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1、1星期四星期四(函数与导数问题函数与导数问题)20162016 年年_月月_日日已知函数f(x)kexx2(其中kR R,e 是自然对数的底数(1)若k0,试判断函数f(x)在区间(0,)上的单调性;(2)若k2,当x(0,)时,试比较f(x)与 2 的大小;(3)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1x2),求k的取值范围,并证明 0f(x1)1.解(1)由f(x)kex2x可知,当k0 时,由于x(0,),f(x)kex2x0,故函数f(x)在区间(0,)上是单调递减函数(2)当k2 时,f(x)2exx2,则f(x)2ex2x,令h(x)2ex2x,h(x)2ex2,由于x(0,),
2、故h(x)2ex20,于是h(x)2ex2x在(0,)为增函数,所以h(x)2ex2xh(0)20,即f(x)2ex2x0 在(0,)恒成立,从而f(x)2exx2在(0,)为增函数,故f(x)2exx2f(0)2.(3)函数f(x)有两个极值点x1,x2,则x1,x2是f(x)kex2x0 的两个根,即方程k2xex有两个根,设(x)2xex,则(x)22xex,当x0 时,(x)0,函数(x)单调递增且(x)0;当 0 x1 时,(x)0,函数(x)单调递增且(x)0;当x1 时,(x)0,函数(x)单调递减且(x)0.要使k2xex有两个根,只需 0k(1)2e,如图所示,2故实数k的取值范围是(0,2e)又由上可知函数f(x)的两个极值点x1,x2满足 0 x11x2,由f(x1)kex12x10,得k2x1ex1.f(x1)kex1x212x1ex1ex1x21x212x1(x11)21,由于x1(0,1),故 0(x11)211,所以 0f(x1)1.