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1、第03章静电场的边值问题(1)本讲稿第一页，共四十一页那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为 该方程称为该方程称为泊松方程泊松方程。对于无源区，上式变为对于无源区，上式变为 上式称为上式称为拉普拉斯方程拉普拉斯方程。不管是电位函数的泊松方程还是拉普拉斯方程，从数学角度来说，它们都是数学物理方程，不管是电位函数的泊松方程还是拉普拉斯方程，从数学角度来说，它们都是数学物理方程，一般是二阶偏微分方程。事实上，所有静电场问题都是泊松方程或拉普拉斯在不同边界条件下的一般是二阶偏微分方程。事实上，所有静电场问题都是泊松方程或拉普拉斯在不
2、同边界条件下的具体解答。具体解答。已知，电位已知，电位 与电场强度与电场强度 E 的关系为的关系为 对上式两边取散度，得对上式两边取散度，得 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为的散度为 本讲稿第二页，共四十一页 数学物理方程是描述物理量随数学物理方程是描述物理量随空间空间和和时间时间的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的的解取决于物理量的初始值初始值与与边界值边界值，这些初始值和边界值分别称为，这些初始值和边界值分别称为初始条件初始条件和和边界条边界条件件，两者又统称为该方程的，
3、两者又统称为该方程的定解条件定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位，或者间任一点的电位，或者在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程方程就是静电场的就是静电场的边值问题边值问题。3.1.2静态场的边值问题的分类及唯一性定理静态场的边值问题的分类及唯一性定理1.1.静电场边值问题分类静电场边值问题分类第一类边值问题（或狄里赫利问题）
4、第一类边值问题（或狄里赫利问题）已知场域边界面上的位函数值，即已知场域边界面上的位函数值，即本讲稿第三页，共四十一页第三类边值问题（或混合边值问题）第三类边值问题（或混合边值问题）已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即第二类边值问题（或纽曼问题）第二类边值问题（或纽曼问题）已知场域一部分边界面上的已知场域一部分边界面上的位函数值，而另一部分边界面上则已知位函数值，而另一部分边界面上则已知位函数的法向位函数的法向导数值，即导数值，即2.2.静电场边值问题的唯一性定理静电场边值问题的唯一性定理对于任何数学物理方程需要研究解的对于任何数学物理方程需要研究解的
5、存在存在、稳定稳定及及惟一性惟一性问题。问题。解解的的稳稳定定性性是是指指当当定定解解条条件件发发生生微微小小变变化化时时，所所求求得得的的解解是是否否会会发发生生很很大大的变化。的变化。解的解的存在性存在性是指在给定的定解条件下，方程是否有解。是指在给定的定解条件下，方程是否有解。本讲稿第四页，共四十一页 泊泊松松方方程程及及拉拉普普拉拉斯斯方方程程解解的的稳稳定定性性在在数数学学中中已已经经得得到到证证明明。可可以以证证明明电电位微分方程解也是惟一的。位微分方程解也是惟一的。由由于于实实际际中中定定解解条条件件是是由由实实验验得得到到的的，不不可可能能取取得得精精确确的的真真值值，因因此此
6、，解的稳定性解的稳定性具有重要的实际意义。具有重要的实际意义。解的解的惟一性惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。唯一性定理唯一性定理是是静电场边值问题静电场边值问题的一个重要定理的一个重要定理，表述为：在场域，表述为：在场域V的边界面的边界面S上，给定上，给定或或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内具有唯一解内具有唯一解。因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的因此，对于导体边界的静电场问题，
7、当边界上的电位电位，或电位的，或电位的法向导数法向导数给定时，给定时，或导体或导体表面电荷表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定给定时，空间的静电场即被惟一地确定。本讲稿第五页，共四十一页惟一性定理的重要意义惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据为求解结果的正确性提供了判据例：例：（第三类边值问题）（第三类边值问题）例：例：（第一类边值问题）（第一类边值问题）本讲稿第六页，共四十一页惟一性定理的证明惟一性定理的证明反证法反
8、证法：假设解不惟一，则有两个位函数：假设解不惟一，则有两个位函数和和在场域在场域V内满足同样的方程，即内满足同样的方程，即且在边界面且在边界面S 上有上有且在边界面且在边界面S 上满足同样的边界条件。上满足同样的边界条件。令令 ，则则在场域在场域V内内或或或或本讲稿第七页，共四十一页由格林第一恒等式由格林第一恒等式可得到可得到对于第一类边界条件：对于第一类边界条件：对于第二类边界条件：若对于第二类边界条件：若和和取同一点取同一点Q为参考点为参考点，则，则对于第三类边界条件：对于第三类边界条件：本讲稿第八页，共四十一页 当当有有电电荷荷存存在在于于导导体体或或介介质质表表面面附附近近时时，导导体
9、体和和介介质质表表面面会会出出现现感感应应电电荷荷或或极极化化电电荷荷，而而感感应电荷或极化电荷将影响场的分布。应电荷或极化电荷将影响场的分布。非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代3.1.3镜像法镜像法几个实例几个实例接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。q qqq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷1.1.问题的提出问题的提出本讲稿第九页，共四十一页 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很
10、很难难求求解解，可可以以用用等等效效电电荷荷的的电电位替代位替代 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。荷为线电荷。q q非均匀感应电荷非均匀感应电荷qq等效电荷等效电荷结论：所谓结论：所谓镜像法镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。或线电荷的作用。问题：这种等效电荷是否存在？问题：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？这种等效是否合理？本讲稿第十页，共四十一页2镜像法的原理镜像法的原理用位于场域边界外虚设的较简单的用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷镜
11、像电荷分布来等效替代该边分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。一种间接求解法。在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且
12、是惟一的解答。问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法磁场问题所构成的一种有效的解析求解法3.镜像法的理论基础镜像法的理论基础解的惟一性定理解的惟一性定理本讲稿第十一页，共四十一页 像电荷的个数、位置及其电量大小像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素三要素”；4.镜像法应用的关键点镜像法应用的关键点5.确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。镜像电荷的确定镜像电荷的确定像电荷
13、必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。镜像法的局限性：镜像法的局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。有可能确定其镜像电荷。本讲稿第十二页，共四十一页（1 1）点电荷对无限大接地导体平面的镜像）点电荷对无限大接地导体平面的镜像满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。6.镜像法分类举例镜像法分类举例
14、镜像电荷镜像电荷电位函数电位函数因因z=0时，时，q q有效区域有效区域q q本讲稿第十三页，共四十一页上半空间上半空间(z0）的电位函数）的电位函数q q导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为导体平面上的总感应电荷为本讲稿第十四页，共四十一页(2)(2)线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像镜像线电荷：镜像线电荷：满足原问题的边界条件，满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。所得的解是正确的。电位函数电位函数原问题原问题有效区域有效区域当当z=0时，时，本讲稿第十五页，共四十一页（3）点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像）点电
15、荷对相交半无限大接地导体平面的镜像如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q 位于位于(d1,d2)处。处。显显然然，q1对对平平面面2以以及及q2对对平平面面1均均不不能能满满足边界条件。足边界条件。对于平面对于平面1，有镜像电荷，有镜像电荷q1=q，位于位于(d1,d2)对于平面对于平面2，有镜像电荷，有镜像电荷q2=q，位于位于(d1,d2)只只有有在在(d1,d2)处处再再设设置置一一镜镜像像电电荷荷q3=q，所有边界条件才能得到满足。所有边界条件才能得到满足。电位函数电位函数q d1d212RR1R2R3q1d1
16、d2d2q2d1q3d2d1本讲稿第十六页，共四十一页 对对于于半半无无限限大大导导体体平平面面形形成成的的劈劈形形边边界界也也可可应应用用镜镜像像法法。但但是是仅仅当当这这种种导导体体劈劈的的夹夹角角等等于于 的的整整数数(n)分分之之一一时时，才才可可求求出出其其镜镜像像电电荷荷。为为了了保保证证这这种种劈劈形形边边界界的的电电位位为为零零，必必须须引引入入(2n-1)个个镜镜像像电荷。电荷。例如例如，夹角为，夹角为 的导电劈需引入的导电劈需引入 5 个镜像电荷。个镜像电荷。q/3/3q 连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，
17、根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。知，同样可以应用镜像法求解。本讲稿第十七页，共四十一页（4 4）点电荷对接地导体球面的镜像）点电荷对接地导体球面的镜像球面上的感应电荷可用镜像电荷球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效。来等效。q应位于导体球内（显然应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷不影响原方程），且在点电荷q与球与球心的连线上，距球心为心的连线上，距球心为d。则有则有如图所示，点电荷如图所示，点电荷q 位于半径位于半径为为a 的接地导体球外，距球心为的接地导体球外，距球心为d。方法：利用导体球面上电位为零确定方法：利用导体球面上电位为零确定d 和和q。问题：问题：PqarR
18、dOqPaqrRRddO本讲稿第十八页，共四十一页令令ra，由球面上电位为零，由球面上电位为零，即即 0，得，得此式应在整个球面上都成立。此式应在整个球面上都成立。条件：若条件：若像电荷的位置像电荷的位置像电荷的电量像电荷的电量qPaqaRRddO本讲稿第十九页，共四十一页可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。球外的电位函数为球外的电位函数为导体球面上的总感应电荷为导体球面上的总感应电荷为球面上的感应电荷面密度为球面上的感应电荷面密度为本讲稿第二十页，共四十一页点电荷对接地空心导体球壳的镜像点电荷对接地空心导体球壳的镜像如图
19、所示接地空心导体球壳的内半径为如图所示接地空心导体球壳的内半径为a、外半径为、外半径为b，点电荷，点电荷q 位于位于球壳内，与球心相距为球壳内，与球心相距为d(d|q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量像电荷的位置和电量与外半径像电荷的位置和电量与外半径b 无关（为什么？）无关（为什么？）aqdobqrRRaqdod本讲稿第二十一页，共四十一页球壳内的电位球壳内的电位感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为导体球面的内表面上上的总感应电荷为导体球面的内表面上上的总感应电荷为可见，在这种情况下，镜像
20、电荷与感应电荷的电荷量不相等。可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。本讲稿第二十二页，共四十一页（5）点电荷对不接地导体球的镜像）点电荷对不接地导体球的镜像先先设设想想导导体体球球是是接接地地的的，则则球球面面上上只只有有总总电电荷荷量量为为q的的感感应应电电荷荷分分布布，则则 导体球不接地时的特点：导体球不接地时的特点：导体球面是电位不为零的等位面导体球面是电位不为零的等位面 球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应 电荷为零电荷为零采用叠加原理来确定镜像电荷采用叠加原理来确定镜像电荷点电荷点电荷q 位于一个
21、半径为位于一个半径为a 的不接地的不接地导体球外，距球心为导体球外，距球心为d。PqarRd本讲稿第二十三页，共四十一页然后断开接地线，并将电荷然后断开接地线，并将电荷q加于导体球上，从而使总电荷为零。加于导体球上，从而使总电荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷为保持导体球面为等位面，所加的电荷q 可用一个位于球心的镜像电荷可用一个位于球心的镜像电荷q来替代，即来替代，即球外任意点的电位为球外任意点的电位为qPaqrRRddq本讲稿第二十四页，共四十一页问题问题：如图如图1所示，一根电荷线密度所示，一根电荷线密度为为的无限长线电荷位于半径为的无限长线电荷位于半径为a 的的无限长接地导体圆
22、柱面外，与圆柱的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为轴线平行且到轴线的距离为d。图图1线电荷与导体圆柱线电荷与导体圆柱图图2线电荷与导体圆柱线电荷与导体圆柱的镜像的镜像特点特点：在导体圆柱面上有感应电荷，：在导体圆柱面上有感应电荷，圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。同产生。分析方法分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与：镜像电荷是圆柱面内部与轴线平行的无限长线电荷，如图轴线平行的无限长线电荷，如图2所示。所示。(6)线电荷对接地导体圆柱面的镜像线电荷对接地导体圆柱面的镜像本讲稿第二十五页，共四十一页由于上式对任意的由于上式对任意的都成立，因此
23、，将上式对求导，可以得到都成立，因此，将上式对求导，可以得到由于导体圆柱接地，所以当由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即时，电位应为零，即 所以有所以有 设镜像电荷的线密度为设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱的轴线为且距圆柱的轴线为 ，则由，则由 和和 共同产生的电位函数共同产生的电位函数本讲稿第二十六页，共四十一页导体圆柱面外的电位函数：导体圆柱面外的电位函数：由由 时，时，故故导体圆柱面上的感应电荷面密度为导体圆柱面上的感应电荷面密度为导体圆柱面上单位长度的感应电荷为导体圆柱面上单位长度的感应电荷为导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。导体圆柱面上单位长度的感应电荷与
24、所设置的镜像电荷相等。本讲稿第二十七页，共四十一页(7)两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴图图1 1 两平行圆柱导体两平行圆柱导体图图2 2 两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴特点：特点：由于两圆柱带电导体的电场互相影由于两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷密的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷密度较小。度较小。分析方法：分析方法：将导体表面上的电荷用线将导体表面上的电荷用线密度分别为密度分别为、且相距为、且相距为2b 的两根的两根无限长带电细线来等效替代，如图无限长带电细线来等效替代，如
25、图2所示。所示。问题：问题：如图如图1所示，两平行导体圆柱的所示，两平行导体圆柱的半径均为半径均为a，两导体轴线间距为，两导体轴线间距为2h，单，单位长度分别带电荷位长度分别带电荷和和。本讲稿第二十八页，共四十一页图图2 2 两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴通常将通常将带电细线带电细线的所在的位置称为圆柱导体的的所在的位置称为圆柱导体的电轴电轴，因而这种，因而这种方法又称为方法又称为电轴法电轴法。由由 利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定确定b。思考思考：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？本讲稿
26、第二十九页，共四十一页(8)点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像图图1 1 点电荷与电介质点电荷与电介质分界平面分界平面特点：特点：在点电荷的电场作用下，电介质产生在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。电荷共同产生。图图2 2 介质介质1 1的镜像电荷的镜像电荷问题：问题：如图如图1所示，介电常数分别为所示，介电常数分别为和和的两种不同电介质的分界面是无限大的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质平面，在电
27、介质1中有一个点电荷中有一个点电荷q，距，距分界平面为分界平面为h。分析方法：分析方法：计算电介质计算电介质1中的电位时，用位中的电位时，用位于介质于介质2中的镜像电荷来代替分界面上的极中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为的均匀介质，如图的均匀介质，如图2所示。所示。本讲稿第三十页，共四十一页介质介质1中的电位为中的电位为计算电介质计算电介质2中的电位时，用位中的电位时，用位于介质于介质1中的镜像电荷来代替分界面中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为满介电常数为的
28、均匀介质，如图的均匀介质，如图3所示。介质所示。介质2中的电位为中的电位为图图3 3 介质介质2 2的镜像电荷的镜像电荷本讲稿第三十一页，共四十一页可得到可得到说明：说明：对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无限长线对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无限长线电荷（单位长度带电荷（单位长度带），其镜像电荷为），其镜像电荷为利用电位满足的边界条件利用电位满足的边界条件本讲稿第三十二页，共四十一页3-2直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为 令令代入上
29、式，两边再除以代入上式，两边再除以X(x)Y(y)Z(z)，得，得 显显然然，式式中中各各项项仅仅与与一一个个变变量量有有关关。因因此此，将将上上式式对对变变量量 x 求求导导，第第二二项项及及第第三三项项均均为为零零，求求得得第第一一项项对对 x 的的导导数数为为零零，说说明明了了第第一一项项等等于于常常数数。同同理理，再再分分别别对对变变量量 y 及及 z 求求导导，得得知知第第二二项项及及第第三三项项也也分分别等于常数。令各项的常数分别为别等于常数。令各项的常数分别为，分别求得，分别求得本讲稿第三十三页，共四十一页式中式中kx，ky，kz 称为分离常数，它们可以是实数或虚数。称为分离常数
30、，它们可以是实数或虚数。显然，三个分离常显然，三个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程数并不是独立的，它们必须满足下列方程由由上上可可见见，经经过过变变量量分分离离后后，三三维维偏偏微微分分方方程程式式被被简简化化为为三三个个一一维维常常微微分分方方程程。常常微微分分方方程程的的求求解解较较为为简简便便，而而且且三三个个常常微微分分方方程程又又具具有有同同一一结结构构，因因此它们解的形式也一定相同。例如，含变量此它们解的形式也一定相同。例如，含变量 x 的常微分方程的通解为的常微分方程的通解为或者或者式中式中A,B,C,D为待定常数。为待定常数。本讲稿第三十四页，共四十一页 分离常数也可
31、为虚数。当分离常数也可为虚数。当 k kx x 为虚数时，令为虚数时，令 ，则上，则上述通解变为述通解变为 或者或者含变量含变量 x 或或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的线线性组合性组合仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的的边界条件边界条件。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。本讲稿第三十五页，共四十一页例例 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为d，其有限端
32、被电位为，其有限端被电位为 0 0的导的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平电平面封闭，且与无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。面形成的槽中电位分布。Odxy=0=0=0解解选取直角坐标系。由于导电平面沿选取直角坐标系。由于导电平面沿 z 轴无限延伸，槽中电位分布函数一定与轴无限延伸，槽中电位分布函数一定与 z 无关，无关，因此，这是一个因此，这是一个二维场二维场的问题。电位所满足的拉普拉斯方程变为的问题。电位所满足的拉普拉斯方程变为本讲稿第三十六页，共四十一页应用分离变量法，令应用分离变量法，令根据题意，槽中电位应满足的边界条件
33、为根据题意，槽中电位应满足的边界条件为为了满足为了满足 及及 边界条件，应选边界条件，应选 Y(y)的解为的解为 因为因为 y=0 时，电位时，电位 =0，因此上式中常数，因此上式中常数B=0。为了满足边界。为了满足边界条件条件 ，分离常数，分离常数 ky 应为应为 本讲稿第三十七页，共四十一页求得求得已知已知 ，求得，求得可见，分离常数可见，分离常数 kx 为虚数，故为虚数，故X(x)的解应为的解应为因为因为x=0时，时，电位电位 ，因此，式中常数因此，式中常数C=0，即，即那么，那么，式中常数式中常数 C=AD。本讲稿第三十八页，共四十一页由边界条件获知，当由边界条件获知，当x=0时，电位
34、时，电位=0，代入上式，得，代入上式，得上上式式右右端端为为变变量量，但但左左端端为为常常量量，因因此此不不能能成成立立。这这就就表表明明此此式式不不能能满满足给定的边界条件。因此，必须取上式的和式作为电位方程的解，即足给定的边界条件。因此，必须取上式的和式作为电位方程的解，即为了满足为了满足 x=0，=0 边界条件，由上式得边界条件，由上式得 本讲稿第三十九页，共四十一页上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求出系数上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求出系数Cn为为最后求得槽中电位分布函数为最后求得槽中电位分布函数为 式中式中 。0dxy=0=0=0电场线等位面电场线及等位面分电场线及等位面分布如右图示：布如右图示：本讲稿第四十页，共四十一页作业：作业：3-43-4、3-193-19作业：作业：3-4、3-19本讲稿第四十一页，共四十一页