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1、专题四 抛物线上的线段长问题的转化与探究知识点：平面直角标中相应线段长的计算AM= , BM= ,AB= ,答案：y1-y2，x1-x2,(x1-x2)2+(y1-y2)2.典例类型一： 可转化为线段长类的面积型问题例1如图，抛物线yx2mx（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OAOB），与y轴交于点C，且满足x12+x22x1x213 （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点Q，使得SACQ2SAOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2m，x1x2（m+1），代入x12+x22x1x21
2、3，求出m12，m25根据OAOB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m2，即可确定抛物线的解析式；（2） 过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得SACQSACF由SACQ2SAOC，得出SACF2SAOC，那么AF2OA2，F（1，0）利用待定系数法求出直线AC的解析式为y3x3根据ACFQ，可设直线FQ的解析式为y3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组y=x2-2x-3，y=-3x+3求解即可得出点Q的坐标来源:学科网ZXXK类型二：平行于y轴的线段长的问题例2如图1，抛物线yx2（a
3、+1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，若AB4（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EFAC交抛物线于点F，过E作EGx轴交AC于点M，过F作FHx轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由【分析】（1）x2（a+1）x+a0，则AB（a1）216，即可求解；（2）设点E（m，m2+2m3），点F（3m，m2+4m），四边形EMNF的周长SME+
4、MN+EF+FN，即可求解；（3）分当点Q在第三象限、点Q在第四象限两种情况，分别求解即可变式训练1如图，二次函数ax2+bx3的图象与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点与y轴相交于点C（1）求这个二次函数的解析式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx轴于点H，与BC交于点AM，请问：当点P的坐标为多少时，线段PM的长最大？并求出这个最大值2.如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(4,0)，B(1,0)两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左
5、匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由3如图1，抛物线y=ax2+bx+2 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4矩形OADC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线EO 上方抛物线上的一个动点，作PHEO，垂足为H，求PH的最大值； （3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称
6、轴上，若四边形ACMN是平行四边形，求点M、N的坐标4已知抛物线yx2+bx与x轴交于点A，抛物线的对称轴经过点C（2，2），顶点为M（1）求b的值及直线AC的解析式；（2）P是抛物线在x轴上方的一个动点，过P的直线yx+m与直线AC交于点D，与直线MC交于点E，连接MD，MP当m为何值时，MPPD？DE+DP的最大值是多少（直接写出结果）：5如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过点A（1，0）和点B（3，0）（1）求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；（2）如图1，直线x=2与x轴交于点N，与直线AD交于点G，点P是直线x=2上的一动点，当点P到直线AD的距离等于点P
7、到x轴的距离时，求点P的坐标；（3）如图2，直线y=x+m经过点A，交y轴于点C，在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使得SCDA=2SACM？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由参考答案例1（1）抛物线yx2mx（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），x1+x2m，x1x2（m+1）x12+x22x1x213，（x1+x2）23x1x213m2+3（m+1）13，即m2+3m100解得m12，m25OAOB，抛物线的对称轴在y轴右侧m2抛物线的解析式为yx22x3；（2）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，则SACQSACFSACQ2SAOC
8、，SACF2SAOCAF2OA2F（1，0）A（1，0），C（0，3），直线AC的解析式为y3x3ACFQ，设直线FQ的解析式为y3x+b来源:Z&xx&k.Com将F（1，0）代入，得03+b，解得b3直线FQ的解析式为y3x+3联立y=x2-2x-3，y=-3x+3，解得x1=-3，y1=12x2=2，y2=-3点Q的坐标为（3，12）或（2，3）例2解：（1）x2（a+1）x+a0，则x1+x2a+1，x1x2a，则AB（a1）216，解得：a5或3，抛物线与y轴负半轴交于点C，故a5舍去，则a3，则抛物线的表达式为：yx2+2x3；（2）由yx2+2x3得：点A、B、C
9、的坐标分别为：（3，0）、（1，0）、（0，3），设点E（m，m2+2m3），OAOC，故直线AC的倾斜角为45°，EFAC，直线AC的表达式为：yx3，则设直线EF的表达式为：yx+b，将点E的坐标代入上式并解得：直线EF的表达式为：yx+（m2+3m3），联立并解得：xm或3m，故点F（3m，m2+4m），点M、N的坐标分别为：（m，m3）、（3m，m+3），则EF（xFxE）（2m3）MN，四边形EMNF的周长SME+MN+EF+FN2m2（6+4）m6，20，故S有最大值，此时m，故点E的横坐标为：；（3）当点Q在第三象限时，当QC平分四边形面积时，则|xQ|xB1，故点Q（
10、1，4）；当BQ平分四边形面积时，则SOBQ×1×|yQ|，S四边形QCBO1×3+×3×|xQ|，则2（×1×|yQ|）1×3+×3×|xQ|，解得：xQ，故点Q（，）；当点Q在第四象限时，同理可得：点Q（，）；综上，点Q的坐标为：（1，4）或（，）或（，）变式训练1解：（1）由题意得：，解得，这个二次函数的解析式为yx22x3，（2）当x0时，y3，则C为（0，3），易得直线BC的函数解析式为：yx3，设P的坐标为（t，t22t3）（0t3），则M的坐标为（t，t3），PMt3（t22t3）
11、t2+3t（t）2+，10且0t3，当t时，PM取得最大值，最大值为，此时P的坐标为（，）2.解答3（1）矩形OADC的边CD=1，OA=1而AB=4，OB=3A（1，0），B（3，0）抛物线的解析式为y=a（x+1）（x3），即y=ax22ax3a，3a=2，解得a=23抛物线解析式为y=23x2+43x+2；（2）抛物线的对称轴为直线x=1，当x=0时，y=23x2+43x+2=2，则C（0，2）ECx轴，点E与点C关于直线x=1对称E（2，2）OC=CE，OCE为等腰直角三角形COE=45°作PQy轴交直线OE于Q，如图1，PGH=45°PHOE，PQH为等腰直角三角
12、形PH=22PQ易得直线OE的解析式为y=x设P（x，23x2+43x+2），则Q（x，x）PQ23x2+43x+2x=23x213x+2PH=22（23x2+13x+2）=23x2+26x+2=23（x14）2+49248当x=14时，PH的值最大，最大值为49248；（3）四边形ACMN是平行四边形，点A向右平移2个单位可得到N点，来源:学,科,网点C向右平移2个单位可得到M点，则M点的横坐标为2，当x=2时，y=23x2+43x+2=2，则M（2，2）CMx轴，点N为对称轴与x轴的交点N（1，0）4（1）由题意得：抛物线yx2+bx的对称轴为直线x2，b22b4抛物线解析式为yx2+4x
13、A（4，0）C（2，2），直线AC解析式为yx4（2）由题意得，MPPDPDAD，MPPD，MPAD直线MP解析式为yx+2联立方程组，y=x+2，y=-x2+4x.x=1，y=3或x=2，y=4.解得P（1，3）31+m，m4；如图所示，过点C作x轴的平行线，交直线PD于点H，作PGCH于点G，HCDECD45°，CDCD，CDHCDE90°，CDHCDE（ASA）DEDH则DE+DPDH+DPPH又RtPGH中，PH2PG，当PG取得最大值时，DE+DP取得最大值M（2，4），C（2，2），当点P与点M重合时，PG取得最大值，最大值为4（2）6，则DE+DP的最大值为6
14、25（1）当x=0时，y=ax2+bx+3=3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x3）把（0，3）代入得3a=3，解得a=1所以抛物线解析式为y=（x+1）（x3），即y=x2+2x+3=（x1）2+4，则D（1，4）；（2）如图1，过P作PHAD于点H，设直线AD的解析式为y=kx+p，把A（1，0），D（1，4）代入得-k+b=0，k+b=4.，解得k=2,b=2.直线AD的解析式为y=2x+2当x=2时，y=2x+2=6，则G（2，6）设P（2，t），则PN=PH=|t|，GP=6t在RtANG中，AN=3，GN=6，AG=32+62=35PGH=
15、AGN，RtGPHRtGANGPAG=PHAN：，即6t35=|t|3，解得t1=35-32，t2=-35-32P点坐标为（2，35-32，）或（2，-35-32）；（3）存在，理由如下：把A（1，0）代入y=x+m得1+m=0，解得m=1直线AC的解析式为y=x1，过点D作DEAC，交y轴于点E，如图2，设直线DE的解析式为y=x+n把D（1，4）代入，得1+n=4，解得n=5直线DE的解析式为y=x+5当x=0时，y=x+5=5，则E（0，5）EC的中点F的坐标为（0，2）过点F作AC的平行线交抛物线于M，如图2，则点M到直线AC的距离等于点D到AC的距离的一半，SCDA=2SACM设直线FM的解析式为y=x+q把F（0，2）代入得q=2，直线FM的解析式为y=x+2，解方程组y=-x+2，y=-x2+2x+3.得x=3-132,y=1+132或x=3+132,y=1-132满足条件的M点的坐标为（3-132，1+132）