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1、专题十三：爪型问题的转化与构图探究专题导例如图1，将ABC绕点C顺时针旋转90°得到EDC 若点A，D，E在同一条直线上，ACB=20°，则ADC的度数是（ ）.A. 55° B. 60° C. 65° D. 70°方法点睛题目中遇到公共端点的三爪图时，旋转是它的克
2、星，通过旋转把分散的条件（线段或角）整合在一个三角形内解决.旋转时明确旋转中心和旋转角.因此，当我们再遇到类似问题时，首先考虑旋转来解决.问题：破解策略：共顶点引发的三条（多）条线段.1、辅助圆的方法2、旋转的方法当三条线段不等时或题目隐含等边时，遇多少度旋转多少度，构造手拉手模型（全等或相似）来解决问题.导例答案：C典例剖析类型一：辅助圆类例1以ABC的边AB为底作等腰三角形OAB，且O=2C，AC与OB交于点D，若OB=a，OD=34a，则AD·DC= . 【分析】由O=2C，且都对应了边AB，考虑到同弧所对圆周角为圆心角的一半，因此构造一个以O以圆心，OB为半径的一个圆，从而来
3、解决问题.类型二:旋转全等类三爪图（由边导角，由角导边进行构造）例2 .在等边三角形ABC中，P是三角形内部一动点.（1） 若BEC=150°，求AP，BP，CP三边的数量关系；（2） 若等边三角形的边长为2,且AP2=BP2+CP2，则P的运动路径是什么？并求其长度.【分析】（1）将BP绕点A顺时针旋转60°到BP,可得BPP为等边三角形，ABPCBP.从而可得AP，BP，CP三边的数量关系（2）结合（1）中所得的结论，由AP2=BP2+CP2，可得CPP=90°，BPC=150°点P在圆周角为150°的圆弧上运动，且圆弧所在圆的半径2，圆心
4、角为60°，从而弧BC的长为23.专题突破1.如图，AOB120°，点P为AOB的平分线上的一个定点，且MPN与AOB互补，若MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：PMPN；OM+ONOP；四边形PMON的面积保持不变；MN的长度保持不变；PMN的周长保持不变；其中说法正确的是（）ABCD 2如图，RtABC中，ABBC，AB8，BC6，P是ABC内部的一个动点，满足PABPBC，则线段CP长的最小值为（）AB2CD3如图，在等边ABC中，AC7，点P在ABC内部，且APC90°，BPC120°，直接写出APC的
5、面积为 4.如图，在矩形ABCD中，AB4，BC6，E是平面内的一个动点，且满足AEB90°，连接CE，则线段CE长的最大值为 5.如图，矩形ABCD中，AB=3BC，点P为矩形ABCD内一点，已知PAPC=21，求APB的度数？6如图，ABC是O的内接三角形，AC=BC，D为O中弧AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD（1）求证：AE=BD；（2）若ACBC，求证：AD+BD=2CD7.如图，ABC、ADE为等腰直角三角形，ACBAED90°连接BD，取BD中点F，连接CF，EF，CE求证：CEF为等腰直角三角形8.（2019年十堰市）如图1，ABC中，CACB，ACB
6、，D为ABC内一点，将CAD绕点C按逆时针方向旋转角得到CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上（1）填空：CDE（用含的代数式表示）；（2）如图2，若60°，请补全图形，再过点C作CFAE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若90°，AC52，且点G满足AGB90°，BG6，直接写出点C到AG的距离9（1）【操作发现】如图1，将ABC绕点A顺时针旋转50°，得到ADE，连接BD，则ABD 度（2）【解决问题】如图2，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，APC90°，BPC12
7、0°，求APC的面积如图3，在ABC中，ACB90°，ACBC，P是ABC内的一点，若PB1，PA3，BPC135°，则PC （3）【拓展应用】如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AB4，BC3，ABC75°，P为ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC求PA+PB+PC的最小值专题十一：三爪图问题探究例1如下图构造辅助圆，由同弧所对圆周角相等，CDBCDA. CDC'DDBDA.AD·DC=CD·DB=74a·14a=716a2.例2.（1）将BE绕点A顺时针旋转60°到BE,可得BEE为等边三
8、角形，ABECBE.EEB=60°，EE=BE，EC=AE,BEC=150°，CEE=90°,EEC为直角三角形，EC2= EE2+CE2.(2)由AE2=BE2+CE2，可得CEE=90°，BEC=150°，点E在以BC为弦,BC长为半径，圆周角为150°的圆弧上运动，BC=2，BCD为等边三角形，CD=2，BDC=60°，弧BC的长为23.专题突破1.解：如图作PEOA于E，PFOB于FPEOPFO90°，EPF+AOB180°，MPN+AOB180°，EPFMPN，EPMFPN，OP平分A
9、OB，PEOA于E，PFOB于F，PEPF，在RtPOE和RtPOF中，RtPOERtPOF（HL），OEOF，在PEM和PFN中，PEMPFN（ASA），EMNF，PMPN，故正确，SPEMSPNF，S四边形PMONS四边形PEOF定值，故正确，OM+ONOE+ME+OFNF2OE定值，RtOPE中，OPE30°，可得OP2OE，OM+ONOP定值故正确，M，N的位置变化，MN的长度是变化的，故错误，PMPN，MPN60°，PMN是等边三角形，MN的长度是变化的，PMN的周长是变化的，故错误故选：D2解：取AB的中点O，连接OP，ABC90°，ABP+PBC90
10、°，PABPBC，BAP+ABP90°，APB90°，OPOAOB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），点P在以AB为直径的O的一部分弧线上，连接OC交O于点P，此时PC最小，其最小值为OCOP，在RtBCO中，OBC90°，BC6，OPOB4，OC2，PCOCOP24PC最小值为24故选：D3将APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到APC.APP是等边三角形.APCAPB360°90°120°150°，来源:Z+xx+k.ComPPAP，APPAPP60°.PPC90°，PPC30&
11、#176;.PP32PC，即AP32PC.APC90°，AP2+PC2AC2，即（32PC）2+PC272.PC27.AP21.SAPC12APPC73；故答案为734.解：AEB90°，点E在以AB为直径的圆上，如图所示，设圆心为O，AB4，AB是O的直径，OE2，在RtOBC中，OC，当点E在CO的延长线上时，CE有最大值，CE的最大值OE+OC2+2，CE的最大值2+2故答案为：2+25.将PBC逆时针旋转90°，并按13放缩，得到PBA，则PBCPBA（相似比13），由题意可设PA=22，PC=1，PA=3PC=23.显然在RtPBP中，PB=3PB=3，
12、PP=2，PPB=60°，由PP2+AP2=PA2，可得APP=90°，APB=150°来源:Z。xx。k.Com6（1）AC=BC，CAB=CBA.CBA=CDE，ACB=ECD.ACBACD=ECDACD.ACE=BCD在ACE和BCD中，CECD，ACE=BCD，AC=BC，ACEBCD.AE=BD（2）AD+BD=2CD,证明：作CFCD，交DA的延长线于F.ACBC，AC=BC，O在AB上，CAB=CBA=45°.CDA=CBA=45°.F=180°FCDCDA=45°=CDA.CF=CD.FCD=ACB=90&#
13、176;，FCA=BCD.在ACF和BCD中,ACBC，BCD=ACF，CF=CD，ACFBCD.BD=AF.AD+BD=AD+AF=DF.在DCF中，由勾股定理得：DF=CD2+CF2=2CD7.证明：取AD、AB的中点N、M，连接NE、NF、CM、MF，N、F是AD和BD中点，NFAB，NFAB，M是AB中点，ACB90°，CMAB，CMAB，CMNF，同理ENFM，MFAD，MFODNO，CMAB，NFAB，CMNF，OMF+MFOENO+DNO90°，OMFENO，在FNE和CMG中，FNECMG，CFEF，FCMEFN，FCM+OFC90°，EFN+OF
14、C90°，CFE90°8.（1）将CAD绕点C按逆时针方向旋转角得到CBEACDBCE，DCECDCECDE180-2故答案为180-2；（2）AEBE+233CF，理由如下：如图，将CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到CBEACDBCEADBE，CDCE，DCE60°CDE是等边三角形，且CFDEDFEF33 CFAEAD+DF+EF，AEBE+233CF ；（3）如图，当点G在AB上方时，过点C作CEAG于点E，ACB90°，ACBC52，CABABC45°，AB10来源:学&科&网Z&X&X&
15、amp;KACBAGB90°，点C，点G，点B，点A四点共圆AGCABC45°，且CEAGAGCECG45°CEGEAB10，GB6，AGB90°，AGAB2-BG28AC2AE2+CE2，（52）2（8CE）2+CE2CE7（不合题意舍去）或CE1若点G在AB的下方，过点C作CFAG，同理可得CF7点C到AG的距离为1或79（1）【操作发现】解：如图1中，ABC绕点A顺时针旋转50°，得到ADE，ADAB，DAB50°，65°，故答案为：65（2）【解决问题】解：如图2中，将APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得
16、到APC，APP是等边三角形，APCAPB360°90°120°150°，PPAP，APPAPP60°，PPC90°，PPC30°，PPPC，即APPC，APC90°，AP2+PC2AC2，即（PC）2+PC2（）2，PC2，AP，SAPCAPPC××2如图3，将CBP绕着点C按顺时针方向旋转90°，得到CAP，CPCP，PCPACB90°，PCP为等腰直角三角形，CP'P45°，BPC135°AP'C，APP90°，PA3，PB1，AP1，PP2，PC2故答案为：2（3）【拓展应用】解：如图4中，将APB绕B顺时针旋转60°，得到EDB，连接PD、CE将APB绕B顺时针旋转60°，得到EDB，ABPEBD，ABEB4，PBD60°，ABP+PBCEBD+PBC，EBD+PBCABC75°，CBE135°，过点E作EFCB交CB的延长线于点F，EBF45°，在RtCFE中，CFE90°，BC3，EF2，即PA+PB+PC的最小值为