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1、运动定理,动量、动量定理,功与能,动量矩(角动量）定理,有心力问题,碰撞,曲线的功,合力所做的功等于分力所做功的代数和。,内积(标量积),功,（1）平面直角坐标系,不同坐标系里的功,（2）平面“自然”坐标系,功的性质(1) 功是过程量，一般与路径有关。(2)功是标量，但有正负。(3) 合力的功为各分力的功的代数和。,引力的功两个质点之间在万有引力作用下相对运动时 ，以M所在处为原点, M指向m的方向为矢径r的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。m在M的万有引力的作用下从a 点运动到b点，万有引力的功:,与路径无关,Example: 质量为M、m的两球原来相距为a，在万有引力作用下逐渐靠近至相
2、距为b，求在此过程中引力所作的功。,Solution I: In Frame M,C,Solution II:,Re. center of massM: m:,M:,m:,各个力的功与参考系有关，但一对力的功与参考系的选择无关。,质心系里，内力的功与质量成反比。对小质量物体作功占主要地位。,引力的功只与物体系统的初始和最终相对位置有关，与路径无关。,Gravitational potential energy,Elastic potential energy,关 于 势 能：势能总是与保守力相联系。存在若干种保守力时，就可引进若干种势能。势能的绝对数值与零势能位形的选取有关，但势能的差与之无关
3、。不同保守力对应的势能，其零势能位形的选取可以不同。(3) 势能既然与各质点间相互作用的保守力相联系，因而为体系所共有。(4) 与势能相联系的是保守力对质点系所作的总功，与参考系无关。,(2)势能 保守力,梯度：,例（P221）：质量为m的人造卫星在环绕地球的圆轨道上,轨道半径为,求卫星的势能动能和机械能.(不计空气阻力),（1）势能,动量、动量定理动量:,冲量 I:,由牛顿第二定律：,动量定理的微分形式,动量定理的积分形式,例 如图所示，一质量为m的小球在两个壁面以速度vo来回弹跳，碰撞是完全弹性的，忽略重力贡献。（1）求每个壁所受的平均作用力F，（2）如果一个壁表面以vvo的速率慢慢地移向
4、另一个表面，则回跳频率由于碰撞间距离的减少以及球从运动的表面碰回时，小球的速率增大而增加，求出用表面的距离x来表示的力F。（3）证明：把表面从距离l推近到距离x 时所做的功等于球的动能的增加。,（1）因为是完全弹性碰撞，小球反弹的速度还是vo，所以小球每一次与壁面碰撞动量的变化是2mvo, 即单次碰撞墙壁受到的冲量为2mvo，单位时间内的碰撞次数（碰撞频率）为f=vo/2l,单位时间墙壁受到的总冲量即是墙壁受到的平均作用力，所以,(2)设两个壁面之间距离为x时小球的速度为u,与上一问类似，碰撞频率为f=u/2x，每一次碰撞墙壁受到的冲量为2mu，所以 求两壁之间距离为x时的速度u。小球与壁面相
5、继两次碰撞的时间间隔为 每一次碰撞速度的增量为 2小球速度的速度增加率,积分得利用以上结论还容易证明，把表面从距离l推近到距离x 时所做的功等于球的动能的增加,例在水平桌面上有一卷质量为m 、长为l的链条，其一端用手以恒速v竖直向上提起（如图所示），当提起的长度为x时，(1) 求手的提力为多少？做功多少？ (2) 链条获得的机械能为多少？(3) 比较以上功与机械能变化是否相等，你能解释吗？,解: 取提起的这一段链条为研究对象，它受到的合力为手的提力与这一段自身的重力之和，即 链条在dt时间内，一段长度为dx=vdt的链条由静止加速到v，其动量的增量为,该力做功为 （2）链条获得的机械能为动能和
6、势能之和（3）功与机械能变化的差是,用功能原理来求力得不到正确结果!, 碰 撞 Collisions（1-D）,对心碰撞（正碰）,（两球的相对速度沿球心联线）,碰撞前,碰撞后,碰撞过程,压缩阶段,恢复阶段,恢复系数 0 = e = 1,完全弹性碰撞,完全非弹性碰撞,约化质量,动量守恒原理+恢复系数的定义,m1=m2的完全弹性碰撞,交换速度,练习：试在质心系中求解对心碰撞, 两体问题的动能 About kinetic energy,Before collision：,After collision：,Relative velocity, after collision,Therefore：,e=
7、1, T=0; e1, T0,资用能：available energy, 对撞机,匀速直线运动的 一个守恒量,掠面速度: Areal velocity,掠面速度：位矢r 在单位时间内扫过的面积。,推广到有心力！,掠面速度,Cc/SB，所以三角形SBC与SBc等高,有心力作用下掠面速度相等。,牛顿的推理：,?,有心力作用下什么守恒？,守恒量,m,定义：动量矩角动量,m,m,Moment of inertia转动惯量,结论：有心力作用下掠面速度相等，故角动量守恒。,动量矩(角动量）定理 质点对轴的动量矩等于对轴上任意一点的动量矩在该轴上的投影。,关于轴线的动量矩,z,A, 直角坐标系,力对线的力矩
8、, 极坐标系,力对参考点o的力矩M：受力质点相对于o点的位置矢量r与力F矢量的矢积。,力对于参考点的力矩,力对轴上任意一点力矩在该轴上的投影等于力对该轴的力矩。,动量矩(角动量）定理平面运动,直角坐标：,请自己证明：,动量矩(角动量）守恒,若作用于质点的力对参考点o的力矩之和保持为零，则质点对该点的动量矩不变。,演示：直升飞机,开普勒第二定律对任一个行星说，它的径矢在相等的时内扫过相等的面积。,动量矩定理: 质点对参考点o的动量矩的时间变化率就等于质点所受力对于o点的力矩。,关于点的动量矩定理,运动的质点所受力的作用线始终通过某个定点。 作用力有心力， 定点力心, 在有心力作用下，质点在通过力
9、心的平面内运动。,有心力,有心力问题的基本方程,以力心为极点的极坐标系,两个基本方程,动量矩守恒原理,机械能守恒原理,有心力为保守力,The Laws of Planetary Motion Keplers First Law:行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。,Keplers Second Law:对任一个行星说，它的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。,动量矩守恒,Keplers Third Law: 行星绕太阳运行轨道半长轴a的立方与周期T的平方成正比,T2 /a3=K,引力与距离平方成反比,例题：人造卫星沿着椭圆轨道运动，近地点离地心的距离为r1, 远地点离地心的距离为
10、r2, 地球的质量为M，卫星的质量为m，求：（1）卫星在近地点和远地点的速度；（2）卫星的总机械能。,试导出开普勒第三定律！,IPhO11-1 一质量为m=12t的太空飞船在围绕月球的圆轨道上旋转，其高度h=100km。为使飞船降落到月球表面，喷气发动机在X点作一次短时间发动。从喷口喷出的热气流相对飞船的速度为u=10000m/s，月球半径R=1700km, 月球表面的重力加速度为g=1.7m/s2。飞船可用两种不同方式到达月球（如图）（1）到达月球上A点，该点正好与X点相对；（2）在X点给一指向月球中心的动量后，与月球表面相切于B点。试计算上述两种情形下所需要的燃料量。分析：画出两种情形的完
11、整轨道。用能量判断轨道：是否椭圆？哪一种情形燃料更多？飞船被加速还是减速了。,x,A,A,x,A,B,圆轨道速度,（1）XA之间距离即新轨道长轴为2R+h，能量,原轨道长轴为2(R+h),能量为,在X点需要改变的动能：,在X点需要改变的动能：,（2）, 相图 （分析运动状态的图解）,例：光滑桌面上的弹簧振子。（质量为m，弹簧的劲度系数为k）作（1）V势x曲线，（2）v速度x曲线，并讨论其运动情况。,例：研究摆长l为的复摆运动。作(1)V重力势曲线，(2)曲线，并讨论其运动情况。（细杆质量忽略，近似为单摆）,例（P215）：半径为R的圆环状细管在水平面内以匀角速绕A点转动。管的内壁是光滑的。求解
12、质点M在其相对平衡位置附近作小振动的周期，及约束反力。,求解及分析,在平衡点B周围作小振动，,在转动坐标系中，仅惯性离心力(保守力）做功，重力、约束反力、科氏力不做功。根据机械能守恒原理,IPhO14-1 一质点沿正半轴OX运动，作用在质点上有一个力F(x)=-10N。在原点有一完全反射的墙。同时，摩擦力f=1.0N也作用在质点上。质点以E0=10J的动能从x01.0m出发。（1）确定质点在最终静止前所经过的路程长度，（2）画出质点在力场F中的势能图，（3）描绘出作为x函数的速度的定性图。,(1)类似于有阻力的自由落体，向上时加速度为11，下落时加速度为9，落回地面后又弹起。所以直到在原点速度
13、为零才会静止。F是保守力，所以 fS=E0+|F|x0 S=20m.,(2)Ep=|F|x+c 向上时加速度为11， 下落时加速度为9 （半个收缩的螺线）,两球碰撞的角动量守恒,思考题：圆锥摆的角动量是否守恒？,第一种解释：关于转轴的运动,角动量守恒！,第二种解释：关于O点的运动,L、M与角速度三者方向不同,角动量不守恒！,练习：试用角动量定理求解圆锥摆的运动周期。,（1）m关于转轴的运动情况,L与角速度同方向,（2）m关于O点的运动情况,L、M与角速度三者方向不同,解角动量定理：,进动,iii) 有效势能,极径的微分方程,定义有效势能,行星运动,行星径向运动动能,行星运动的性质由总能量E来决定。,1. E0, 双曲线轨道（无界）；,2. E=0, 抛物线轨道（无界）；,3. VminE0, 椭圆轨道（有界）；,4. E=Vmin, 圆轨道（有界）；,Kinetic energy (动能) T=1/2mv2,动能定理: 运动质点的动能的增加等于其它物体对它所做的功.,Conservation of mechanical energy 机械能守恒原理,功能原理,作用于质点的力F,Fc所作的功Wc可用势能的减少来表示.,Fd所作的功Wn不（可）用势能的减少来表示.,系统机械能的增量等于外力的功和非保守力内力的功的总和。,