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1、第03章静电场的边值问题第1页，本讲稿共47页那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为 该方程称为该方程称为泊松方程泊松方程。对于无源区，上式变为对于无源区，上式变为 上式称为上式称为拉普拉斯方程拉普拉斯方程。泊松方程的求解。泊松方程的求解。已知分布在V 中的电荷 在无限大的自由空间产生的电位为因此，上式就是电位微分方程在自由空间的解。因此，上式就是电位微分方程在自由空间的解。第2页，本讲稿共47页应用格林函数 ，即可求出泊松方程的通解为式中格林函数 为 对于无限大的自由空间，表面 S 趋向无限远处，由于格林函数 及电位 均与
2、距离成反比，而 dS 与距离平方成正比，所以，对无限远处的 S 表面，上式中的面积分为零。若若V 为为无无源源区区，那那么么上上式式中中的的体体积积分分为为零零。因因此此，第第二二项项面面积积分分可可以以认认为为是是泊泊松松方方程程在在无无源源区区中中的的解解，或或者者认认为为是是拉拉普普拉拉斯斯方方程程以格林函数表示的积分解。以格林函数表示的积分解。第3页，本讲稿共47页 数学物理方程是描述物理量随数学物理方程是描述物理量随空间空间和和时间时间的变化规律。对于某的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值初始值与与边界值边界值，
3、这些初始值和边界值分别称为这些初始值和边界值分别称为初始条件初始条件和和边界条件边界条件，两者又统称为，两者又统称为该方程的该方程的定解条件定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题边值问题。通常给定的边界条件有三种类型：通常给定的边界条件有三种类型：第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，
4、这种边值问题又称为题又称为诺依曼诺依曼问题。问题。第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合混合边界条件。边界条件。第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄利克雷狄利克雷问题。问题。第4页，本讲稿共47页对于任何数学物理方程需要研究解的对于任何数学物理方程需要研究解的存在存在、稳定稳定及及惟一性惟一性问题。问题。泊泊松松方方程程及及拉拉普普拉拉斯斯方方程程解解的的稳稳定定性
5、性在在数数学学中中已已经经得得到到证证明明。可可以证明电位微分方程解也是惟一的。以证明电位微分方程解也是惟一的。由由于于实实际际中中定定解解条条件件是是由由实实验验得得到到的的，不不可可能能取取得得精精确确的的真真值值，因此，解的稳定性具有重要的实际意义。因此，解的稳定性具有重要的实际意义。解的解的惟一性惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。解解的的稳稳定定性性是是指指当当定定解解条条件件发发生生微微小小变变化化时时，所所求求得得的的解解是是否否会会发生很大的变化。发生很大的变化。解的解的存在存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。是指在给
6、定的定解条件下，方程是否有解。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。第5页，本讲稿共47页 静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的电位值就是第一类边界。已知导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为 ，可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位电位，或电，或电位的位的法向导数法向导数给定时，或导体给定时，或导体表面电荷表面电荷给定时，空间的静电场即给定时，空间的静电场即被惟一地确定被惟一
7、地确定。这个结论称为。这个结论称为静电场惟一性定理静电场惟一性定理。第6页，本讲稿共47页2.镜像法镜像法 实质实质:是以一个或几个是以一个或几个等效电荷等效电荷代替边界的影响，将原来具代替边界的影响，将原来具有边界的有边界的非均匀非均匀空间变成无限大的空间变成无限大的均匀均匀自由空间，从而使计算过自由空间，从而使计算过程大为简化。程大为简化。依据：依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效
8、电荷通常处于等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位镜像位置置，因此称为，因此称为镜像电荷镜像电荷，而这种方法称为，而这种方法称为镜像法镜像法。关键：关键：确定镜像电荷的大小及其位置。确定镜像电荷的大小及其位置。局限性：局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。可能确定其镜像电荷。第7页，本讲稿共47页（1）点电荷与无限大的导体平面。）点电荷与无限大的导体平面。介质 导体 q r P 介质 q r P hh 介质 以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响
9、，使整个空间变成均匀的介电常数为变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点的空间，则空间任一点 P 的电位由的电位由 q 及及 q 共同产生，即共同产生，即 考虑到无限大导体平面的电位为零，求得第8页，本讲稿共47页 电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全相同。部分完全相同。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。表面吻合。电场线等位线 z 第9页，本讲稿共47页 电电荷荷守守恒恒：当当点点电电荷荷q 位位于于无无限限大大的的导导体体平平面面附附近
10、近时时，导导体体表表面面将将产产生生异异性性的的感感应应电电荷荷，因因此此，上上半半空空间间的的电电场场取取决决于于原原先先的的点点电电荷荷及及导导体体表表面面上上的的感感应应电电荷荷。可可见见，上上述述镜镜像像法法的的实实质质是是以以一一个个异异性性的的镜镜像像点点电电荷荷代代替替导导体体表表面面上上异异性性的的感感应应电电荷荷的的作作用用。根根据据电电荷荷守守恒恒原原理理，镜镜像像点点电电荷荷的的电电量量应应该该等等于于这这些些感感应应电电荷荷的的总总电电量量，读读者者可可以以根根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。半
11、半空空间间等等效效：上上述述等等效效性性仅仅对对于于导导体体平平面面的的上上半半空空间间成成立立，因因为为在上半空间中，源及边界条件未变。在上半空间中，源及边界条件未变。第10页，本讲稿共47页q 对对于于半半无无限限大大导导体体平平面面形形成成的的劈劈形形边边界界也也可可应应用用镜镜像像法法。但但是是仅仅当当这这种种导导体体劈劈的的夹夹角角等等于于 的的整整数数分分之之一一时时，才才可可求求出出其其镜镜像像电电荷荷。为为了了保保证证这这种种劈劈形形边边界界的的电电位位为为零零，必必须须引引入入几几个个镜镜像像电电荷荷。例如，夹角为例如，夹角为 的导电劈需引入的导电劈需引入 5 5 个镜像电荷
12、。个镜像电荷。/3/3q 连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。原理得知，同样可以应用镜像法求解。第11页，本讲稿共47页fqo（2）点电荷与导体球。）点电荷与导体球。Padrq 若导体球若导体球接地接地，导体球的电位，导体球的电位为零。为了等效导体球边界的影响，为零。为了等效导体球边界的影响，令镜像点电荷令镜像点电荷q 位于球心与点电荷位于球心与点电荷 q 的连线上。那么，球面上任一点的连线上。那么，球面上任一点电位为电位为 可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为可见，为了保证
13、球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为 第12页，本讲稿共47页为为了了使使镜镜像像电电荷荷具具有有一一个个确确定定的的值值，必必须须要要求求比比值值对对于于球球面面上上任任一一点点均均具具有有同同一一数数值值。由由上上图图可可见见，若若要要求求三三角角形形OPq与与OqP 相似，则相似，则常数。由此获知镜像电荷应为常数。由此获知镜像电荷应为镜像电荷离球心的距离d 应为 这样，根据这样，根据 q 及及 q 即可计算球外空间任一点的电场强度。即可计算球外空间任一点的电场强度。fqOPadrq第13页，本讲稿共47页 若导体球若导体球不接地不接地，则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电，则位于点
14、电荷一侧的导体球表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的感应电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述的镜感应电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述的镜像电荷像电荷 q 后，为了满足电荷守恒原理，必须再引入一个镜像电荷后，为了满足电荷守恒原理，必须再引入一个镜像电荷q，且必须令，且必须令 显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q“必须位必须位于于球心球心。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。由。事实上，由于导体球不接地，因此
15、，其电位不等零。由q 及及q在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷q“以提供一定的电位。以提供一定的电位。第14页，本讲稿共47页l（3）线电荷与带电的导体圆柱。）线电荷与带电的导体圆柱。Pafdr-lO 在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根镜像电荷 。已知无限长线电荷产生的电场强度为 因此，离线电荷r 处，以 为参考点的电位为 第15页，本讲稿共47页 若令镜像线电荷 产生的电位也取相同的 作为参考点，则 及 在圆柱面上 P 点共同产生的电位为 已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件，必须
16、要求比值 为常数。与前同理，可令 ，由此得 第16页，本讲稿共47页 （4）点电荷与无限大的介质平面。）点电荷与无限大的介质平面。E 1 1qr0EEtEnq 2 2qE 1 2qeten=+为了求解上半空间的场可用镜像电荷为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q 等效边界上束缚电等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为荷的作用，将整个空间变为介电常数为1 的均匀空间。对于下的均匀空间。对于下半空间，可用位于原点电荷处的半空间，可用位于原点电荷处的q 等效原来的点电荷等效原来的点电荷q 与边界与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数
17、为2 的均匀的均匀空间。空间。第17页，本讲稿共47页 但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向分量保持连续，电位移的法向分量应该相等，即分量保持连续，电位移的法向分量应该相等，即 已知各个点电荷产生的电场强度分别为已知各个点电荷产生的电场强度分别为代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：第18页，本讲稿共47页 例例已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为a，电位为，电位为V，外导体接地，其，外导体接地，其内半径为内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。试求内外导体之间
18、的电位分布函数以及电场强度。解解 对对于于这这种种边边值值问问题题，镜镜像像法法不不适适用用，只只好好求求解解电电位位方方程程。为为此此，选选用用圆圆柱柱坐坐标标系系。由由于于场场量量仅仅与与坐坐标标 r 有有关关，因因此此，电电位位所所满满足足的的拉拉普普拉拉斯斯方方程程在在圆圆柱柱坐坐标标系系中中的的展展开开式式只只剩剩下下包包含含变变量量r 的的一一项项，即即电电位微分方程为位微分方程为求得VbaO第19页，本讲稿共47页利用边界条件：求得最后求得第20页，本讲稿共47页由上例可见，为了利用给定的边界条件以便确定求解过程中由上例可见，为了利用给定的边界条件以便确定求解过程中出现的积分常数
19、，出现的积分常数，选择适当的坐标系是非常重要的选择适当的坐标系是非常重要的。对于平面边。对于平面边界，圆柱边界及圆球边界必须分别选用直角坐标系、圆柱坐标系界，圆柱边界及圆球边界必须分别选用直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系。及球坐标系。此外，由于同轴线中的电位函数仅与一个坐标变量此外，由于同轴线中的电位函数仅与一个坐标变量r 有关，有关，因此原先的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程，因而可采因此原先的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程，因而可采用用直接积分方法直接积分方法求解这类边值问题。但一般说来，静电场的边求解这类边值问题。但一般说来，静电场的边值问题与空间三个坐标变量有关。为了求解三维拉普
20、拉斯方程，值问题与空间三个坐标变量有关。为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是一种有效的方法就是分离变量法分离变量法。分离变量法分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。分离变量法三个独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。分离变量法对于对于11种坐标系都是行之有效的。种坐标系都是行之有效的。第21页，本讲稿共47页3.直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为 令代入上式，
21、两边再除以代入上式，两边再除以X(x)Y(y)Z(z)，得，得 显然，式中各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量 x 求导，第二项及第三项均为零，求得第一项对 x 的导数为零，说明了第一项等于常数。同理，再分别对变量 y 及 z 求导，得知第二项及第三项也分别等于常数。令各项的常数分别为 ，分别求得第22页，本讲稿共47页式中式中kx，ky，kz 称为分离常数，它们可以是实数或虚数。称为分离常数，它们可以是实数或虚数。显然，三显然，三个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程由由上上可可见见，经经过过变变量量分分离离后后，三三维维偏偏微微分分方方
22、程程式式被被简简化化为为三三个个一一维维常常微微分分方方程程。常常微微分分方方程程的的求求解解较较为为简简便便，而而且且三三个个常常微微分分方方程程又又具具有有同同一一结结构构，因因此此它它们们解解的的形形式式也也一一定定相相同同。例例如如，含含变变量量 x 的常微分方程的通解为的常微分方程的通解为或者式中式中A,B,C,D为待定常数。为待定常数。第23页，本讲稿共47页 分离常数也可为虚数。当 kx 为虚数时，令 ，则上述通解变为 或者含变量含变量 x 或或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的的线性组合线性组合仍然是方程的解。解的形式的
23、选择是非常重要的，仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的它完全决定于给定的边界条件边界条件。解中各个待定常数也取决于给。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。定的边界条件。第24页，本讲稿共47页例例 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d，其有，其有限端被电位为限端被电位为 0 的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。Odxy=0=0=0解解选取直角坐标系。由于导电平面沿选取直角
24、坐标系。由于导电平面沿z 轴无限延伸，槽中电位轴无限延伸，槽中电位分布函数一定与分布函数一定与z 无关，因此，这是一个无关，因此，这是一个二维场二维场的问题。电位所的问题。电位所满足的拉普拉斯方程变为满足的拉普拉斯方程变为第25页，本讲稿共47页应用分离变量法，令根据题意，槽中电位应满足的边界条件为根据题意，槽中电位应满足的边界条件为为了满足 及 边界条件，应选 Y(y)的解为 因为 y=0 时，电位 =0，因此上式中常数 B=0。为了满足边界条件 ，分离常数 ky 应为 第26页，本讲稿共47页求得已知 ，求得可见，分离常数可见，分离常数kx 为虚数，故为虚数，故X(x)的解应为的解应为因为
25、因为x=0时，时，电位电位 ，因此，式中常数因此，式中常数C=0，即，即那么，式中常数式中常数 C=AD。第27页，本讲稿共47页由边界条件获知，当由边界条件获知，当x=0时，电位时，电位=0，代入上式，得，代入上式，得上上式式右右端端为为变变量量，但但左左端端为为常常量量，因因此此不不能能成成立立。这这就就表表明明此此式式不不能能满满足足给给定定的的边边界界条条件件。因因此此，必必须须取取上上式式的的和和式式作作为为电电位位方方程的解，即程的解，即为了满足为了满足 x=0，=0 边界条件，由上式得边界条件，由上式得 第28页，本讲稿共47页上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求
26、出系上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求出系数数Cn为为最后求得槽中电位分布函数为最后求得槽中电位分布函数为 式中 。0dxy=0=0=0电场线等位面电场线及等位面电场线及等位面分布如右图示：分布如右图示：第29页，本讲稿共47页4.圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为 令其解为 代入上式求得上式中第二项仅为变量上式中第二项仅为变量 的函数，而第一项及第三项与的函数，而第一项及第三项与 无关，因无关，因此将上式对此将上式对 求导，得知第二项对求导，得知第二项对 的导数为零，可见第二项应为的导数为
27、零，可见第二项应为常数，令常数，令 第30页，本讲稿共47页即式中 k 为分离常数，它可以是实数或虚数。通常变量 的变化范围为 ，那么此时场量随 的变化一定是以 2 为周期的周期函数。因此，上式的解一定是三角函数，且常数 k 一定是整数，以保证函数的周期为2。令 ，m 为整数，则上式的解为式中式中A,B 为待定常数。为待定常数。考虑到 ，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为第31页，本讲稿共47页上式左边第一项仅为变量上式左边第一项仅为变量r 的函数，第二项仅为变量的函数，第二项仅为变量z 的函数，因的函数，因此按照前述理由，它们应分别等于常数，令此按照前述理由，它们应分别等于常数，令 即式
28、中分离常数式中分离常数 kz 可为实数或虚数，其解可为三角函数，双曲函数或可为实数或虚数，其解可为三角函数，双曲函数或指数函数。当指数函数。当 kz 为实数时，可令为实数时，可令 式中式中C,D 为待定常数。为待定常数。将变量将变量 z 方程代入前式，得方程代入前式，得 第32页，本讲稿共47页若令 ，则上式变为 上式为标准的柱上式为标准的柱贝塞尔方程贝塞尔方程，其解为柱，其解为柱贝塞尔函数贝塞尔函数，即，即 至此，我们分别求出了至此，我们分别求出了R(r),(),Z(z)的解，而电位微分方的解，而电位微分方程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。式中E,F
29、 为待定常数,为 m 阶第一类柱贝塞尔函数，为m阶第二类柱贝塞尔函数。根据第二类柱贝塞尔函数的特性知，当r=0 时，。因此，当场存在的区域包括 r=0 时，此时只能取第一类柱贝塞尔函数作为方程的解。第33页，本讲稿共47页 若所讨论的静电场与变量 z 无关，则分离常数 。那么电位微分方程变为此方程的解为指数函数，即此方程的解为指数函数，即 若所讨论的静电场又与变量若所讨论的静电场又与变量 无关，则无关，则m=0。那么，电位微。那么，电位微分方程的解为分方程的解为 考虑到以上各种情况，考虑到以上各种情况，电位微分方程电位微分方程的解可取下列一般形式的解可取下列一般形式 第34页，本讲稿共47页例
30、例设一根无限长、半径为设一根无限长、半径为a 的导体圆柱放入无限大的均匀静的导体圆柱放入无限大的均匀静电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求导体圆柱电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求导体圆柱外的电场强度。外的电场强度。解解选取圆柱坐标系，令选取圆柱坐标系，令z 轴为圆柱轴轴为圆柱轴线，电场强度的方向与线，电场强度的方向与x 轴一致，即轴一致，即 当导体圆柱处于当导体圆柱处于静电平衡静电平衡时，圆柱内的时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应
31、与数应与z 无关。解的形式可取前述一般形式，无关。解的形式可取前述一般形式，但应满足下列两个边界条件：但应满足下列两个边界条件：xyaE0O第35页，本讲稿共47页 由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即 因此 无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为 此式表明，无限远处电位函数仅为 cos 的函数，可见系数 ，且 m=0。因此电位函数为第36页，本讲稿共47页那么，根据应满足的边界条件即可求得系数那么，根据应满足的边界条件即可求得系数 B1，D1 应为应为代入前式，求得柱外电位分布函数为代入前式，求得柱外电位分布函数为
32、 则柱外电场强度为则柱外电场强度为 第37页，本讲稿共47页xyaE0电场线等位面圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：第38页，本讲稿共47页5.球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法电位微分方程在球坐标系中的展开式为电位微分方程在球坐标系中的展开式为令代入上式，得代入上式，得与前同理，与前同理，的解应为的解应为第39页，本讲稿共47页可见，上式中第一项仅为可见，上式中第一项仅为r 的函数，第二项与的函数，第二项与r 无关。因此，与前无关。因此，与前同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令同理第一项应为常数。为了便于进
33、一步求解，令 式中式中n 为整数。这是尤拉方程，其通解为为整数。这是尤拉方程，其通解为 将此结果代入上式，得将此结果代入上式，得第40页，本讲稿共47页令 ，则上式变为上式为连带勒让德方程，其通解为第一类连带勒让德函数 与第二类连带勒让德函数 之和，这里 m n。当 n 是整数时，及 为有限项多项式。因此，要求 n 为整数。根据第二类连带勒让德函数的特性知，当 时，。因此，当场存在的区域包括 或 时，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。所以，通常令第41页，本讲稿共47页那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合 若静电场与变量 无关，则
34、m=0。那么 称为第一类勒让德函数。此时，电位微分方程的通解为第42页，本讲稿共47页例例设半径为设半径为a，介电常数为，介电常数为 的介质球放在无限大的真空中，的介质球放在无限大的真空中，受到其内均匀电场受到其内均匀电场E0 的作用，如图所示。试求介质球内的电场强的作用，如图所示。试求介质球内的电场强度。度。E0zy 0a解 取球坐标系，令 E0 的方向与 z 轴一致，即 。显然，此时场分布以 z 轴为旋转对称，因此与 无关。这样，球内外的电位分布函数可取为则球内外电位分别为则球内外电位分别为第43页，本讲稿共47页球内外电位函数应该满足下列边界条件：球内外电位函数应该满足下列边界条件：球心
35、电位球心电位 应为有限值；应为有限值；无限远处电场未受干扰，因此电位应为无限远处电场未受干扰，因此电位应为 球内电位与球外电位在球面上应该连续，即球内电位与球外电位在球面上应该连续，即 根据边界上电位移法向分量的连续性，获知球面上内外根据边界上电位移法向分量的连续性，获知球面上内外电位的法向导数应满足电位的法向导数应满足 第44页，本讲稿共47页考虑到边界条件考虑到边界条件，系数，系数Dn 应为零，即应为零，即为了满足边界条件为了满足边界条件，除了，除了A1以外的系数以外的系数An 应皆为零，且应皆为零，且。即。即 再考虑到边界条件再考虑到边界条件，得，得 为了进一步满足边界条件为了进一步满足
36、边界条件，得，得式中第45页，本讲稿共47页由于上两式对于所有的由于上两式对于所有的 值均应满足，因此等式两边对应的各值均应满足，因此等式两边对应的各项系数应该相等。由此获知各系数分别为项系数应该相等。由此获知各系数分别为 代入前式，求得球内外电位分别为代入前式，求得球内外电位分别为第46页，本讲稿共47页E0zy 0a值得注意的是球内的电场分布。已知 ，求得球内的电场为可见，球内电场仍然为均匀电场，而且球内场强可见，球内电场仍然为均匀电场，而且球内场强低于低于球外场强。球内球外场强。球内外的电场线如图示。外的电场线如图示。如如果果在在无无限限大大的的介介电电常常数数为为 的的均均匀匀介介质质中中存存在在球球形形气气泡泡，那那么么当当外外加加均匀电场时，气泡内的电场强度应为均匀电场时，气泡内的电场强度应为那么，泡内的场强那么，泡内的场强高于高于泡外的场强。泡外的场强。第47页，本讲稿共47页