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1、第四单元 三角形第十八课时 等腰三角形与直角三角形基础达标训练1. 若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为()A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或172. (2017滨州)如图，在ABC中，ABAC，D为BC上一点，且DADC，BDBA，则B的大小为()A. 40° B. 36° C. 30° D. 25° 第2题图 第3题图3. (2017荆州)如图，在ABC中，ABAC，A30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则CBD的度数为()A. 30° B. 45° C. 50° D. 75&
2、#176;4. 如图，等边OAB的边长为2，则点B的坐标为()A. (1，1) B. (，1) C. (，) D. (1，) 第4题图 第5题图5. 如图，在ABC中，ABAC，A36°，BD、CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有()A. 8个 B. 7个 C. 6个 D. 5个6. (2017大连)如图，在ABC中，ACB90°，CDAB，垂足为D，点E是AB的中点，CDDEa，则AB的长为()A. 2a B. 2a C. 3a D. a 第6题图 第7题图7. 如图，在ABC中，D是BC上一点，ABAD，E、F分别是AC、BD的中点，EF2，则AC的长是()A. 3
3、B. 4 C. 5 D. 6 第8题图8. (2017滨州)如图，在ABC中，ACBC，ABC30°，点D是CB延长线上的一点，且BDBA，则tanDAC的值为()A. 2 B. 2 C. 3 D. 39. (2017荆州)九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，来折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为()A. x26(10x)2 B. x262(10x)2C. x26(10x)2 D. x262(10x)210. (2
4、017丽水)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是_11. (2017淮安)如图，在RtABC中，ACB90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点，若AB8，则EF_ 第11题图 第12题图12. (2017益阳)如图，在ABC中，ABAC，BAC36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BEa，AEb，则用含a、b的代数式表示ABC的周长为_13. (2017绥化)在等腰ABC中，ADBC交直线BC于点D，若ADBC，则ABC的顶角的度数为_14. (2017淄博)在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DEAB，D
5、FAC，垂足分别为E，F，则DEDF_15. 在ABC中，BC2，AB2，ACb，且关于x的方程x24xb0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为_16. (2017常德)如图，已知RtABE中，A90°，B60°，BE10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得CDE30°，则CD长度的取值范围是_ 第16题图 第17题图 17. 如图，在等腰RtABC中，ABC90°，ABCB2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且EDF90°，若ED的长为m，则BEF的周长是_(用含m的代数式表示)18. (6分)(
6、2017北京)如图，在ABC中，ABAC，A36°，BD平分ABC交AC于点D.求证：ADBC. 第18题图19. (8分)在ABC中，AB15，BC14，AC13，求ABC的面积某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程第19题图能力提升训练1. (2017海南)已知ABC的三边长分别为4、4、6，在ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可能()条A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第2题图2. (2017台州)如图，已知等腰三角形ABC，ABAC. 若以点B为圆心，BC长为半径画弧
7、，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是()A. AEEC B. AEBEC. EBCBAC D. EBCABE3. 如图，ABC是等边三角形，BD平分ABC，点E在BC的延长线上，且CE1，E30°，则BC_ 第3题图 第4题图4. (2017杭州)如图，在RtABC中，BAC90°，AB15，AC20，点D在边AC上，AD5，DEBC于点E，连接AE，则ABE的面积等于_5. 若点P是ABC内一点，且它到三角形三个顶点的距离之和最小，则P点叫ABC的费马点(Fermat point)已经证明：在三个内角均小于120°的ABC中，当APBAPCBPC120
8、76;时，P就是ABC的费马点若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PDPEPF_拓展培优训练1. (2017杭州)如图，在ABC中，ABAC，BC12，E为AC边的中点， 第1题图线段BE的垂直平分线交边BC于点D. 设BDx，tanACBy，则()A. xy23B. 2xy29C. 3xy215D. 4xy2212. 已知等腰三角形顶角为36°，则底与腰的比值等于_答案1. C【解析】当3为底边时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其他两边为3和7，3367，不能构成三角形，故舍去，该等腰三角形的周长为17.2. B【解析】设Cx，ADD
9、C，DACCx，ADB2x，ABBD，BADADB2x，B180°4x，BAAC，BC，180°4xx，解得x36°，BC36°.3. B【解析】A30°，ABAC，ABCACB75°，又l为AB的垂直平分线，DBDA，DBAA30°，CBDCBADBA75°30°45°. 第4题解图4. D【解析】如解图，过点B作BCAO于点C，AOB是等边三角形，OCAO1，在RtBOC中，BC，B点的坐标为(1，)5. A【解析】ABAC，A36°，ABCACB(180°A)72
10、76;，BD，CE是角平分线，ABDDBCABC36°，ACEECB36°，AABDACE，DBCECB，BDC180°ACBDBC180°72°36°72°，同理BEC72°，BDCACB，BECEBC，EOB180°BECEBD180°72°36°72°，同理DOC72°，BEOBOE，CDOCOD，即等腰三角形有OBC，ADB，AEC，BEC，BDC，ABC，EBO，DCO，共8个6. B【解析】在RtCDE中，CDDEa，DEa，点E为RtACB斜
11、边AB的中点，CEAEBEAB，AB2CE2a. 第7题解图7. B【解析】如解图，连接AF，ABAD，F是BD的中点，AFBD，在RtACF中，AFC90°，E是AC的中点，EF2，AC2EF4.8. A【解析】设ACx，ACBC，ABC30°，AB2x，BCx，ABBD，BD2x，CDBCBD(2)x，tanDAC，tanDAC2. 第9题解图9. D【解析】如解图，在直角三角形ABC中，利用勾股定理，列方程为x262(10x)2.10. 100°【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为100°，则这个内角为顶角，此时两底角均为40&
12、#176;，即该三角形顶角的度数是100°.11. 2【解析】在RtABC中，ACB90°，点D是AB的中点，CDAB4，点E是AC的中点，点F是AD的中点，EF是ADC的中位线，EFCD2.12. 2a3b【解析】在ABC中，ABAC，BAC36°，ABCACB72°，DE垂直平分AC，CEAE，ECAA36°，BECAECA72°，BECB，CEBCb，ABC的周长为ABACBC2ABBC2(ab)b2a3b.13. 30°，90°或150°【解析】如解图， 第13题解图解图中ABC是等腰直角三角形，
13、顶角是90°，解图中ACBC，在直角三角形ADC中，ADAC，ACD30°，ACB180°ACD150°，解图中，ACBC，在直角三角形ADC中，ADAC，ACD30°，综上所述，ABC顶角的度数分别是30°，90°或150°.14. 2【解析】假设点D与点B重合，可得DEDF为等边三角形AC边上的高，再由等边三角形的边长为4，根据勾股定理得AC边上的高为2.15. 2【解析】方程x24xb0有两个相等的实数根，164b0，解得b4，又BC2，AB2，ACb4，AB2BC2(2)22242AC2，B90°
14、，AC边上的中线长为2. 第16题解图16. 0<CD5【解析】如解图，取BE的中点F，连接AF，A90°，则AFEFBE5，EAFE30°，又CDE30°，CDEEAF，CDAF，当D与A重合时，CD取最大值为5；当D接近于E时，DE越小，CD越小，线段CD不能为0，0<CD5.17. 2m【解析】如解图，连接BD，CEBD，BDCD，CDFBDE，BEDCFD，BECF，DEDF，则BEBFEFBCEF2EF，在RtDEF中，DEDFm，EFm，则BEF的周长是2 m. 第17题解图18. 证明：ABAC，A36°，在ABC中，ABCC(
15、180°A)72°，又BD为ABC的平分线，ABDCBDABC36°A，ABD是以点D为顶点的等腰三角形，ADBD, CBD 36°，C72°，BDC 180°CBDC72°C，BCD是以点B为顶点的等腰三角形，BCBD，AD BC.19. 解：设BDx，则CD14x，根据勾股定理可得，AD2AB2BD2AC2CD2，即152x2132(14x)2，解得x9，AD2152x215292144，AD>0，AD12，SABC×BC×AD×14×1284.能力提升训练 1. B【解析】
16、符合条件的直线共有4条：(1)如解图，在边BC上截取CECA，BFBA，连接AE、AF，得到等腰三角形CEA，BAF；(2)如解图，分别作AB、AC的中垂线交BC于点M、N，连接AM，AN，得到等腰三角形MAB，NCA，综上所述，直线AE、AF、AM、AN均满足题意2. C【解析】由题图知，BCBE，BCEBEC，ABAC，BCACBA，BCEBECCBA，EBC180°BCEBEC，BAC180°BCACBA，EBCBAC.3. 2【解析】ABC是等边三角形，ABCACB60°，BABC，BD平分ABC，DBCE30°，BDAC，BDC90°
17、，BC2DC，ACBECDE，CDEE30°，CDCE1，BC2CD2. 第4题解图4. 78【解析】如解图，过A作AHBC，AB15，AC20，BAC90°，由勾股定理得，BC25，AD5，DC20515，DEBC，BAC90°，CDECBA，CE×2012，BEBCCE13.BC·AHAB·AC，AH12，SABE×12×1378. 第5题解图5. 1【解析】如解图，等腰RtDEF中，DEDF，过点D作DMEF于点M，过E、F分别作MEPMFP30°，从而可找到点P，则DMEMEF×21，在
18、RtPEM中，PMtan30°·EM，PE，DP1，PF，PDPEPF1.拓展培优训练1. B【解析】如解图，连接DE，过点A作AFBC，垂足为F，过E作EGBC，垂足为G，ABAC，AFBC，BC12，BFFC6，又E是AC的中点，EGBC，EGAF，CGFGCF3，在RtCEG中，tanC，EGCG×tanC3y，DGBFFGBD63x9x，HD是BE的垂直平分线，BDDEx，在RtEGD中，由勾股定理得，ED2DG2EG2，x2(9x)2(3y)2，化简整理得2xy29. 第1题解图2. 【解析】如解图，设等腰ABC底边为a，腰为b，作B的平分线交AC于D，则B(180°36°)72°，BCD、DAB均为等腰三角形，则BDADBCa，而CDba，由BCDABC，即，()2()10，解得或(舍去) 第2题解图