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1、专题22 二次函数知识点一：二次函数的基本概念与特征1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项知识点二：二次函数的基本形式及其性质1.的性质：（a 的绝对值越大，抛物线的开口越小）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. 的性质：（上加下减）的符号开
2、口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质：（左加右减）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值知识点三：二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛
3、物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律:在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法2：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）知识点四：二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中知识点五一：二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组
4、关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.知识点六：二次函数的性质1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值知识点七：二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，为常数，）；2. 顶点式：（，为常数，）；3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解
5、析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.知识点八：二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2. 一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；
6、当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置的符号的判定：对称轴在轴左边，则，在轴的右侧，则，概括的说就是“左同右异”。3. 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的知识点九：二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式
7、是； 关于轴对称后，得到的解析式是；2. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对
8、称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式知识点十：二次函数与一元二次方程1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数：（1）当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离. （2）当时，图象与轴只有一个交点； （3）当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 一、二次函数解析式的确定根据已知条件确定二次函数解析式，常利用待定系数法用待定系数法求二次函数解析式必
9、须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式二、二次函数考查重点与常见题类型总结类型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中；类型2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题；类型3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔
10、性的综合题；类型4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题；类型5.考查代数与几何的综合能力，常见的中考题作为专项压轴题。三、二次函数常用解题方法总结 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函
11、数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.【例题1】（2020枣庄）如图，已知抛物线yax2+bx+c的对称轴为直线x1给出下列结论：ac0；b24ac0；2ab0；ab+c0其中，正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点，综合进行判断即可【解析】抛物线开口向下，a0，对称轴为x=-b2a=1，
12、因此b0，与y轴交于正半轴，因此c0，于是有：ac0，因此正确；由x=-b2a=1，得2a+b0，因此不正确，抛物线与x轴有两个不同交点，因此b24ac0，正确，由对称轴x1，抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（1，0），因此ab+c0，故正确，综上所述，正确的结论有。【例题2】如图，抛物线y=x2bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析。【解析】（1）由题意得，解得b=4，c=3，抛物线的解析式
13、为y=x24x+3；（2）点A与点C关于x=2对称，连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），y=x24x+3与y轴的交点为（0，3），设直线BC的解析式为：y=kx+b，解得，k=1，b=3，直线BC的解析式为：y=x+3，则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）点P的交点坐标为：（2，1）【点拨】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键【例题3】（2020杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1x2+bx+a，y2ax2+bx+1（a，b是实数，a0）（1）若函数y1
14、的对称轴为直线x3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r0，求证：函数y2的图象经过点（1r，0）（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n0，求m，n的值【答案】见解析。【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可（2）函数y1的图象经过点（r，0），其中r0，可得r2+br+a0，推出1+br+ar2=0，即a（1r）2+b1r+10，推出1r是方程ax2+bx+1的根，可得结论（3）由题意a0，m=4a-b24，n=4a-b24a，根据m+n0，构建方程可得结论【解析】（1）由题意，得到-b2=3，解得b6，函数y1
15、的图象经过（a，6），a26a+a6，解得a2或3，函数y1x26x+2或y1x26x+3（2）函数y1的图象经过点（r，0），其中r0，r2+br+a0，1+br+ar2=0，即a（1r）2+b1r+10，1r是方程ax2+bx+1的根，即函数y2的图象经过点（1r，0）（3）由题意a0，m=4a-b24，n=4a-b24a，m+n0，4a-b24+4a-b24a=0，（4ab2）（a+1）0，a+10，4ab20，mn0二次函数单元精品检测试卷本套试卷满分120分，答题时间90分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1（2020泸州）已知二次函数yx22bx+2b24c（其中x是自变量）的图
16、象经过不同两点A（1b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（）A1B2C3D4【答案】C【解析】由二次函数yx22bx+2b24c的图象与x轴有公共点，（2b）24×1×（2b24c）0，即b24c0 ，由抛物线的对称轴x=-2b2=b，抛物线经过不同两点A（1b，m），B（2b+c，m），b=1-b+2b+c2，即，cb1 ，代入得，b24（b1）0，即（b2）20，因此b2，cb1211，b+c2+132（2020绥化）将抛物线y2（x3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）Ay2（x6）2
17、By2（x6）2+4Cy2x2Dy2x2+4【答案】C【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可【解析】将将抛物线y2（x3）2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y2（x3+3）2+2，即y2x2+2；再向下平移2个单位为：y2x2+22，即y2x23（2020滨州）对称轴为直线x1的抛物线yax2+bx+c（a、b、c为常数，且a0）如图所示，小明同学得出了以下结论：abc0，b24ac，4a+2b+c0，3a+c0，a+bm（am+b）（m为任意实数），当x1时，y随x的增大而增大其中结论正确的个数为（）A3B4C5D6【答案】A【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，
18、由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解析】由图象可知：a0，c0，-b2a=1，b2a0，abc0，故错误；抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，b24ac，故正确；当x2时，y4a+2b+c0，故错误；当x1时，yab+c0，3a+c0，故正确；当x1时，y的值最小，此时，ya+b+c，而当xm时，yam2+bm+c，所以a+b+cam2+bm+c，故a+bam2+bm，即a+bm（am+b），故正确，当x1时，y随x的增大而减小，故错误.4（2020成都）关于二次函数yx2+2x8，下列说法正确的是（）A图象的对称轴在y轴
19、的右侧B图象与y轴的交点坐标为（0，8）C图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（4，0）Dy的最小值为9【答案】D【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题【解析】二次函数yx2+2x8（x+1）29（x+4）（x2），该函数的对称轴是直线x1，在y轴的左侧，故选项A错误；当x0时，y8，即该函数与y轴交于点（0，8），故选项B错误；当y0时，x2或x4，即图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（4，0），故选项C错误；当x1时，该函数取得最小值y9，故选项D正确5（2020河北）如图，现要在抛物线yx（4x）上找点P（a，b），针对b的不同取
20、值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b5，则点P的个数为0；乙：若b4，则点P的个数为1；丙：若b3，则点P的个数为1下列判断正确的是（）A乙错，丙对B甲和乙都错C乙对，丙错D甲错，丙对【答案】C【分析】求出抛物线的顶点坐标为（2，4），由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论【解析】yx（4x）x2+4x（x2）2+4，抛物线的顶点坐标为（2，4），在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，甲、乙的说法正确；若b3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，丙的说法不正确.6（2020南充）关于二次函数yax24ax5（a0）的三个结论：对任意实数m，都有x12+m与x22m对应
21、的函数值相等；若3x4，对应的y的整数值有4个，则-43a1或1a43；若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB6，则a-54或a1其中正确的结论是（）ABCD【答案】D【解析】二次函数yax24ax5的对称轴为直线x=-4a2a=2，x12+m与x22m关于直线x2对称，对任意实数m，都有x12+m与x22m对应的函数值相等；故正确；当x3时，y3a5，当x4时，y5，若a0时，当3x4时，3a5y5，当3x4时，对应的y的整数值有4个，1a43，若a0时，当3x4时，5y3a5，当3x4时，对应的y的整数值有4个，-43a1，故正确；若a0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB6，0，2
22、5a20a50，16a2+20a05a-50，a1，若a0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB6，0，25a20a50，16a2+20a05a-50，a-54，综上所述：当a-54或a1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB67（2020甘孜州）如图，二次函数ya（x+1）2+k的图象与x轴交于A（3，0），B两点，下列说法错误的是（）Aa0B图象的对称轴为直线x1C点B的坐标为（1，0）D当x0时，y随x的增大而增大【答案】D【解析】观察图形可知a0，由抛物线的解析式可知对称轴x1，A（3，0），A，B关于x1对称，B（1，0），故A，B，C正确8（2020安顺）已知二次函数yax2
23、+bx+c的图象经过（3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m0（m0）有两个根，其中一个根是3则关于x的方程ax2+bx+c+n0 （0nm）有两个整数根，这两个整数根是（）A2或0B4或2C5或3D6或4【答案】B【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+n0 （0nm）的两个整数根，从而可以解答本题【解析】二次函数yax2+bx+c的图象经过（3，0）与（1，0）两点，当y0时，0ax2+bx+c的两个根为3和1，函数yax2+bx+c的对称轴是直线x1，又关于x的方程ax2+bx+c+m0（m0）有两个根，其中
24、一个根是3方程ax2+bx+c+m0（m0）的另一个根为5，函数yax2+bx+c的图象开口向上，关于x的方程ax2+bx+c+n0 （0nm）有两个整数根，这两个整数根是4或29（2020遂宁）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为直线x1，下列结论不正确的是（）Ab24acBabc0Cac0Dam2+bmab（m为任意实数）【答案】C【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案【解析】由图象可得：a0，c0，b24ac0，-b2a=-1，b2a0，b24ac，故A选项不合题意，abc0，故B选项不合题意，当x1时，y0，ab+c0，a+c0，即ac0，故C选项符合
25、题意，当xm时，yam2+bm+c，当x1时，y有最小值为ab+c，am2+bm+cab+c，am2+bmab，故D选项不合题意.10（2020衢州）二次函数yx2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A向左平移2个单位，向下平移2个单位B向左平移1个单位，向上平移2个单位C向右平移1个单位，向下平移1个单位D向右平移2个单位，向上平移1个单位【答案】C【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可【解析】A、平移后的解析式为y（x+2）22，当x2时，y14，本选项不符合题意B、平移后的解析式为y（x+1）2+2，当x2时，y11，本选项不符合题意C、平移后
26、的解析式为y（x1）21，当x2时，y0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意D、平移后的解析式为y（x2）2+1，当x2时，y1，本选项不符合题意二、填空题（10个小题，每空3分，共33分）11（2020泰安）已知二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的y与x的部分对应值如下表：x54202y60646下列结论：a0；当x2时，函数最小值为6；若点（8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1y2；方程ax2+bx+c5有两个不相等的实数根其中，正确结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填上）【答案】【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数
27、的图象与系数之间的关系进行判断即可【解析】将（4，0）（0，4）（2，6）代入yax2+bx+c得，16a-4b+c=0c=-44a+2b+c=6，解得，a=1b=3c=-4，抛物线的关系式为yx2+3x4，a10，因此正确；对称轴为x=-32，即当x=-32时，函数的值最小，因此不正确；把（8，y1）（8，y2）代入关系式得，y16424436，y264+24484，因此正确；方程ax2+bx+c5，也就是x2+3x45，即方x2+3x+10，由b24ac9450可得x2+3x+10有两个不相等的实数根，因此正确；正确的结论有：12（2020哈尔滨）抛物线y3（x1）2+8的顶点坐标为 【答
28、案】（1，8）【分析】已知抛物线顶点式ya（xh）2+k，顶点坐标是（h，k）【解析】抛物线y3（x1）2+8是顶点式，顶点坐标是（1，8）13（2020无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴： 【答案】yx2（答案不唯一）【分析】根据形如yax2的二次函数的性质直接写出即可【解析】图象的对称轴是y轴，函数表达式yx2（答案不唯一），故答案为：yx2（答案不唯一）14（2020上海）如果将抛物线yx2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 【答案】yx2+3【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解【解析】抛物线yx2向上平移3个单位得到yx2+315（2020黔东南州）抛物线
29、yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为x1，则当y0时，x的取值范围是 【答案】3x1【分析】根据物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y0时，x的取值范围【解析】物线yax2+bx+c（a0）与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为x1，抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），由图象可知，当y0时，x的取值范围是3x116. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（0，3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间你确定的b的值是 .【答
30、案】【解析】把（0，3）代入抛物线的解析式求出c的值，在（1，0）和（3，0）之间取一个点，把它的坐标代入解析式即可求出答案把（0，3）代入抛物线的解析式得：c=3，y=x2+bx3.确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，假如过（2，0），代入，得0=4+2b3，b=故答案为17. 如图，是二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象的一部分，给出下列命题：a+b+c=0；b2a；ax2+bx+c=0的两根分别为3和1；a2b+c0其中正确的命题是 （只要求填写正确命题的序号）【答案】【解析】由图象可知过（1，0），代入得到a+b+c=0；根据=1，推出b=2
31、a；根据图象关于对称轴对称，得出与X轴的交点是（3，0），（1，0）；由a2b+c=a2bab=3b0，根据结论判断即可由图象可知：过（1，0），代入得：a+b+c=0，正确；=1，b=2a，错误；根据图象关于对称轴对称，与X轴的交点是（3，0），（1，0），正确；a2b+c=a2bab=3b0，错误故答案为：18.如图，抛物线y=-x2+2x+m（m0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B的左侧当x=x2-2时，y_0（填“”“=”或“”号）【答案】【解析】由二次函数根与系数的关系求得关系式，求得m小于0，当x=x2-2时，从而求得y小于0抛物线y=-x2+2x+m（m0
32、）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），x1+x2=2，x1x2=-m0m0x1+x2=2x1=2-x2x=-x10y0故答案为19二次函数yx22x+3的图象的顶点坐标为 【答案】（1，4）【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可【解析】yx22x+3（x2+2x+11）+3（x+1）2+4，顶点坐标为（1，4）20（2020乐山）我们用符号x表示不大于x的最大整数例如：1.51，1.52那么：（1）当1x2时，x的取值范围是；（2）当1x2时，函数yx22ax+3的图象始终在函数yx+3的图象下方则实数a的范围是 【答案】（1）0x2（2）a1或a32【解析】
33、（1）由题意1x2，0x2，（2）由题意：当1x2时，函数yx22ax+3的图象始终在函数yx+3的图象下方，则有x1时，1+2a+31+3，解得a1，或x2时，42a+31+3，解得a32，三、解答题（6小题，共57分）21（7分）（2020宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+4x3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D点B的坐标是（1，0）（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y0时x的取值范围（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式【答案】见解析。【分析】（1）利用待定系数法求出a，再求出点C的坐标即
34、可解决问题（2）由题意点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的解析式【解析】（1）把B（1，0）代入yax2+4x3，得0a+43，解得a1，yx2+4x3（x2）2+1，A（2，1），对称轴x2，B，C关于x2对称，C（3，0），当y0时，1x3（2）D（0，3），点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y（x4）2+522（10分）（2020泸州）如图，已知抛物线yax2+bx+c经过A（2，0），B（4，0），C（0，4）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD5DE求直线
35、BD的解析式；已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标【答案】见解析。【分析】（1）根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入抛物线交点式中，即可求出a，即可得出结论；（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出BF，进而得出点E坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；先确定出点Q的坐标，设点P（x，-12x2+x+4）（1x4），得出PGx1，GQ=-12x2+x+3，再利用三垂线构造出PQGQRH（AAS），得出RHGQ=-1
36、2x2+x+3，QHPGx1，进而得出R（-12x2+x+4，2x），最后代入直线BD的解析式中，即可求出x的值，即可得出结论【解析】（1）抛物线yax2+bx+c经过A（2，0），B（4，0），设抛物线的解析式为ya（x+2）（x4），将点C坐标（0，4）代入抛物线的解析式为ya（x+2）（x4）中，得8a4，a=-12，抛物线的解析式为y=-12（x+2）（x4）=-12x2+x+4；（2）如图1，设直线AC的解析式为ykx+b'，将点A（2，0），C（0，4），代入ykx+b'中，得-2k+b'=0b'=4，k=2b'=4，直线AC的解析式为y2x
37、+4，过点E作EFx轴于F，ODEF，BODBFE，OBBF=BDBE，B（4，0），OB4，BD5DE，BDBE=BDBD+DE=5DE5DE+BE=56，BF=BEBD×OB=65×4=245，OFBFOB=245-4=45，将x=-45代入直线AC：y2x+4中，得y2×（-45）+4=125，E（-45，125），设直线BD的解析式为ymx+n，4m+n=0-45m+n=125，m=-12n=2，直线BD的解析式为y=-12x+2；抛物线与x轴的交点坐标为A（2，0）和B（4，0），抛物线的对称轴为直线x1，点Q（1，1），如图2，设点P（x，-12x2+
38、x+4）（1x4），过点P作PGl于G，过点R作RHl于H，PGx1，GQ=-12x2+x+41=-12x2+x+3，PGl，PGQ90°，GPQ+PQG90°，PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，PQRQ，PQR90°，PQG+RQH90°，GPQHQR，PQGQRH（AAS），RHGQ=-12x2+x+3，QHPGx1，R（-12x2+x+4，2x），由知，直线BD的解析式为y=-12x+2，x2或x4（舍），当x2时，y=-12x2+x+4=-12×4+2+44，P（2，4）23（8分）（2020济宁）我们把方程（xm）2+（yn）
39、2r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程例如，圆心为（1，2）、半径长为3的圆的标准方程是（x1）2+（y+2）29在平面直角坐标系中，C与轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E（1）求C的标准方程；（2）试判断直线AE与C的位置关系，并说明理由【答案】见解析。【分析】（1）如图，连接CD，CB，过点C作CMAB于M设C的半径为r在RtBCM中，利用勾股定理求出半径以及等C的坐标即可解决问题（2）结论：AE是C的切线连接AC，CE求出抛物线的解析式，推出点E的坐标，求出AC，AE，CE，利用勾股定理的逆定理证明CAE9
40、0°即可解决问题【解析】（1）如图，连接CD，CB，过点C作CMAB于M设C的半径为r与y轴相切于点D（0，4），CDOD，CDOCMODOM90°，四边形ODCM是矩形，CMOD4，CDOMr，B（8，0），OB8，BM8r，在RtCMB中，BC2CM2+BM2，r242+（8r）2，解得r5，C（5，4），C的标准方程为（x5）2+（y4）225（2）结论：AE是C的切线理由：连接AC，CECMAB，AMBM3，A（2，0），B（8，0）设抛物线的解析式为ya（x2）（x8），把D（0，4）代入ya（x2）（x8），可得a=14，抛物线的解析式为y=14（x2）（x8）
41、=14x2-52x+4=14（x5）2-94，抛物线的顶点E（5，-94），AE=32+(94)2=154，CE4+94=254，AC5，EC2AC2+AE2，CAE90°，CAAE，AE是C的切线24（12分）（2020甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线ykx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线yx2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一点，APOACB，求AP的长；（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析。【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可（2）求出AB，OA，AC，利用相似三角形的性质求解即可（3）分两种情形：PA为平行四边形的边时，点M的横坐标可以为±2，求出点M的坐标即可解决问题当AP为平行四边形的对角线时，点M的横坐标为4，求出点M的坐标即可解决问题【解析】（1）由题意抛物线经过B（0，3），C（1，0），c=3-1+b+c=0，解得b=-2c=3，抛物线