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1、2021-2022学年河南省九师联盟高二下学期4月联考数学（理）试题一、单选题1设集合，集合，则（）ABCD【答案】C【分析】化简集合A、B，然后利用交集的定义运算即得.【详解】因为集合，集合，所以故选：C2若复数z满足（i为虚数单位），则（）AB3CD2【答案】A【分析】由复数相等，利用复数的四则运算求出复数z，再求.【详解】由题设，则.故选：A3如图所示，程序框图的输出值（）A15B22C24D28【答案】A【分析】根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.【详解】根据给定的程序框图，可得：第1次循环，满足判断条件，；第2次循环，满足判断条件，；第3次循环，满足判断条件，；第4
2、次循环，不满足判断条件，输出.故选：A.4若实数且，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分和两种情况解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：若，当时，不等式无解；当时，所以，综上若，则，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5若，且，则的值为（）ABCD【答案】C【分析】根据已知求出，再根据结合两角差的正弦公式即可得解.【详解】解：因为，所以，又，所以，所以.故选：C.6若，则（）A80B50CD【答案】D【分析】由题可得，然后利用展开式的通项公式即得.【详解】，故展开式的通项公式为，令，解得，.故选
3、：D7已知函数若在上的最大值为5，则在上的最小值为（）ABCD【答案】B【分析】由题知函数是上的增函数，令，结合其奇函数的性质和函数单调性求解即可.【详解】因为函数是上的增函数，令，故是奇函数，所以，在上的最大值为，所以，又在的最小值为，所以故选：B.8设函数（，）图象经过点，直线向左平移个单位长度后恰好经过函数的图象与x轴的交点B，若B是的图象与x轴的所有交点中距离点A最近的点，则函数的一个单调递增区间为（）ABCD【答案】D【分析】先根据周期求出，由最小值求出，得到函数的解析式，求出函数的减区间，对照四个选项，即可得到答案.【详解】因为函数图象经过点，直线向左平移个单位长度后恰好经过函数的
4、图象与x轴的交点B，所以，所以，而，解得：.所以.又函数图象经过点，所以，解得：.所以要求函数的一个增区间，只需,解得：.对照四个选项，当k=-1时，.故选：D9随着新冠疫苗的成功研发，某地区开始对重点人群进行新冠疫苗接种为了配合社区对新冠疫苗接种人员讲解注意事项，某医科大学共派出4名男志愿者和2名女志愿者参与该地区志愿服务.已知6名志愿者将会被分为2组派往该地区的2个不同的社区，且女志愿者不单独成组，若每组不超过4人，则不同的分配方法种数为（）A32B40C48D56【答案】C【分析】法一：首先按每组人数不同分、两类，再求组内人员安排的方法数，进而求两组安排到两个不同社区的方法，最后加总；法
5、二：先安排一个社区，讨论有0个、1个、2个女志愿者的安排方法数，再加总即可.【详解】法一：分两种情况，分为3，3的两组时，2名女志愿者不单独成组，有种分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法.分为2，4的两组时，有种分组方法，其中有1种两名女志愿者单独成组的情况，则有14种符合条件的分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法.共有种分配方法.法二：先安排第一个社区，若没有女志愿者，则有种；若有1名女志愿者，则有种；若有2名女志愿者，则有种，不同的分配方法种数为，故选：C.10已知矩形ABCD，将沿AC折起到的位置若，则二面角平面角的余弦值的
6、大小为（）ABCD【答案】C【分析】作，垂足分别为，过点作交于点，可得即为二面角的平面角，再根据，两边平方求出，即可得解.【详解】解：作，垂足分别为，过点作交于点，则，所以即为二面角的平面角，由矩形ABCD，可得，则，所以，因为，所以，即，所以，因为，所以.所以二面角平面角的余弦值的大小为.故选：C.11定义在R上的函数满足，则下列不等式一定成立的是（）ABCD【答案】D【分析】构造函数，求出导函数，结合已知判断函数的单调性，从而可得出结论.【详解】解：令，则，因为，所以，所以函数为减函数，所以，即，所以.故选：D.12已知直线l与曲线C：在y轴左、右两侧的交点分别是Q，P，且以线段PQ为直径
7、的圆恰过坐标原点O，则的值不可能为（）A6B8CD【答案】A【分析】设OP的斜率为k，求出，利用基本不等式求出，对照四个选项即可得到答案.【详解】因为以线段PQ为直径的圆恰过坐标原点O，所以.因为Q，P分别在双曲线的左、右两支，所以OP,OQ的斜率均存在，可设OP的斜率为k，则OQ的斜率为，直线的方程为.由，解得：，所以.同理可求：.所以，所以.所以（当且仅当时等号成立）.故.故选：A【点睛】解析几何中最值的计算方法有两类：（1）几何法：利用几何图形求最值；（2）代数法：把最值表示出来，利用函数（基本不等式）求最值.二、填空题13设三个单位向量，满足，则向量，的夹角为_【答案】【分析】根据，可
8、得，等式两边同时平方，整理即可求出向量，的夹角的余弦值，从而可得出答案.【详解】解：因为，所以，则，即，即，所以，又因，所以向量，的夹角为.故答案为：.14找规律填数字是一项很有趣的游戏，特别能锻炼观察和思考能力，按照“17”“214”“342”“4168”的规律，可知5_【答案】840【分析】先根据题中所给的信息推理，并验证，得到规律后就可以计算出结果.【详解】观察规律有，所以.故答案为：840.15已知长方体，点P为空间一点，满足，则四棱锥的外接球的表面积为_【答案】【分析】先由和判断出点为和的交点，连接，其交点为，进而得到球心在上，由勾股定理求出半径，即可求解.【详解】取的中点，的中点，
9、连接，由得即，所以，故点在直线上，由，所以点在直线上，故点为和的交点，易知点为和的中点，连接，其交点为，连接，则，设四棱锥的外接球球心为，则在上，设球的半径为，则，解得.故球的表面积为.故答案为：.16已知函数在R上的导函数为，对于任意的实数x都有，当时，若，则实数a的取值范围是_【答案】【分析】首先设，结合已知条件得到在为减函数，在为增函数，再将转化为，利用的单调性求解不等式即可.【详解】设，因为当时，所以，为增函数.又因为，所以.所以， 即为偶函数.所以在为减函数，在为增函数.因为，所以，解得或.故答案为：.三、解答题17在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，(1)求角C的大小；(2)
10、若，求周长的最大值，并求出此时对应a，b的值【答案】(1)(2)周长的最大值为6，此时【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合三角恒等变换及三角形内角关系，求得，即可得解；（2）利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，即可得解.【详解】(1)解：因为，所以，即，又因，所以，所以，则，即，又因，所以，所以，因为，所以；(2)解：由余弦定理得：，则，所以，解得，当且仅当时，取等号，所以周长的最大值为6，此时.182022年3月5日是我国二十四节气中的节气之一惊蛰，农谚描述“惊蛰过，暖和和，蛤蟆老角唱山歌”“惊垫不耙地，好像蒸锅跑了气”等，随着气温升高，冬眠的动物和昆虫都陆陆续续出来了，人们也开始
11、了田间的劳作某科研团队对惊蛰前后青蛙外出活动时间与平均气温之间的关系进行分析研究，分别记录了3月3日至3月8日的平均气温x（）与活动时间y（小时），得到如下数据：日期3月3日3月4日3月5日3月6日3月7日3月8日平均气温x（）121418231922活动时间y（小时）123534(1)若先从这六组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；(2)假设在惊蛰前后，青蛙外出活动时间和平均气温符合线性相关关系，请根据所给6组数据，求出y关于x的线性回归方程（结果精确到0.0001）；(3)根据（2）中所得的线性回归方程，若天气预报3月12日的白天平均气温是26（），请预测青蛙外出活动
12、时间（结果精确到0.01）参考公式：，参考数据：，【答案】(1)；(2)；(3)5.55小时.【分析】（1）利用古典概型概率公式即得；（2）利用最小二乘法即得；（3）利用回归直线方程即得.【详解】(1)设“抽出的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A，则所有的基本事件有，共有15种，其中事件A包括的基本事件有共5种，所求的概率为；(2)，y关于x的线性回归方程为；(3)当时，所以预测青蛙外出活动时间大约为5.55小时.19已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前n项和为(1)求数列、的通项公式；(2)数列满足：，证明：对，【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）根据，是，的等
13、差中项，求出首项和公比，即可求出数列的通项公式，再根据数列第项与前项和的关系求出数列的通项公式，即可求出的通项公式；（2）利用数学归纳法证明，先证明当时，不等式成立，再假设当时，不等式成立，最后证明当时，不等式也成立，即可得证.【详解】(1)解：因由，是，的等差中项，得，解得，则，解得或（舍去），所以，当时，当时，当时，满足上式，所以，所以；(2)证明：当时，故左式右式，所以不等式成立；假设当时，不等式成立，则，当时，因为函数在上递增，则，所以，及，所以，即当时，不等式也成立，综上所述，对，20鸡公山，位于河南省信阳市境内，是中国四大避暑胜地之一，也是新中国第一批对外开放的全国八大景区之一，鸡
14、公山是大别山的支脉，主峰鸡公头又名报晓峰，像一只引颈高啼的雄鸡，因名之鸡公山.主峰海拔814m，山势奇伟，泉清林翠，云海霞光，风景秀丽旅游区管委会在山上建设别致凉亭供游客歇脚，如图为设计图，该凉亭的支撑柱高为m，顶部为底面边长为2的正六棱锥，且侧面与底面所成的角都是45(1)求该凉亭及其内部所占空间的大小；(2)在直线PC上是否存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)不存在，详见解析.【分析】（1）利用棱锥及棱柱的体积公式即得；（2）利用坐标法，利用线面角的向量求法可列出方程，即得.【详解】(1)由题可知凉亭的顶为正六棱
15、锥，侧面与水平面成，取的中点，连接，则，易求，所以，所以该凉亭的体积分为两部分，上半部分为正六棱锥，其体积为，下半部分正六棱柱，其体积为，所以该凉亭及其内部所占空间为；(2)取的中点，以所在直线为轴，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则假设直线PC上存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为，设，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，可得，化简可得，该方程不存在实数解，所以在直线PC上不存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为.21设椭圆C：（），分别为C的左、右焦点，点P为椭圆C上任意一点，面积的最大值为，离心率(1)求椭圆C的方程；(2)设曲线E：，若不经过的直线l与曲线E于A、B两
16、点，且（O为坐标原点），直线l与C交于M，N两点，求面积的最大值【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题可得，结合，即得；（2）设直线的方程为，利用抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标表示可得，然后直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理法可得，然后通过换元利用基本不等式即得.【详解】(1)当点P为椭圆C的短轴端点时，面积的最大，又，椭圆C的方程为；(2)设直线的方程为，由，可得，设，则，因为，解得或（舍去），所以直线的方程为，由，可得，设，则，所以，令，则，当且仅当，即时，面积取得最大值.22已知函数(1)求函数的单调区间；(2)设函数，当时，若在上恒成立，求实数a的取值范围【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）分类讨论求解单调区间即可.（2）首先利用导数得到，从而得到在上恒成立，再求解即可.【详解】(1)，.当时，在为增函数.当时，令，解得，所以，为减函数，为增函数.综上：当时， 增区间为，无减区间；当时，减区间为，增区间为(2)，因为，所以，为减函数，为增函数，即在上恒成立.等价于在上恒成立.即或，解得或，综上.第 18 页 共 18 页