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1、1星期五星期五(函数与导数问题函数与导数问题)20162016 年年_月月_日日已知mR R，f(x)2x33x26(mm2)x.(1)当m1 时，求f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若m12，2且关于x的不等式(m1)2(14m)f(x)20 在区间k，0上恒成立，求k的最小值k(m)解(1)当m1 时，f(x)2x33x2，f(x)6x26x.切线斜率为kf(1)12，f(1)5，所以切线方程为y12x7.(2)令f(x)6x26x6(mm2)0，可得x1m，x2m1，因为m12，2，所以m1(m)2m10.当m10，且 2m10，即12m1 时f(x)极大f(m)4m33m2
2、，f(x)极小f(m1)(m1)2(14m)令g(m)f(x)极大4m33m2，则g(m)12m26m0.故g(m)在12m1 上单调递增，故g(m)g(1)120 恒成立令h(x)f(x)(m1)2(14m)，显然h(m1)f(m1)(m1)2(14m)0，令h(x0)h(m1)(x0m1)，设x(m1)2(axb)2x33x26(mm2)x(m1)2(14m)，比较两边系数得a2，b4m1，故x0ba14m2.结合图象可知，要使(m1)2(14m)f(x)恒成立则只需x0k0 即可，故kmink(m)x014m212m1；当m10 即 1m2 时，同可知，g(m)f(x)极大4m33m2，又g(m)，在 1m2 上单调递增，故g(m)g(2)20 恒成立2同理可知kmink(m)x014m2(1m2)，综上可知，k(m)14m2m12，2.