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1、第03章静电场的边值问题第1页，此课件共47页哦那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为 该方程称为该方程称为泊松方程泊松方程。对于无源区，上式变为对于无源区，上式变为 上式称为上式称为拉普拉斯方程拉普拉斯方程。泊松方程的求解。泊松方程的求解。已已知知分分布布在在V 中中的的电电荷荷 在在无无限限大大的的自自由由空空间间产产生生的的电位为电位为因此，上式就是电位微分方程在自由空间的解。因此，上式就是电位微分方程在自由空间的解。第2页，此课件共47页哦应用应用格林函数格林函数，即可求出，即可求出泊松方程泊松方程的通解为的通解为式
2、中式中格林函数格林函数为为 对于无限大的自由空间，表面对于无限大的自由空间，表面S 趋向无限远处，由于格林函数趋向无限远处，由于格林函数及电位及电位 均与距离成反比，而均与距离成反比，而dS 与距离平方成正比，所以，与距离平方成正比，所以，对无限远处的对无限远处的S 表面，上式中的面积分为零表面，上式中的面积分为零。若若V 为为无无源源区区，那那么么上上式式中中的的体体积积分分为为零零。因因此此，第第二二项项面面积积分分可可以以认认为为是是泊泊松松方方程程在在无无源源区区中中的的解解，或或者者认认为为是是拉拉普普拉拉斯斯方方程程以以格格林林函函数数表表示的积分解。示的积分解。第3页，此课件共4
3、7页哦 数学物理方程是描述物理量随数学物理方程是描述物理量随空间空间和和时间时间的变化规律。对于某一特定的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值初始值与与边界值边界值，这些初始值和边界，这些初始值和边界值分别称为值分别称为初始条件初始条件和和边界条件边界条件，两者又统称为该方程的，两者又统称为该方程的定解条件定解条件。静电。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静仅决定于边界条件。根据
4、给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的电场的边值问题边值问题。通常给定的边界条件有三种类型：通常给定的边界条件有三种类型：第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为又称为诺依曼诺依曼问题。问题。第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为的法向导数值，这种边界条件又称为混合混合边界条件。边界条件。第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值
5、问题又称为狄利克雷狄利克雷问问题。题。第4页，此课件共47页哦对于任何数学物理方程需要研究解的对于任何数学物理方程需要研究解的存在存在、稳定稳定及及惟一性惟一性问题。问题。泊泊松松方方程程及及拉拉普普拉拉斯斯方方程程解解的的稳稳定定性性在在数数学学中中已已经经得得到到证证明明。可可以以证证明明电电位位微微分方程解也是惟一的。分方程解也是惟一的。由由于于实实际际中中定定解解条条件件是是由由实实验验得得到到的的，不不可可能能取取得得精精确确的的真真值值，因因此此，解的稳定性具有重要的实际意义。解的稳定性具有重要的实际意义。解的解的惟一性惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。是指在给定的定
6、解条件下所求得的解是否惟一。解解的的稳稳定定性性是是指指当当定定解解条条件件发发生生微微小小变变化化时时，所所求求得得的的解解是是否否会会发发生生很很大大的的变变化。化。解的解的存在存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。是指在给定的定解条件下，方程是否有解。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。第5页，此课件共47页哦 静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的电位值就是第一类边界。电位值就是第一类边界。已知导体表面上的电荷密度与电位导已知导体表面上的电荷密度
7、与电位导数的关系为数的关系为 ，可见，表面电荷给定等于给定了电位的，可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位电位，或电位的，或电位的法向导数法向导数给定时，或导体给定时，或导体表面电荷表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称。这个结论称为为静电场惟一性定理静电场惟一性定理。第6页，此课件共47页哦2.镜像法镜像法 实质实质:是以一个或几个是以一个或几个等效电荷等效电荷
8、代替边界的影响，将原来具有边界的代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀非均匀空间变成无限大的空间变成无限大的均匀均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。自由空间，从而使计算过程大为简化。依据：依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于这些等效电荷通常处于镜像位置镜像位置，因此称为，因此称为镜像电荷镜像电荷，而这种方法称为，而这种方法称为镜像镜像法法。关
9、键：关键：确定镜像电荷的大小及其位置。确定镜像电荷的大小及其位置。局限性：局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。其镜像电荷。第7页，此课件共47页哦（1）点电荷与无限大的导体平面。）点电荷与无限大的导体平面。介质 导体 q r P 介质 q r P hh 介质 以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为匀的介电常数为 的空间，则空间任一点的空间，则空间任一点 P 的电位由的电位由 q 及及 q 共同产共同产生，即生，即 考
10、虑到无限大导体平面的电位为零考虑到无限大导体平面的电位为零，求得，求得第8页，此课件共47页哦 电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全相同。电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全相同。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。电场线等位线 z 第9页，此课件共47页哦 电电荷荷守守恒恒：当当点点电电荷荷q 位位于于无无限限大大的的导导体体平平面面附附近近时时，导导体体表表面面将将产产生生异异性性的的感感应应电电荷荷，因因此此，上上半半空空间间的的电电场场取取决决于于原原
11、先先的的点点电电荷荷及及导导体体表表面面上上的的感感应应电电荷荷。可可见见，上上述述镜镜像像法法的的实实质质是是以以一一个个异异性性的的镜镜像像点点电电荷荷代代替替导导体体表表面面上上异异性性的的感感应应电电荷荷的的作作用用。根根据据电电荷荷守守恒恒原原理理，镜镜像像点点电电荷荷的的电电量量应应该该等等于于这这些些感感应应电电荷荷的的总总电电量量，读读者者可可以以根根据据导导体体表表面面电电荷荷密密度度与与电电场场强强度度或或电电位位的的关关系系证明这个结论。证明这个结论。半半空空间间等等效效：上上述述等等效效性性仅仅对对于于导导体体平平面面的的上上半半空空间间成成立立，因因为为在在上上半半空
12、空间中，源及边界条件未变。间中，源及边界条件未变。第10页，此课件共47页哦q 对对于于半半无无限限大大导导体体平平面面形形成成的的劈劈形形边边界界也也可可应应用用镜镜像像法法。但但是是仅仅当当这这种种导导体体劈劈的的夹夹角角等等于于 的的整整数数分分之之一一时时，才才可可求求出出其其镜镜像像电电荷荷。为为了了保保证证这这种种劈劈形形边边界界的的电电位位为为零零，必必须须引引入入几几个个镜镜像像电电荷荷。例如，夹角为例如，夹角为 的导电劈需引入的导电劈需引入 5 5 个镜像电荷。个镜像电荷。/3/3q 连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样连续分布的线电荷位于无限大
13、的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。可以应用镜像法求解。第11页，此课件共47页哦fqo（2）点电荷与导体球。）点电荷与导体球。Padrq 若导体球若导体球接地接地，导体球的电位为零。，导体球的电位为零。为了等效导体球边界的影响，令镜像点为了等效导体球边界的影响，令镜像点电荷电荷q 位于球心与点电荷位于球心与点电荷 q 的连线上。的连线上。那么，球面上任一点电位为那么，球面上任一点电位为 可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为 第12页，此课件共47页哦为为了了使使镜镜像像电电荷荷具具有有一一个个确确
14、定定的的值值，必必须须要要求求比比值值对对于于球球面面上上任任一一点点均均具具有有同同一一数数值值。由由上上图图可可见见，若若要要求求三三角角形形OPq与与OqP 相似，则相似，则常数。由此获知镜像电荷应为常数。由此获知镜像电荷应为镜像电荷离球心的距离镜像电荷离球心的距离d 应为应为 这样，根据这样，根据 q 及及 q 即可计算球外空间任一点的电场强度。即可计算球外空间任一点的电场强度。fqOPadrq第13页，此课件共47页哦 若导体球若导体球不接地不接地，则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电荷为负值，而另，则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导
15、体球表面上总的感应电荷应为零值。因此，对于一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的感应电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述的镜像电荷不接地的导体球，若引入上述的镜像电荷 q 后，为了满足电荷守恒原理，必须后，为了满足电荷守恒原理，必须再引入一个镜像电荷再引入一个镜像电荷q，且必须令，且必须令 显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q“必须位于必须位于球心球心。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。由事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。由q 及及q在球面边在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷
16、界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷q“以提供一定的电位。以提供一定的电位。第14页，此课件共47页哦l（3）线电荷与带电的导体圆柱。）线电荷与带电的导体圆柱。Pafdr-lO 在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根处，平行放置一根镜像电荷镜像电荷 。已知无限长线电荷产生的电场强度为。已知无限长线电荷产生的电场强度为 因此，离线电荷因此，离线电荷r 处，以处，以 为参考点的电位为为参考点的电位为 第15页，此课件共47页哦 若若令令镜镜像像线线电电荷荷 产产生生的的电电位位也也取取相相同同的的 作作为为参参考考点点，则则 及及 在
17、圆柱面上在圆柱面上 P 点共同产生的电位为点共同产生的电位为 已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件，已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件，必须要求比值必须要求比值 为常数。与前同理，可令为常数。与前同理，可令 ，由此得，由此得 第16页，此课件共47页哦 （4）点电荷与无限大的介质平面。）点电荷与无限大的介质平面。E 1 1qr0EEtEnq 2 2qE 1 2qeten=+为了求解上半空间的场可用镜像电荷为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q 等效边界上束缚电荷等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为的作用，将整个空间变为介电常数为1 的均匀空间。对于
18、下半空间，可的均匀空间。对于下半空间，可用位于原点电荷处的用位于原点电荷处的q 等效原来的点电荷等效原来的点电荷q 与边界上束缚电荷的共同作用，与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为将整个空间变为介电常数为2 的均匀空间。的均匀空间。第17页，此课件共47页哦 但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向分量保但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向分量保持连续，电位移的法向分量应该相等，即持连续，电位移的法向分量应该相等，即 已知各个点电荷产生的电场强度分别为已知各个点电荷产生的电场强度分别为代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：代入上述边界条件，求得镜像
19、电荷如下：第18页，此课件共47页哦 例例已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为a，电位为，电位为V，外导体接地，其内半径，外导体接地，其内半径为为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。解解 对对于于这这种种边边值值问问题题，镜镜像像法法不不适适用用，只只好好求求解解电电位位方方程程。为为此此，选选用用圆圆柱柱坐坐标标系系。由由于于场场量量仅仅与与坐坐标标 r 有有关关，因因此此，电电位位所所满满足足的的拉拉普普拉拉斯斯方方程程在在圆圆柱柱坐坐标标系系中中的的展展开开式式只只剩剩下下包含变量包含变量r 的一项，即电位微分方程为的一
20、项，即电位微分方程为求得求得VbaO第19页，此课件共47页哦利用边界条件：利用边界条件：求得求得最后求得最后求得第20页，此课件共47页哦由上例可见，为了利用给定的边界条件以便确定求解过程中出现的积分常由上例可见，为了利用给定的边界条件以便确定求解过程中出现的积分常数，数，选择适当的坐标系是非常重要的选择适当的坐标系是非常重要的。对于平面边界，圆柱边界及圆球。对于平面边界，圆柱边界及圆球边界必须分别选用直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系。边界必须分别选用直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系。此外，由于同轴线中的电位函数仅与一个坐标变量此外，由于同轴线中的电位函数仅与一个坐标变量r 有关，因此原先有
21、关，因此原先的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程，因而可采用的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程，因而可采用直接积分方法直接积分方法求解这类边值问题。但一般说来，静电场的边值问题与空间三个坐标变求解这类边值问题。但一般说来，静电场的边值问题与空间三个坐标变量有关。为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是量有关。为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是分离变量法分离变量法。分离变量法分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。分离变量法对于微分方程，从而使求解过程比较简便。分离变量
22、法对于11种坐标系都是行之种坐标系都是行之有效的。有效的。第21页，此课件共47页哦3.直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为 令令代入上式，两边再除以代入上式，两边再除以X(x)Y(y)Z(z)，得，得 显显然然，式式中中各各项项仅仅与与一一个个变变量量有有关关。因因此此，将将上上式式对对变变量量x 求求导导，第第二二项项及及第第三三项项均均为为零零，求求得得第第一一项项对对x 的的导导数数为为零零，说说明明了了第第一一项项等等于于常常数数。同同理理，再再分分别别对对变变量
23、量y 及及z 求求导导，得得知知第第二二项项及及第第三三项项也也分分别等于常数。令各项的常数分别为别等于常数。令各项的常数分别为，分别求得，分别求得第22页，此课件共47页哦式中式中kx，ky，kz 称为分离常数，它们可以是实数或虚数。称为分离常数，它们可以是实数或虚数。显然，三个分显然，三个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程由由上上可可见见，经经过过变变量量分分离离后后，三三维维偏偏微微分分方方程程式式被被简简化化为为三三个个一一维维常常微微分分方方程程。常常微微分分方方程程的的求求解解较较为为简简便便，而而且且三三个个常常微微分分方方程程又又
24、具具有有同同一一结结构构，因因此此它它们们解解的形式也一定相同。例如，含变量的形式也一定相同。例如，含变量 x 的常微分方程的通解为的常微分方程的通解为或者或者式中式中A,B,C,D为待定常数。为待定常数。第23页，此课件共47页哦 分离常数也可为虚数。当分离常数也可为虚数。当 kx 为虚数时，令为虚数时，令 ，则上，则上述通解变为述通解变为 或者或者含变量含变量 x 或或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的线性线性组合组合仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的，它完全决
25、定于给定的边界条件边界条件。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。第24页，此课件共47页哦例例 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d，其有限端，其有限端被电位为被电位为 0 的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面绝缘，如图所的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。Odxy=0=0=0解解选取直角坐标系。由于导电平面沿选取直角坐标系。由于导电平面沿z 轴无限延伸，槽中电位分布函数轴无限延伸，槽中电位分布函数一定与
26、一定与z 无关，因此，这是一个无关，因此，这是一个二维场二维场的问题。电位所满足的拉普拉斯方的问题。电位所满足的拉普拉斯方程变为程变为第25页，此课件共47页哦应用分离变量法，令应用分离变量法，令根据题意，槽中电位应满足的边界条件为根据题意，槽中电位应满足的边界条件为为了满足为了满足 及及 边界条件，应选边界条件，应选 Y(y)的解为的解为 因为因为 y=0 时，电位时，电位 =0，因此上式中常数，因此上式中常数B=0。为了满足边界。为了满足边界条件条件 ，分离常数，分离常数 ky 应为应为 第26页，此课件共47页哦求得求得已知已知 ，求得，求得可见，分离常数可见，分离常数kx 为虚数，故为
27、虚数，故X(x)的解应为的解应为因为因为x=0时，时，电位电位 ，因此，式中常数因此，式中常数C=0，即，即那么，那么，式中常数式中常数 C=AD。第27页，此课件共47页哦由边界条件获知，当由边界条件获知，当x=0时，电位时，电位=0，代入上式，得，代入上式，得上上式式右右端端为为变变量量，但但左左端端为为常常量量，因因此此不不能能成成立立。这这就就表表明明此此式式不不能能满满足足给给定定的的边边界界条条件件。因因此此，必必须须取取上上式式的的和和式式作作为为电电位位方方程程的的解，即解，即为了满足为了满足 x=0，=0 边界条件，由上式得边界条件，由上式得 第28页，此课件共47页哦上式右
28、端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求出系数上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求出系数Cn为为最后求得槽中电位分布函数为最后求得槽中电位分布函数为 式中式中 。0dxy=0=0=0电场线等位面电场线及等位面分布电场线及等位面分布如右图示：如右图示：第29页，此课件共47页哦4.圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为 令其解为令其解为 代入上式求得代入上式求得上式中第二项仅为变量上式中第二项仅为变量 的函数，而第一项及第三项与的函数，而第一项及第三项与 无关，因此将上无关，因此将上式对式对
29、求导，得知第二项对求导，得知第二项对 的导数为零，可见第二项应为常数，令的导数为零，可见第二项应为常数，令 第30页，此课件共47页哦即即式中式中 k 为分离常数，为分离常数，它可以是实数或虚数。通常变量它可以是实数或虚数。通常变量 的变化范围的变化范围为为，那么此时场量随，那么此时场量随 的变化一定的变化一定是以是以 2 2 为周期的周期函数。因此，上式的解一定是三角函数，且为周期的周期函数。因此，上式的解一定是三角函数，且常数常数 k 一定是整数，以保证函数的周期为一定是整数，以保证函数的周期为2 2。令。令，m 为整数，则上式的解为为整数，则上式的解为式中式中A,B 为待定常数。为待定常
30、数。考虑到考虑到 ，以及变量，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为的方程式，则前述方程可表示为第31页，此课件共47页哦上式左边第一项仅为变量上式左边第一项仅为变量r 的函数，第二项仅为变量的函数，第二项仅为变量z 的函数，因此按照的函数，因此按照前述理由，它们应分别等于常数，令前述理由，它们应分别等于常数，令 即即式中分离常数式中分离常数 kz 可为实数或虚数，其解可为三角函数，双曲函数或指数函可为实数或虚数，其解可为三角函数，双曲函数或指数函数。当数。当 kz 为实数时，可令为实数时，可令 式中式中C,D 为待定常数。为待定常数。将变量将变量 z 方程代入前式，得方程代入前式，得 第32
31、页，此课件共47页哦若令若令 ，则上式变为，则上式变为 上式为标准的柱上式为标准的柱贝塞尔方程贝塞尔方程，其解为柱，其解为柱贝塞尔函数贝塞尔函数，即，即 至此，我们分别求出了至此，我们分别求出了R(r),(),Z(z)的解，而电位微分方程的通的解，而电位微分方程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。解应为三者乘积，或取其线性组合。式中式中E,F 为待定常数为待定常数,为为m 阶第一类阶第一类柱柱贝塞尔函数，贝塞尔函数，为为m阶第二类阶第二类柱柱贝塞尔函数。根据第二类贝塞尔函数。根据第二类柱柱贝塞尔函数的特性知，当贝塞尔函数的特性知，当r=0时，时，。因此，当场存在的区域包括。因此，当场存在的区域
32、包括r=0时，此时只时，此时只能取第一类能取第一类柱柱贝塞尔函数作为方程的解。贝塞尔函数作为方程的解。第33页，此课件共47页哦若若所所讨讨论论的的静静电电场场与与变变量量z 无无关关，则则分分离离常常数数。那那么么电电位微分方程变为位微分方程变为此方程的解为指数函数，即此方程的解为指数函数，即 若所讨论的静电场又与变量若所讨论的静电场又与变量 无关，则无关，则m=0。那么，电位微分方程。那么，电位微分方程的解为的解为 考虑到以上各种情况，考虑到以上各种情况，电位微分方程电位微分方程的解可取下列一般形式的解可取下列一般形式 第34页，此课件共47页哦例例设一根无限长、半径为设一根无限长、半径为
33、a 的导体圆柱放入无限大的均匀静电场中，电的导体圆柱放入无限大的均匀静电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求导体圆柱外的电场强度。场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求导体圆柱外的电场强度。解解选取圆柱坐标系，令选取圆柱坐标系，令z 轴为圆柱轴线，轴为圆柱轴线，电场强度的方向与电场强度的方向与x 轴一致，即轴一致，即 当导体圆柱处于当导体圆柱处于静电平衡静电平衡时，圆柱内的电时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与z 无关。解的形式可取前述一般形式
34、，但应满足无关。解的形式可取前述一般形式，但应满足下列两个边界条件：下列两个边界条件：xyaE0O第35页，此课件共47页哦 由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即 因此因此 无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为 此此式式表表明明，无无限限远远处处电电位位函函数数仅仅为为 cos 的的函函数数，可可见见系数系数 ，且，且 m=0。因此电位函数为。因此电位函数为第36页，此课件共47页哦那么，根据应满足的边界条件即可求得系数那么，根据应满足的边界条件即可求得系数 B1，D1 应为应为代入前式，求得柱外电位分布函数为代入
35、前式，求得柱外电位分布函数为 则柱外电场强度为则柱外电场强度为 第37页，此课件共47页哦xyaE0电场线等位面圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：第38页，此课件共47页哦5.球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法电位微分方程在球坐标系中的展开式为电位微分方程在球坐标系中的展开式为令令代入上式，得代入上式，得与前同理，与前同理，的解应为的解应为第39页，此课件共47页哦可见，上式中第一项仅为可见，上式中第一项仅为r 的函数，第二项与的函数，第二项与r 无关。因此，与前同理第无关。因此，与前同理第一项应为常数。为了便于进
36、一步求解，令一项应为常数。为了便于进一步求解，令 式中式中n 为整数。这是尤拉方程，其通解为为整数。这是尤拉方程，其通解为 将此结果代入上式，得将此结果代入上式，得第40页，此课件共47页哦令令 ，则上式变为，则上式变为上式为上式为连带勒让德方程连带勒让德方程，其通解为，其通解为第一类连带勒让德函数第一类连带勒让德函数与与第第二类连带勒让德函数二类连带勒让德函数之和，这里之和，这里 m n 。当当n 是整数时，是整数时，及及为有限项多项式。因此，要求为有限项多项式。因此，要求n 为为整数。整数。根据第二类连带勒让德函数的特性知，当根据第二类连带勒让德函数的特性知，当时，时，。因。因此，当场存在
37、的区域包括此，当场存在的区域包括或或时，时，此时只能取第一类连，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。带勒让德函数作为方程的解。所以，通常令所以，通常令第41页，此课件共47页哦那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合若若静静电电场场与与变变量量 无无关关，则则m=0。那那么么称称为为第第一一类勒让德函数。此时，类勒让德函数。此时，电位微分方程电位微分方程的通解为的通解为第42页，此课件共47页哦例例设半径为设半径为a，介电常数为，介电常数为 的介质球放在无限大的真空中，受到其的介质球放在无限大的真空中，受到其内均匀电场内均匀电场E0 的作
38、用，如图所示。试求介质球内的电场强度。的作用，如图所示。试求介质球内的电场强度。E0zy 0a解解取取球球坐坐标标系系，令令E0的的方方向向与与z 轴轴一一致致，即即。显显然然，此此时时场场分分布布以以z 轴轴为为旋旋转转对对称称，因因此此与与 无无关关。这这样样，球球内内外外的的电位分布函数可取为电位分布函数可取为则球内外电位分别为则球内外电位分别为第43页，此课件共47页哦球内外电位函数应该满足下列边界条件：球内外电位函数应该满足下列边界条件：球心电位球心电位 应为有限值；应为有限值；无限远处电场未受干扰，因此电位应为无限远处电场未受干扰，因此电位应为 球内电位与球外电位在球面上应该连续，
39、即球内电位与球外电位在球面上应该连续，即 根据边界上电位移法向分量的连续性，获知球面上内外电位的法根据边界上电位移法向分量的连续性，获知球面上内外电位的法向导数应满足向导数应满足 第44页，此课件共47页哦考虑到边界条件考虑到边界条件，系数，系数Dn 应为零，即应为零，即为了满足边界条件为了满足边界条件，除了，除了A1以外的系数以外的系数An 应皆为零，且应皆为零，且。即。即 再考虑到边界条件再考虑到边界条件，得，得 为了进一步满足边界条件为了进一步满足边界条件，得，得式中式中第45页，此课件共47页哦由于上两式对于所有的由于上两式对于所有的 值均应满足，因此等式两边对应的各项系数应值均应满足
40、，因此等式两边对应的各项系数应该相等。由此获知各系数分别为该相等。由此获知各系数分别为 代入前式，求得球内外电位分别为代入前式，求得球内外电位分别为第46页，此课件共47页哦E0zy 0a值得注意的是球内的电场分布。已知值得注意的是球内的电场分布。已知 ，求得球内的电场为，求得球内的电场为可见，球内电场仍然为均匀电场，而且球内场强可见，球内电场仍然为均匀电场，而且球内场强低于低于球外场强。球内外的电场线如球外场强。球内外的电场线如图示。图示。如如果果在在无无限限大大的的介介电电常常数数为为 的的均均匀匀介介质质中中存存在在球球形形气气泡泡，那那么么当当外外加加均均匀匀电电场场时，气泡内的电场强度应为时，气泡内的电场强度应为那么，泡内的场强那么，泡内的场强高于高于泡外的场强。泡外的场强。第47页，此课件共47页哦