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1、第六单元第六单元 圆圆 第第 2626 课时课时 与圆有关的计算与圆有关的计算 基础达标训练基础达标训练 1. (2017 株洲株洲)下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 2. (2017 南宁南宁)如图，O 是ABC 的外接圆，BC2，BAC30 ，则劣弧BC的长等于( ) A. 23 B. 3 C. 2 33 D. 33 第 2 题图 第 3 题图 3. (2017 宁夏宁夏)圆锥的底面半径 r3，高 h4，则圆锥的侧面积是( ) A. 12 B. 15 C. 24 D. 30 4. (2017 麓山国际
2、实验学校一模麓山国际实验学校一模)如图，某数学兴趣小组将边长为 6 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形 DAB 的面积为( ) 第 4 题图 A. 12 B. 14 C. 16 D. 36 5. (2017 沈阳沈阳)正六边形 ABCDEF 内接于O，正六边形的周长是 12，则O 的半径是( ) A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 2 3 第 5 题图 第 6 题图 6. (2017 烟台烟台)如图， ABCD 中，B70 ，BC6，以 AD 为直径的O 交 CD于点 E，则DE的长为( ) A. 13 B. 23 C. 76
3、D. 43 7. (2017 宁波宁波)如图，在 RtABC 中，A90 ，BC2 2，以 BC 的中点 O 为圆心的圆分别与 AB，AC 相切于 D，E 两点，则DE的长为( ) A. 4 B. 2 C. D. 2 第 7 题图 第 8 题图 8. (2017 淄博淄博)如图，半圆的直径 BC 恰与等腰直角三角形 ABC 的一条直角边完全重合，若 BC4，则图中阴影部分的面积是( ) A. 2 B. 22 C. 4 D. 24 9. (2017 兰州兰州)如图，正方形 ABCD 内接于半径为 2 的O，则图中阴影部分的面积为( ) A. 1 B. 2 C. 1 D. 2 第 9 题图 第 1
4、1 题图 10. (2017 哈尔滨哈尔滨)已知扇形的弧长为 4，半径为 8，则此扇形的圆心角为_度 11. (2017 台州台州)如图， 扇形纸扇完全打开后， 外侧两竹条 AB，AC 的夹角为 120 ，AB 长为 30 厘米，则BC的长为_厘米(结果保留 ) 12. 关注传统文化关注传统文化(2017 长沙中考模拟卷二长沙中考模拟卷二)打陀螺是一项古老的中国民间娱乐活动，在云南的少数民族地区开展广泛，特别是在思茅地区有着悠久的历史传统，在思茅地区又以景谷县陀螺运动开展得最好，有着“陀螺之乡”的称号已知木质陀螺的外观为圆锥形，测得该圆锥的母线长为 6 cm，底面圆的半径为 3 cm，则该圆锥
5、的全面积为_cm2. 13. (2017 安徽安徽)如图， 已知等边ABC 的边长为 6， 以 AB 为直径的O 与边 AC，BC 分别交于 D，E 两点，则劣弧DE的长为_ 第 13 题图 第 14 题图 14. (2017 湖南师湖南师大附中第一次联考大附中第一次联考)如图，ABC 是O 的内接正三角形，O的半径为 3，则图中阴影部分的面积是_ 15. 关注数学文化关注数学文化(2017 岳阳岳阳)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”， 认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率 的近似值 设半径为 r 的圆内接正 n 边形的周长为 L， 圆的直径为 d，
6、如图所示，当 n6 时， Ld6r2r3， 那么当 n12 时， Ld_ (结果精确到 0.01，参考数据：sin15 cos750.259) 第 15 题图 能力提升训练能力提升训练 1. 如图，半径为 1 cm 的O 中，AB 为O 内接正九边形的一边，点 C、D 分别在优弧与劣弧上则下列结论：S扇形AOB19cm2；lAB29cm；ACB20 ；ADB140 .其中错误的有( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 第 1 题图 第 2 题图 2. (2017 重庆重庆 A 卷卷)如图，矩形 ABCD 的边 AB1，BE 平分ABC，交 AD 于点E.若点 E 是 A
7、D 的中点，以点 B 为圆心，BE 长为半径画弧，交BC 于点 F，则图中阴影部分的面积是( ) A. 24 B. 324 C. 28 D. 328 3. (2017 十堰十堰)如图，已知圆柱的底面直径 BC6 cm，高 AB3 cm，小虫在圆柱表面爬行，从点 C 爬到点 A，然后再沿另一面爬回到点 C，则小虫爬行的最短路程为( ) A. 3 2 cm B. 3 5 cm C. 6 5 cm D. 6 2 cm 第 3 题图 第 4 题图 4. (2017 山西山西)如图是某商品的标志图案AC 与 BD 是O 的两条直径，首尾顺次连接点 A，B，C，D，得到四边形 ABCD. 若 AC10 c
8、m，BAC36 ，则图中阴影部分的面积为( ) A. 5 cm2 B. 10 cm2 C. 15 cm2 D. 20 cm2 5. (2017 上海上海)我们规定：一个正 n 边形(n 为整数，n4)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正 n 边形的“特征值”，记为 n，那么 6_ 6. (2017 云南云南)如图，边长为 4 的正方形 ABCD 外切于O，切点分别为 E、F、G、H，则图中阴影部分的面积为_ 第 6 题图 7. (9 分)(2017 河北河北)如图， AB16， O 为 AB 中点， 点 C 在线段 OB 上(不与点 O，B 重合)，将 OC 绕点 O 逆时针旋转 27
9、0 后得到扇形 COD，AP，BQ 分别切优弧CD于点 P，Q，且点 P，Q 在 AB 异侧，连接 OP. (1)求证：APBQ； (2)当 BQ4 3时，求QD的长(结果保留 )； (3)若APO 的外心在扇形 COD 的内部，求 OC 的取值范围 第 7 题图 圆的相关证明与计算巩固集训圆的相关证明与计算巩固集训 类型一类型一 圆的基本性质圆的基本性质 1. (8 分)(2017 南雅中学一模南雅中学一模)如图，已知四边形 ABCD 内接于O，连接 BD，BAD105 ，DBC75 . (1)求证：BDCD； (2)若O 的半径为 6，求BC的长 第 1 题图 2. (9 分)(2017
10、苏州苏州)如图，已知ABC 内接于O，AB 是直径，点 D 在O 上，ODBC，过点 D 作 DEAB，垂足为 E，连接 CD 交 OE 边于点 F. (1)求证：DOEABC； (2)求证：ODFBDE； (3)连接 OC，设DOE 的面积为 S1，四边形 BCOD 的面积为 S2，若S1S227，求sinA 的值 第第 2 题图题图 类型二类型二 切线的相关证明与计算切线的相关证明与计算 3. (8 分)(2017 陕西)如图，已知O 的半径为 5，PA 是O 的一条切线，切点为A，连接 PO 并延长，交O 于点 B，过点 A 作 ACPB 交O 于点 C、交 PB于点 D，连接 BC.当
11、P30 时， (1)求弦 AC 的长； (2)求证：BCPA. 第 3 题图 4. (8 分)(2017 山西山西)如图，ABC 内接于O，且 AB 为O 的直径，ODAB，与 AC 交于点 E，与过点 C 的O 的切线交于点 D. (1)若 AC4，BC2，求 OE 的长； (2)试判断A 与CDE 的数量关系，并说明理由 第 4 题图 5. (8 分)(2017 湖南师大附中三模湖南师大附中三模)如图，O 为ABD 的外接圆，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线 (1)求证：BADDBC； (2)若O 的半径为 3，BDOC，交 OC 于点 E，且 BDBC，求 AD 的长 第 5 题图
12、 6. (8 分)(2017 枣庄枣庄)如图，在ABC 中，C90 ，BAC 的平分线交 BC 于点D，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点 D，分别交 AC，AB 于点 E，F. (1)试判断直线 BC 与O 的位置关系，并说明理由； (2)若 BD2 3，BF2，求阴影部分的面积(结果保留 ) 第 6 题图 7. (9 分)(2017 达州达州)如图，ABC 内接于O，CD 平分ACB 交O 于 D，过点 D 作 PQAB 分别交 CA、CB 延长线于 P、Q，连接 BD. (1)求证：PQ 是O 的切线； (2)求证：BD2AC BQ； (3)若 AC、 B
13、Q 的长是关于 x 的方程 x4xm 的两实根， 且 tanPCD13， 求O的半径 第 7 题图 8. (9 分)(2017 雅礼实验中学期中考试雅礼实验中学期中考试)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(8，0)，点 B(0，8)，动点 C 在以半径为 4 的O 上，连接 OC，过 O 点作 ODOC，OD 与O 相交于点 D(其中点 C、O、D 按逆时针方向排列)，连接 AB. (1)当 OCAB 时，求BOC 的度数； (2)连接 AD，当 OCAD 时，求出点 C 的坐标； (3)在(2)的条件下，连接 BC，直线 BC 是否为O 的切线？请作出判断，并说明理由 第 8 题图 答
14、案答案 1. A 【解析】内接正多边形的边数越少【解析】内接正多边形的边数越少，则边就越长则边就越长，所对的圆心角就越大所对的圆心角就越大 2. A 【解析】如解图【解析】如解图，连接连接 OB，OC，BAC30 ，BOC2BAC60 ，BOC 为等边三角形为等边三角形，又又BC2，OBOCBC2，lBC60218023. 3. B 【解析】由勾股定理得圆锥的母线长为【解析】由勾股定理得圆锥的母线长为32425，圆锥底面圆的周长圆锥底面圆的周长为为 2r6，由圆锥侧面积公式由圆锥侧面积公式12rl125615. 4. D 【解析】由扇形面积计算公式【解析】由扇形面积计算公式12rl126(66
15、)36. 5. B 【解析】如解图【解析】如解图，连接连接 OA，OB，AOB360660 ，OAOB，AOB 是等边三角形是等边三角形，OAAB1262. 6. B 【解析】【解析】 如解图， 连接如解图， 连接 OE， ， OEDODEB 70 DOE40 ，又已知圆的半径又已知圆的半径 AODO12AD12BC3，lDE40180323. 7. B 【解析】如解图【解析】如解图，连接连接 OE，OD，OA，AB，AC 为圆的切线为圆的切线，OEOD，OEAC，ODAB，OEAODA90 ，A90 ，DOE90 ，四边形四边形 ADOE 为正方形为正方形，三角形三角形 ABC 为等腰直角三
16、角形为等腰直角三角形，半径半径 r1，由弧长公式由弧长公式 lnr180可得可得 lDE9018012. 8. A 【解析】 如解图【解析】 如解图， 连接连接 OD， 把阴影部分的面积转化为把阴影部分的面积转化为BOD 和扇形和扇形 COD的面积的和的面积的和，BC4，OBODOC2，RtABC 中中，ACCB，ABC45 ，又又BDOOBD45 ，DOB90 ，DOC90 ，S阴阴影影122290223602. 9. D 【解析】如解图【解析】如解图，连接连接 OA 和和 OD，四边形四边形 ABCD 是正方形是正方形，AOD90 ，S阴影阴影S扇形扇形OADSAOD142212222.
17、10. 90 【解析】设扇形【解析】设扇形的的圆心角为圆心角为 n ，则则n81804，解得解得 n90. 11. 20 【解析】由弧长公式得【解析】由弧长公式得，lBC1203018020. 12. 27 【解析】圆锥全面积【解析】圆锥全面积321223627(cm2) 13. 【解析】在等边【解析】在等边ABC 中中，AB60，如解图如解图，连接连接 OE、OD，OBOEODOA12AB1263，BOEAOD60 ，DOE60 ，lDE603180. 14. 3 【解析】【解析】ABC 为正三角形为正三角形，ACB60 ，AOB2ACB120 ，O 的半径为的半径为 3，S阴影阴影1203
18、23603. 15. 3.11 【解析】如解图【解析】如解图，取取BC的中点的中点 A，连接连接 AB，则则 AB 为圆内接正十二为圆内接正十二边形的边长边形的边长， 过过 O 作作 ODAB 于点于点 D.AB2BD， ， 在在 RtBOD 中中， ， BOD3602415 ，sin15BDr0.259，BD0.259r，L0.259r246.216r，Ld6.216r2r3.11. 能力提升训练能力提升训练 1. B 【解析】【解析】AB 为为O 内接正九边形的一边内接正九边形的一边，AOB360940 ， S扇形扇形AOB401236019(cm2)，lAB40118029(cm)；AC
19、B12AOB20 ，正确；，正确；ADB180 20 160 ，错误错误，故选故选 B. 2. B 【解析】【解析】BE 是是ABC 的平分线的平分线，ABEEBF45 ，四边形四边形ABCD 为矩形为矩形，AEBF，AABC90 ，AEBEBF45 ，AEBABE，AEAB1，点点 E 是是 AD 的中点的中点，AD2AE2，在在RtABE 中中，BE 2，S阴影阴影1 21245 2360324. 3. D 【解析】如解图【解析】如解图，将圆柱体的侧面展开并连接将圆柱体的侧面展开并连接 AC，圆柱的底面直径为圆柱的底面直径为6，展开图中的展开图中的 BC1263，高高 AB3，在在 RtA
20、BC 中中，AC BC2AB232323 2， ， 两点之间线段最短两点之间线段最短， ， 小虫从点小虫从点 C 爬到点爬到点 A的最短距离为的最短距离为 3 2 cm，同理可得小虫再从点同理可得小虫再从点 A 沿另一面爬回点沿另一面爬回点 C 的最短距离的最短距离也是也是 3 2 cm，小虫爬行的最短距离为小虫爬行的最短距离为 6 2 cm. 4. B 【解析】【解析】AC 和和 BD 是是O 的直径的直径， ABCBCDCDADAB90 ，四边形四边形 ABCD 是矩形是矩形，OAOB，BACDBA36 ，根据三角形的外角和定理得根据三角形的外角和定理得AODBOCOABOBA72 ，矩形
21、矩形ABCD 中中 AC 和和 BD 互相平分互相平分，OA12AC5，S扇形扇形AOD72523605，SAOBSBOCSCODSAOD ， 又又S阴影阴影S弓形弓形ADSAOBS弓形弓形BC SCOD S弓形弓形ADSAODS弓形弓形BC SBOCS扇形扇形AODS扇形扇形BOC5510 cm2. 5. 32 【解析】如解图【解析】如解图，正六边形正六边形 ABCDEF 中中，对角线对角线 BE、CF 交于点交于点 O，连接连接 EC.易知易知 BE 是正六边形最长的对角线是正六边形最长的对角线，EC 是正六边形最短的对角线，是正六边形最短的对角线，正六边形正六边形 ABCDEF 中中BO
22、C60 ，OBOCOEOF，OBC 是等边三是等边三角形角形， ， OBCOCBBOC60 ， ， OECOCE， ， BOCOECOCE， ， OECOCE30 ， ， BCE90 ， ， BEC 是直角三角形是直角三角形，ECBEcos3032，632. 6. 24 【解析】如解图【解析】如解图，连接连接 HF，正方形正方形 ABCD 外切于外切于O，切点分切点分别为别为 E，F，G，H，F，O，H 三点共线三点共线，根据题意得根据题意得 FHAB4，S阴影阴影S半圆半圆SFHG1222124224. 7. (1)证明：如解图证明：如解图，连接连接 OQ， AP，BQ 分别与分别与CD相切
23、于相切于 P、Q， OPAP, OQBQ，即即APOQ90 ， 又又OAOB，OPOQ， RtAPORtBQO， APBQ； (2)解：解：BQ4 3，OB12AB8，Q90 ， RtBOQ 中中，sinBOQBQOB32， BOQ60 ， OQOB cosBOQ8 cos604， 又又COD270 ，QODCODCOQ， QD的长为的长为（27060）4180143； (3)解：解：设点设点 M 为为 RtAPO 的外心的外心，则则 M 为为 OA 的中点的中点， OM4， 点点 M 在扇形内部在扇形内部，点点 C 在在 OB 上上， OCOM，OCOB， 4OC8. 圆的相关证明与计算巩固
24、集训圆的相关证明与计算巩固集训 1. (1)证明：证明：四边形四边形 ABCD 内接于内接于O， 弦弦 BD 所对的圆周角满足所对的圆周角满足DCBBAD180 ， BAD105 ， DCB180 BAD180 105 75 ， 又又DBC75 ， DCBDBC， BDCD； (2)解：由解：由(1)知知DCBDBC75 ， BDC180 DCBDBC30 ， BC所对的圆心角度数为所对的圆心角度数为 60 ， lBCnr1806061802， 故故BC的长为的长为 2. 2. (1)证明：证明：AB 是是O 的直径的直径， ACB90 ， DEAB， DEO90 ， DEOACB， ODBC
25、， DOEABC， DOEABC； (2)证明：由证明：由(1)知知DOEABC， ODEA， A 和和BDC 是是BC所对的圆周角所对的圆周角， ABDC， ODEBDC， ODFBDE； (3)解：由解：由(1)知知DOEABC， SDOESABC(ODAB)214， 即即 SABC4SDOE4S1， OAOB， SBOC12SABC， 即即 SBOC2S1， S1S227，S2SBOCSDOESDBE2S1S1SDBE， SDBE12S1 ， 又又SDBE12DEEB， S112DEOE， BE12OE， 即即 OE23OB23OD， 又又AODE， 在在 RtODE 中中，sinODE
26、OEOD， sinAsinODEOEOD23. 3. (1)解：如解图解：如解图，连接连接 OA， PA 是是O 的切线的切线，切点为切点为 A， PAO90 ， P30 ， AOD60 ， ACPB，PB 经过圆心经过圆心， ADDC12AC， 在在 RtODA 中中， ADOA sin605 32， AC2AD5 3； (2)证明：证明：ACPB，P30 ， PAC60 ， AOP60 ， BOA120 ， BCA60 ， PACBCA， BCPA. 4. 解：解：(1)AB 是是O 的直径的直径， ACB90 ， 在在 RtABC 中中，由勾股定理得：由勾股定理得： AB AC2BC2
27、42222 5， AO12AB122 5 5， ODAB， AOEACB90 ， 又又AA， AOEACB， OEBCAOAC， OEBCAOAC2 5452； (2)CDE2A.理由如下：理由如下： 如解图如解图，连接连接 OC， OAOC， 1A， CD 是是O 的切线的切线， OCCD， OCD90 ， 2CDE90 ， ODAB， 2390 ， 3CDE， 3A12A， CDE2A. 5. (1)证明：证明：AB 为为O 的直径的直径， D90 ， ABDBAD90 ， BC 为为O 的切线的切线， ABC90 ， ABDDBC90 ， BADDBC； (2)解：解：BDOC， BED
28、E12BD， BDBC， BE12BC， 在在 RtBEC 中中，sinCBEBC12， C30 ， DBC60 ， ABDABCDBC30 ， OB3， AB6， 在在 RtADB 中中， sinABDADAB12， AD12AB3. 6. 解：解：(1)BC 与与O 相切相切 理由如下：如解图理由如下：如解图，连接连接 OD， AD 平分平分BAC， CADOAD， 又又OADODA， CADODA， ODAC， BDOC90 ， 又又OD 为为O 半径半径， BC 与与O 相切；相切； (2)设设O 的半径为的半径为 r， 则则 ODr，OBr2， 由由(1)知知BDO90 ， OD2B
29、D2OB2， 即即 r2(2 3)2(r2)2， 解得解得 r2， tanBODBDOD2 32 3， BOD60 ， S阴影阴影SOBDS扇形扇形FOD12ODBD60360r22 323. 7. (1)证明：如解图证明：如解图，连接连接 OA、OB、AD、OD，且且 OD 交交 AB 于点于点 E， CD 平分平分ACB， ACDBCD， ADBD， OAOB， OD 是是 AB 的垂直平分线的垂直平分线， ODAB，AEBE， ABPQ， ODPQ， OD 为为O 的半径的半径， PQ 为为O 的切线；的切线； (2)证明：由证明：由(1)知知，PQ 为为O 的切线的切线， BDQBCD
30、， 又又BCDACD， BDQACD， ABPQ， QCBA， 又又CDACBA， QCDA， QBDDAC， ACBDADBQ， ADBDAC BQ， 又又ADBD， BD2 AC BQ； (3)解：由解：由 x4xm 得得 x2mx40， AC、BQ 为方程为方程 x2mx40 的两实数根的两实数根， ACBQ4， 由由(2)知知，BD2AC BQ， BD2， tanPCD13，PCDEBD， tanEBD13， 在在 RtDEB 中中，设设 DEx，则则 BE3x，x2(3x)24， 解得解得 x1105，x2 105(舍舍)， ED105，EB10533 105， 设设O 的半径为的半
31、径为 r，则则 OEr105， 在在 RtOEB 中中，依据勾股定理可知：依据勾股定理可知： r2(r105)2(3 105)2， 解得解得 r 10， O 的半径为的半径为 10. 8. 解：解：(1)点点 A(8，0)，点点 B(0，8)， OAOB8， OAB 为等腰直角三角形为等腰直角三角形， OBA45 ， OCAB， 当当 C 点在点在 y 轴左侧时轴左侧时， ， BOCOBA45 ； 当； 当 C 点在点在 y 轴右侧时轴右侧时， ， BOC180 OBA135 ， BOC 的度数为的度数为 45 或或 135 ； (2)分两种情况讨论：分两种情况讨论： (i)当点当点 D 位于
32、第一象限时位于第一象限时，点点 C 位于第二象限位于第二象限， 如解图如解图，过过 C 点作点作 CFx 轴于点轴于点 F， OCAD， ADOCOD90 ， DOADAO90 ， DOACOF90 ， COFDAO， RtOCFRtAOD， CFODOCOA，即即CF448，解得解得 CF2， 在在 RtOCF 中中，OF OC2CF22 3， C 点坐标为点坐标为(2 3，2)； (ii)当点当点 D 位于第四象限时位于第四象限时，点点 C 位于第一象限位于第一象限，如解图如解图， 过点过点 C 作作 CFx 轴于点轴于点 F， OCAD， ADO180 COD90 ，COFDAO， 又又
33、在在 RtADO 中中，OA8，OD4，sinOADODOA12， OAD30 ，COF30 ， 又又RtCOF 中中，OC4， OF2 3，CF2， 即即 C 坐标为坐标为(2 3，2)； C 点坐标为点坐标为(2 3，2)或或(2 3，2)； (3)直线直线 BC 是是O 的切线分两种情况的切线分两种情况，理由如下：理由如下： (i)如解图，连接如解图，连接 BC，在在 RtOCF 中中，OC4，OF2 3， COF30 ， OAD30 ， BOC60 ，AOD60 ， 在在BOC 和和AOD 中中， OCODBOCAODBOAO， BOCAOD(SAS)， BCOADO90 ， OCBC， OC 是是O 的半径的半径， 直线直线 BC 是是O 的切线；的切线； (ii)如解图如解图，连接连接 BC， 由由(2)(ii)知知COF30 ， BOC60 ，cosBOC12， 又又OB8，OC4， cosBOCOCOB， BOC 为直角三角形为直角三角形，即即BCO90 ， 又又OC 为为O 半径半径， 直线直线 BC 是是O 的切线的切线