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1、专题15 分式知识点1：分式1.分式：形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式(fraction)。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。2.分式有意义的条件：分母不等于03.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。 4.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。5.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：A/B=（AC）/（BC）， A/B=（A÷C）/（B÷C） （A,B,C为整式，且C0） 6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式
2、时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式. 知识点2：分式的运算1.同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a/c±b/c=a±b/c 2.异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a/b±c/d=ad±cb/bd 3.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：（a/b ）（c/d）=ac/bd 4.分式的除法法则:1)两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再
3、与被除式相乘.a/b÷c/d=ad/bc 2)除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:（a/b）÷（c/d）=（a/b）（d/c） 知识点3：分式方程1.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的解法:去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);按解整式方程的步骤求出未知数的值;验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根). 3.重点在分式方程解实际应用问题。一、记忆理解分式单元重难点思维导图二、中考分式单元考题类型总结1.分式概念考法（1）考查分式的定义；（2）考查分
4、式有意义的条件；（3）考查分式的值为0的条件；（4）考查分式的值为正负的条件。2.分式的基本性质考法（1）化分数系数、小数系数为整数的问题；（2）分数的系数变号问题；（3）化简求值问题。3.分式的运算考法（1）通分；（2）约分；（3）分式的混合运算；（4）分式化简求值；（5）求待定字母的值。4.分式方程类型题考法（1）用常规方法解分式方程；（2）增根类问题；（3）列分式方程解应用题1）营销类应用性问题；2）工程类应用型问题；3）行程中应用型问题；4）轮船顺水逆水应用性问题；5）浓度应用性问题；6）货物运输应用性问题；7）其他类应用性问题。【例题1】（2020台州）计算1x-13x的结果是 【答
5、案】23x【解析】1x-13x=33x-13x=23x【点拨】先通分，再相减即可求解【例题2】（2020徐州）方程9x=8x-1的解为 【答案】x9【分析】根据解分式方程的过程进行求解即可【解析】去分母得：9（x1）8x9x98xx9检验：把x9代入x（x1）0，所以x9是原方程的解【例题3】（2020乐山）已知y=2x，且xy，求（1x-y+1x+y）÷x2yx2-y2的值【答案】见解析。【解析】直接将括号里面通分运算进而结合分式的混合运算法则计算得出答案原式=2x(x+y)(x-y)÷x2yx2-y2=2xx2-y2×x2-y2x2y =2xy，y=2x，原式
6、=2x2x=1解法2：同解法1，得原式=2xy，y=2x，xy2，原式=22=1【例题4】（2020福建）我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A3（x1）=6210xB6210x-1=3C3x1=6210xD6210x=3【答案】A【分析】根据单价总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出
7、关于x的分式方程，此题得解【解析】依题意，得：3（x1）=6210x【例题5】（2020黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批
8、自行车销售获利最多？【答案】见解析。【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x200）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值【解析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x200）元，由题意，得80000x=80000(1-10%)x-200，解得：x2000经检验，x2000是原方程的根答：去年A型车每辆售价为2000元；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60a）辆，获利y元，由题意，得y（18001500）a+（24001800
9、）（60a），y300a+36000B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，60a2a，a20y300a+36000k3000，y随a的增大而减小a20时，y有最大值B型车的数量为：602040辆当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大分式单元精品检测试卷本套试卷满分120分，答题时间90分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1（2020哈尔滨）方程2x+5=1x-2的解为（）Ax1Bx5Cx7Dx9【答案】D【分析】根据解分式方程的步骤解答即可【解析】方程的两边同乘（x+5）（x2）得：2（x2）x5，解得x9，经检验，x9是原方程的解2（2020成都）已知x2是分式方程kx+x-
10、3x-1=1的解，那么实数k的值为（）A3B4C5D6【答案】B【分析】把x2代入分式方程计算即可求出k的值【解析】把x2代入分式方程得：k2-11，解得：k43（2020甘孜州）分式方程3x-1-10的解为（）Ax1Bx2Cx3Dx4【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解析】分式方程3x-1-10，去分母得：3（x1）0，去括号得：3x+10，解得：x4，经检验x4是分式方程的解4（2020黑龙江）已知关于x的分式方程xx-3-4=k3-x的解为非正数，则k的取值范围是（）Ak12Bk12Ck12Dk12【答案】A【分析】表
11、示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可【解析】方程xx-3-4=k3-x两边同时乘以（x3）得：x4（x3）k，x4x+12k，3xk12，x=k3+4，解为非正数，k3+40，k125（2020齐齐哈尔）若关于x的分式方程3xx-2=m2-x+5的解为正数，则m的取值范围为（）Am10Bm10Cm10且m6Dm10且m6【答案】D【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可【解析】去分母得：3xm+5（x2），解得：x=m+102，由方程的解为正数，得到m+100，且m+104，则m的范围为m10且m6，6（2020泸州
12、）已知关于x的分式方程mx-1+2=-31-x的解为非负数，则正整数m的所有个数为（）A3B4C5D6【答案】B【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案【解析】去分母，得：m+2（x1）3，移项、合并，得：x=5-m2，分式方程的解为非负数，5m0且5-m21，解得：m5且m3，正整数解有1，2，4，5共4个.7（2020黑龙江）已知关于x的分式方程xx-2-4=k2-x的解为正数，则k的取值范围是（）A8k0Bk8且k2Ck8 且k2Dk4且k2【答案】B【分析】表示出分式方程的解，根据解为正数确定出k的范围即可【解析】分式方程xx-2
13、-4=k2-x，去分母得：x4（x2）k，去括号得：x4x+8k，解得：x=k+83，由分式方程的解为正数，得到k+830，且k+832，解得：k8且k28（2020长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（）A400x-30=500xB400x=500x+30C400x=500x-30D400x+30=500x【答案】B【分析】设更新技术前每天生产x万件
14、产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解【解析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，依题意，得：400x=500x+309（2020牡丹江）若关于x的方程mx+1-2x=0的解为正数，则m的取值范围是（）Am2Bm2且m0Cm2Dm2且m4【答案】C【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据方程的解为正数得出不等式，且不等于增根，再求解【解析】解方程mx+1-2x=0，去分母得：mx2（x+1）0，整
15、理得：（m2）x2，方程有解，x=2m-2，分式方程的解为正数，2m-20，解得：m2，而x1且x0，则2m-2-1，2m-20，解得：m0，综上：m的取值范围是：m210（2020重庆）若关于x的一元一次不等式组3x-12x+3，xa的解集为xa；且关于y的分式方程y-ay-2+3y-4y-2=1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（）A7B14C28D56【答案】A【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可【解析】不等式组整理得：x7xa，由解集为xa，得到a7，分式方程去分母得：ya+3y
16、4y2，即3y2a，解得：y=a+23，由y为正整数解，且y2得到a1，71×77二、填空题（每空3分，共33分）11（2020湖州）化简：x+1x2+2x+1= 【答案】1x+1【解析】x+1x2+2x+1=x+1(x+1)2 =1x+1【点拨】直接将分母分解因式，进而化简得出答案12.（2020遂宁）先化简，（x2+4x+4x2-4-x2）÷x+2x-2，然后从2x2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值这个值可能是_.【答案】2（答案不唯一）。【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得原式(x+2)2(x+2)(x-
17、2)-（x+2）x-2x+2（x+2x-2-x2-4x-2）x-2x+2 =-(x+2)(x-3)x-2x-2x+2 （x3）x+3，x±2，可取x1，则原式1+3213.（2020徐州）方程9x=8x-1的解为 【答案】x9【分析】根据解分式方程的过程进行求解即可【解析】去分母得：9（x1）8x9x98xx9检验：把x9代入x（x1）0，所以x9是原方程的解14（2020广元）关于x的分式方程m2x-1+20的解为正数，则m的取值范围是 【答案】m2且m0【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围【解析】去分母得：m+4x20，
18、解得：x=2-m4，关于x的分式方程m2x-1+20的解是正数，2-m40，m2，2x10，2×2-m4-10，m0，m的取值范围是m2且m015（2020南京）方程xx-1=x-1x+2的解是 【答案】x=14【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解析】方程xx-1=x-1x+2，去分母得：x2+2xx22x+1，解得：x=14，经检验x=14是分式方程的解16（2020绥化）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天设原计划每天加工零件x个，可列方程 【答案】240x-24
19、01.5x=2【分析】设原计划每天加工零件x个，则实际每天加工零件1.5x个，根据工作时间工作总量÷工作效率结合实际比原计划少用2天，即可得出关于x的分式方程，此题得解【解析】设原计划每天加工零件x个，则实际每天加工零件1.5x个，依题意，得：240x-2401.5x=2故答案为：240x-2401.5x=217（2020嘉兴）数学家斐波那契编写的算经中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数设第一次分钱的人数为x人，则可列方程 【答案】10x=40x+6【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列方
20、程即可得到结论【解析】根据题意得，10x=40x+6，故答案为：10x=40x+618（2020内江）若数a使关于x的分式方程x+2x-1+a1-x=3的解为非负数，且使关于y的不等式组y-34-y+13-13122(y-a)0的解集为y0，则符合条件的所有整数a的积为 【答案】40【分析】解分式方程的得出x=5-a2，根据解为非负数得出5-a20，且5-a21，据此求出a5且a3；解不等式组两个不等式得出y0且ya，根据解集为y0得出a0；综合以上两点得出整数a的值，从而得出答案【解析】去分母，得：x+2a3（x1），解得：x=5-a2，分式方程的解为非负数，5-a20，且5-a21，解得a
21、5且a3，解不等式y-34-y+13-1312，得：y0，解不等式2（ya）0，得：ya，不等式组的解集为y0，a0，0a5，则整数a的值为1、2、4、5，符合条件的所有整数a的积为1×2×4×540，19（2020陕西）分式方程：x-2x-3x-2=1的解为_。【答案】x=45【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解方程x-2x-3x-2=1，去分母得：x24x+43xx22x，解得：x=45，经检验x=45是分式方程的解20（2020常德）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4
22、G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，则该地4G下载速度是每秒_兆,5G的下载速度是每秒_兆.【答案】4兆，60兆【解析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间5G下载600兆所用时间140秒然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：600x-60015x=140，解得：x4，经检验：x4是原分式方程的解，且符合题意，15×460，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，
23、则该地5G的下载速度是每秒60兆三、解答题（8个小题，共57分）21（6分）（2020甘孜州）化简：（3a-2-1a+2）（a24）【答案】见解析。【解析】根据分式的减法和乘法可以解答本题（3a-2-1a+2）（a24）=3(a+2)-(a-2)(a+2)(a-2)（a+2）（a2）3a+6a+22a+822.（6分）（2020遂宁）先化简，（x2+4x+4x2-4-x2）÷x+2x-2，然后从2x2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值【答案】见解析。【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得原式(x+2)2(x+2)(x-2)-
24、（x+2）x-2x+2（x+2x-2-x2-4x-2）x-2x+2=-x2+x+6x-2x-2x+2 =-(x+2)(x-3)x-2x-2x+2 （x3）x+3，x±2，可取x1，则原式1+3223（6分）（2020常德）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1-7x-9x）÷x2-9x【答案】见解析。【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题（x+1-7x-9x）÷x2-9x=x(x+1)-(7x-9)xx(x+3)(x-3) =x2+x-7x+9(x+3)(x-3) =(x-3)2(x+3)
25、(x-3) =x-3x+3，当x2时，原式=2-32+3=-1524（6分）（2020衢州）先化简，再求值：aa2-2a+1÷1a-1，其中a3【答案】见解析。【解析】直接利用分式的乘除运算法则化简进而代入数据求出答案原式=a(a-1)2（a1）=aa-1，当a3时，原式=33-1=3225（6分）（2020湘潭）解分式方程：3x-1+2=xx-1【答案】见解析。【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解析】3x-1+2=xx-1去分母得，3+2（x1）x，解得，x1，经检验，x1是原方程的解所以，原方程的解为：x126（9分）（
26、2020广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍求建造这90个摊位的最大费用【答案】见解析。【分析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35这个等量关系列出方程即可
27、（2）设建A摊位a个，则建B摊位（90a）个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答【解析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据题意得：60x+2=60x35，解得：x3，经检验x3是原方程的解，所以3+25，答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；（2）设建A摊位a个，则建B摊位（90a）个，由题意得：90a3a，解得a22.5，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，此时最
28、大费用为：22×40×5+30×（9022）×310520，答：建造这90个摊位的最大费用是10520元27（9分）（2020牡丹江）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元请解答下列问题：（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方
29、案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？【答案】见解析。【分析】（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，根据数量总价÷单价结合用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设该商场购进m个A种书包，则购进（2m+5）个B种书包，根据购进A，B两种书包的总费用不超过5450元且A种书包不少于18个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即
30、可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案；（3）设销售利润为w元，根据总利润销售每个书包的利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润最大的进货方案，设赠送的书包中B种书包有a个，样品中B种书包有b个，则赠送的书包中A种书包有（5a）个，样品中A种书包有（4b）个，根据利润销售收入成本，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b，（5a），（4b）均为正整数，即可求出结论【解析】（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，依题意，得：700x=2×450x+20，解得：x70，经检验，x70是原方
31、程的解，且符合题意，x+2090答：每个A种书包的进价为70元，每个B种书包的进价为90元（2）设该商场购进m个A种书包，则购进（2m+5）个B种书包，依题意，得：m1870m+90(2m+5)5450，解得：18m20又m为正整数，m可以为18，19，20，该商场有3种进货方案，方案1：购买18个A种书包，41个B种书包；方案2：购买19个A种书包，43个B种书包；方案3：购买20个A种书包，45个B种书包（3）设销售利润为w元，则w（9070）m+（13090）（2m+5）100m+200k1000，w随m的增大而增大，当m20时，w取得最大值，此时2m+545设赠送的书包中B种书包有a个
32、，样品中B种书包有b个，则赠送的书包中A种书包有（5a）个，样品中A种书包有（4b）个，依题意，得：90×20（5a）（4b）+0.5×90（4b）+130（45ab）+0.5×130b70×2090×451370，b102aa，b，（5a），（4b）均为正整数，a=4b=2答：赠送的书包中B种书包有4个，样品中B种书包有2个28（9分）（2020泰州）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度【答案】见解析。【分析】设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为（1+50%）xkm/h，根据时间路程÷速度结合走路线B比走路线A少用6min，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论【解析】设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为（1+50%）xkm/h，依题意，得：25x-30(1+50%)x=660，解得：x50，经检验，x50是原方程的解，且符合题意，（1+50%）x75答：走路线B的平均速度为75km/h