数的图象.故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.11已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】利
6、用导数求得函数的单调性与最值，求解，转化为或，作出函数的图象，结合图象，列出不等式，即可求解.【详解】设，可得，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值为，由方程可化为，解得或，画出函数的图象，如图所示，要使得关于的方程有5个不同的实数根，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：A【点睛】对于方程根的存在性与根的个数的判定及应用，此类问题的解答中通常转化为函数的图象的交点个数，结合函数点图象列出相应的不等式是解答的关键，着重考查数形结合，以及转化思想的应用，属于中档试题.12已知定义在R上的可导函数，当时，恒成立，若，则，b，c的大小关系为（ ）ABC
7、D【答案】A【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性即可得到结论【详解】令，当时，函数单调递增.，则，即.故选：A.二、填空题13若“，使成立”为真命题，则实数的取值范围是_【答案】m1【详解】，使为真命题则解得则实数的取值范围为14若x，y满足约束条件则z=x2y的最小值为_.【答案】【详解】试题分析：由得，记为点；由得，记为点；由得，记为点.分别将A，B，C的坐标代入，得，所以的最小值为【解析】简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：（1）在平面直角坐标系内作出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；（3）确定最优解：在可行域内平行移动
8、目标函数变形后的直线，从而确定最优解；（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值15在平面直角坐标系中，点，若在曲线上存在点使得，则实数的取值范围为_【答案】【分析】根据题意，设P（x，y），分析可得若|PB|2|PA|，则有（x4）2+y24（x1）2+4y2，变形可得x2+y24，进而可得P的轨迹为以O为圆心，半径为2的圆；将曲线C的方程变形为（xa）2+（y2a）29，可得以（a，2a）为圆心，半径为3的圆；据此分析可得若曲线C上存在点P使得|PB|2|PA|，则圆C与圆x2+y24有公共点，由圆与圆的位置关系可得322+3，解可得a的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，
9、设P（x，y），若|PB|2|PA|，即|PB|24|PA|2，则有（x4）2+y24（x1）2+4y2，变形可得：x2+y24，即P的轨迹为以O为圆心，半径为2的圆，曲线Cx22ax+y24ay+5a290，即（xa）2+（y2a）29，则曲线C是以（a，2a）为圆心，半径为3的圆；若曲线C上存在点P使得|PB|2|PA|，则圆C与圆x2+y24有公共点，则有322+3，即1|a|5，解可得：a或a，即a的取值范围为：，；故答案为，【点睛】判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系(2)切线法：根据公切线条数确定16平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于
10、点.若的垂心为的焦点，则的离心率为_【答案】【详解】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为,解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 ,所以， .所以， .【解析】1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.三、解答题17已知函数f（x）xlnx(1)求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；(2)求函数f（x）的极值.【答案】(1)(2)极小值为，无极大值【分析】（1）求出函数的导函数，再根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得出答案.【详解】(1)解：，则
11、，即切线的斜率为0，所以曲线yf（x）在点（1，f（1）处曲线的切线方程为；(2)当时，当时，所以函数在上递减，在上递增，函数的极小值为，无极大值.18已知抛物线的焦点F，C上一点到焦点的距离为5（1）求C的方程；（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由抛物线的定义，结合已知有求p，写出抛物线方程.（2）由题意设直线l为，联立抛物线方程，应用韦达定理可得，由中点公式有，进而求k值，写出直线方程.【详解】（1）由题意知：抛物线的准线为，则，可得，C的方程为.（2）由（1）知：，由题意知：直线l的斜率存在，令其方程为
12、，联立抛物线方程，得：，若，则，而线段AB中点的纵坐标为-1，即，得，直线l的方程为.【点睛】关键点点睛：（1）利用抛物线定义求参数，写出抛物线方程；（2）由直线与抛物线相交，以及相交弦的中点坐标值，应用韦达定理、中点公式求直线斜率，并写出直线方程.19在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值【答案】（I）（II）【详解】试题分析：（I）以，为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，可得和的坐标，可得cos，可得答案；（II）由（I）知，=（2，0，4）
13、，=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为，则sin=|cos，|=，进而可得答案解：（I）以，为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），=（2，0，4），=（0，2，4），cos，=异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；（II）由（I）知，=（2，0，4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），则可得，即，取x=1可得=（1，1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为，则sin=|cos，|=直线AB1与平
14、面C1AD所成角的正弦值为：【解析】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角20已知，是函数的两个极值点.（1）求的解析式；（2）记，若函数有三个零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据极值点的定义，可知方程的两个解即为，代入即得结果；（2）根据题意，将方程转化为，则函数与直线在区间，上有三个交点，进而求解的取值范围【详解】解：（1）因为，所以根据极值点定义，方程的两个根即为，代入，可得，解之可得，故有；（2）根据题意，根据题意，可得方程在区间，内有三个实数根，即函数与直线在区间，内有三个交点，又因为，则令，解得；令，解得或，所以函数在，上单调递减，在上单调递增；又因为，
15、， ，函数图象如下所示：若使函数与直线有三个交点，则需使，即21如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，=2，.(1)求点C到平面的距离；(2)线段上是否存在点F，使与平面所成角正弦值为，若存在，求出，若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）建立空间直角坐标系，由向量法可得；（2）设点F坐标，根据向量法求线面角建立方程求解可得.【详解】(1)如图所示，取中点，连结，因为三角形是等腰直角三角形，所以，因为面面，面面面，所以平面，又因为，所以四边形是矩形，可得，则， 建立如图所示的空间直角坐标系，则：据此可得，设平面的一个法向量为，则，令可得，从而，又，故求点到平面的
16、距离.(2)假设存在点，满足题意，点在线段上，则，即：，据此可得：，从而，设与平面所成角所成的角为，则，整理可得：，解得：或（舍去）.据此可知，存在满足题意的点，点为的中点，即.22设函数（）求的单调区间；（）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值（其中为的导函数）【答案】（）答案见解析；（）.【分析】（）的定义域为，分和两种情况解不等式和即可得单调递增区间和单调递减区间；（）由题意可得对于恒成立，分离可得，令，只需，利用导数求最小值即可求解.【详解】（）函数的定义域为，当时，对于恒成立，此时函数在上单调递增；当时，由可得；由可得；此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，函数的单调递增区间为，当时，单调递减区间为，单调递增区间为，（）若，由可得，因为，所以，所以所以对于恒成立，令，则，令，则对于恒成立，所以在单调递增，因为，所以在上存在唯一的零点，即，可得：，当时，则，当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以的最大值为.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.第 16 页 共 16 页