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1、专题24 圆知识点1：圆的概念 1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。4.内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。知识点2：点与圆的位置关系圆和点的位置关系：以点P与圆O为例（设P是一点，则PO
2、是点到圆心的距离），P在O外，POr；P在O上，POr；P在O内，POr。知识点3：直线与圆的位置关系直线与圆有3种位置关系：（1）无公共点为相离；（2）有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；（3）圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。知识点4：圆与圆的位置关系两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且Rr，圆心距为L,则（1）外离LR+r；（2）外切L=R+r；（3）相交R-rLR+r；（
3、4）内切L=R-r；（5）内含LR-r。 知识点5：垂径定律定律垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。知识点6：圆心角定律在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等知识点7：圆周角定律（1）在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径知识点8：圆内接多边形1.圆内接正三角形形2.圆内接正四边形形3.圆内接正六边形形知识点9：判定定理与切线的性质1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2.切线的性质：（1）经过切点垂直于
4、这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。知识点10：圆的公切线1.公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，例如和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。如果两个圆在公切线的同侧，则这公切线叫外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则叫内公切线。（1）若两圆相离，则有4条公切袭线。（2）若两圆外切，则有3条公切线。（3）两圆相交，则有2条公切线。（4）若两圆内切，则有1条公切线。（5）若两圆内含，则有0条公切线。2.公切线性质（1）两圆的两条外公切线长相等；（2）两条内公切线的长也相等。（3）两圆的外公切线与连心线或者交于一点或者
5、平行。知识点11：两圆公共弦定理两圆圆心的连线垂直并且评分这两个圆的公共弦。知识点12：扇形、圆柱和圆锥的相关计算1. 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。2.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。3.圆的计算公式：（1） 圆的周长C=2R=d （2）圆的面积S=R2（3）扇形弧长L=nR/180（4）扇形面积S=nR2/180=LR/2（5）圆柱表面积S表=S侧 +2S底=2Rh+2R2（6）圆柱体的体积V=S底h=R2h（7）圆锥表面积S表=S侧 +S底=Rr+r2（8）圆锥体的体积V=r2h/31.知识思维导图2.圆中常用辅助线的添法在平面几何中，解决与
6、圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。（1）见弦作弦心距有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。（2）见直径作圆周角在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。（3）见切线作半径命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。（4）两圆相切作
7、公切线对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。（5）两圆相交作公共弦对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。3.圆中常用辅助线的添法顺口溜（圆问题的解题技巧）半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平
8、分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。4.拓展知识：圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。重要结论：PAPB=PCPD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。重要结论：CE2=AEBE（3）切割线定理：从
9、圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。重要结论：PA2=PCPB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。重要结论：PCPB=PDPE5.圆问题的基本题型类型1.圆的性质及其重要定理的考查。涉及垂径定理；同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系；圆周角定理；圆内接四边形性质等。类型2.直线与圆的位置关系。涉及相离、内含、同心圆、内切、外切、相交。类型3.圆与圆的位置关系。涉及相离、相交、相切。类型4.圆与多边形计算的考查。涉及圆与多边形的关系的计算，涉及弧长、扇形面积、圆锥侧面积、全面积的计算等。类型5.与圆有
10、关的综合类问题的考查。涉及圆的知识与三角函数、一次函数、二次函数、反比例函数等的综合应用。【例题1】（2020淮安）如图所示，点A、B、C在O上，ACB54°，则ABO的度数是（）A54°B27°C36°D108°【答案】C【解析】根据圆周角定理求出AOB，根据等腰三角形的性质求出ABOBAO，根据三角形内角和定理求出即可ACB54°，圆心角AOB2ACB108°，OBOA，ABOBAO=12×（180°AOB）36°【例题2】（2020南京）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在
11、BC上，则PEF的面积为 cm2【答案】23【解析】连接BF，BE，过点A作ATBF于T，证明SPEFSBEF，求出BEF的面积即可连接BF，BE，过点A作ATBF于TABCDEF是正六边形，CBEF，ABAF，BAF120°，SPEFSBEF，ATBE，ABAF，BTFT，BATFAT60°，BTFTABsin60°=3，BF2BT23，AFE120°，AFBABF30°，BFE90°，SPEFSBEF=12EFBF=12×2×23=23【例题3】（2019陕西）如图，O的半径OA6，过点A作O的切线AP，且AP
12、8，连接PO并延长，与O交于点B、D，过点B作BCOA，并与O交于点C，连接AC、CD（1）求证：DCAP；（2）求AC的长【答案】见解析。【分析】（1）根据切线的性质得到OAP90°，根据圆周角定理得到BCD90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论【解析】（1）证明：AP是O的切线，OAP90°，BD是O的直径，BCD90°，OACB，AOPDBC，BDCAPO，DCAP；（2）解：AOBC，ODOB，延长AO交DC于点E，则AEDC，OE=12BC，CE=12CD，在RtAOP中，OP
13、=62+82=10，由（1）知，AOPCBD，DBOP=BCOA=DCAP，即1210=BC6=DC8，BC=365，DC=485，OE=185，CE=245，在RtAEC中，AC=AE2+CE2=(6+185)2+(245)2=2455圆单元精品检测试卷本套试卷满分120分，答题时间90分钟一、选择题（每小题3分，共36分）1（2020福建）如图，四边形ABCD内接于O，ABCD，A为BD中点，BDC60°，则ADB等于（）A40°B50°C60°D70°【答案】A【解析】A为BD中点，ABAD，ABCD，AB=CD，AB=AD=CD，圆周角
14、BDC60°，BDC对的BC的度数是2×60°120°，AB的度数是13×（360°120°）80°，AB对的圆周角ADB的度数是12×80°=40°2（2020青岛）如图，BD是O的直径，点A，C在O上，AB=AD，AC交BD于点G若COD126°，则AGB的度数为（）A99°B108°C110°D117°【答案】B【解析】根据圆周角定理得到BAD90°，DAC=12COD63°，再由AB=AD得到BD45
15、6;，然后根据三角形外角性质计算AGB的度数BD是O的直径，BAD90°，AB=AD，BD45°，DAC=12COD=12×126°63°，AGBDAC+D63°+45°108°3（2020泸州）如图，O中，AB=AC，ABC70°则BOC的度数为（）A100°B90°C80°D70°【答案】C【解析】先根据圆周角定理得到ABCACB70°，再利用三角形内角和计算出A40°，然后根据圆周角定理得到BOC的度数AB=AC，ABCACB70°
16、;，A180°70°70°40°，BOC2A80°4.（2020绍兴）如图所示，点A，B，C，D，E均在O上，BAC15°，CED30°，则BOD的度数为（）A45°B60°C75°D90°【答案】D【解析】首先连接BE，由圆周角定理即可得BEC的度数，继而求得BED的度数，然后由圆周角定理，求得BOD的度数连接BE，BECBAC15°，CED30°，BEDBEC+CED45°，BOD2BED90°5（2020杭州）如图，已知BC是O的直径，半径
17、OABC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E设AED，AOD，则（）A3+180°B2+180°C390°D290°【答案】D【解析】根据直角三角形两锐角互余性质，用表示CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用表示COD，最后由角的和差关系得结果OABC，AOBAOC90°，DBC90°BEO90°AED90°，COD2DBC180°2，AOD+COD90°，+180°290°，290°6（2020牡丹江）如图所示，四边形ABCD内接于O，连接B
18、D若AC=BC，BDC50°，则ADC的度数是（）A125°B130°C135°D140°【答案】B【解析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出BOC100°，再根据AC=BC得到AOC，从而得到ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果连接OA，OB，OC，BDC50°，BOC2BDC100°，AC=BC，BOCAOC100°，ABC=12AOC50°，ADC180°ABC130°7（2020德州）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面
19、积为（）A243-4B123+4C243+8D243+4【答案】A【分析】设正六边形的中心为O，连接OA，OB首先求出弓形AmB的面积，再根据S阴6（S半圆S弓形AmB）求解即可【解析】设正六边形的中心为O，连接OA，OB由题意，OAOBAB4，S弓形AmBS扇形OABSAOB=6042360-34×42=8343，S阴6（S半圆S弓形AmB）6（1222-83+43）243-4，8（2020乐山）在ABC中，已知ABC90°，BAC30°，BC1如图所示，将ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到ABC则图中阴影部分面积为（）A4B-32C-34D32
20、【答案】B【解析】解直角三角形得到AB=3BC=3，AC2BC2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论ABC90°，BAC30°，BC1，AB=3BC=3，AC2BC2，90×22360-90×3360-（12×1×3-30×3360）=-32，9.（2019山东省滨州市）如图，AB为O的直径，C，D为O上两点，若BCD40°，则ABD的大小为（）A60°B50°C40°D20°【答案】B 【解析】考点是圆周角定理。本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答
21、此题的关键连接AD，先根据圆周角定理得出A及ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论连接AD，AB为O的直径，ADB90°BCD40°，ABCD40°，ABD90°40°50°10(2019甘肃陇南)如图所示，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则ASB的度数是（）A22.5°B30°C45°D60°【答案】C【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半设圆心为0，连接OA.OB，如图，先证明OAB为等腰直角三角形得
22、到AOB90°，然后根据圆周角定理确定ASB的度数设圆心为O，连接OA.OB，如图，弦AB的长度等于圆半径的倍，即ABOA，OA2+OB2AB2，OAB为等腰直角三角形，AOB90°，ASBAOB45°11.（2019湖北天门）如图，AB为O的直径，BC为O的切线，弦ADOC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD下列结论：CD是O的切线；CODB；EDAEBD；EDBCBOBE其中正确结论的个数有（）A4个B3个C2个D1个【答案】A 【解析】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用
23、是解答此题的关键连结DOAB为O的直径，BC为O的切线，CBO90°，ADOC，DAOCOB，ADOCOD又OAOD，DAOADO，CODCOB在COD和COB中，CODCOB（SAS），CDOCBO90°又点D在O上，CD是O的切线；故正确，CODCOB，CDCB，ODOB，CO垂直平分DB，即CODB，故正确；AB为O的直径，DC为O的切线，EDOADB90°，EDA+ADOBDO+ADO90°，ADEBDO，ODOB，ODBOBD，EDADBE，EE，EDAEBD，故正确；EDOEBC90°，EE，EODECB，ODOB，EDBCBOBE
24、，故正确.12.（2019山东省德州市 ）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若ABC40°，则ADC的度数是（） A130°B140°C150°D160°【答案】B【解析】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数由题意得到OAOBOCOD，作出圆O，如图所示，四边形ABCD为圆O的内接四边形，ABC+ADC180°，ABC40°，ADC140°二、填空题（每空3分，共24分）13（2020盐城）如图，在O中，点A在BC上，BOC100°则BAC
25、°【答案】130【解析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论如图，取O上的一点D，连接BD，CD，BOC100°，D50°，BAC180°50°130°14（2020天水）如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 【答案】83【解析】根据半径为8，圆心角为120°的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可设圆锥的底面半径为r，由题意得，120×8180=2r，解得，r=8315（2020攀枝花）如图，已知锐角三角形ABC内接于半
26、径为2的O，ODBC于点D，BAC60°，则OD 【答案】1【分析】连接OB和OC，根据圆周角定理得出BOC的度数，再依据等腰三角形的性质得到BOD的度数，结合直角三角形的性质可得OD【解析】连接OB和OC，ABC内接于半径为2的O，BAC60°，BOC120°，OBOC2，ODBC，OBOC，BODCOD60°，OBD30°，OD=12OB116（2020襄阳）在O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于 °【答案】60°或120°【分析】根据弦BC垂直平分半径OA，可得OD：OB1：2，得BOC1
27、20°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可得弦BC所对的圆周角度数【解析】如图，弦BC垂直平分半径OA，OD：OB1：2，BOD60°，BOC120°，弦BC所对的圆周角等于60°或120°17（2020长沙）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为 【答案】3【解析】根据圆锥的侧面积公式：S侧=12×2rlrl即可得圆锥的侧面展开图的面积圆锥的侧面展开图是扇形，S侧rl3×13，该圆锥的侧面展开图的面积为318（2020扬州）圆锥的底面半径为3，侧面积为12，则这个圆锥的母线长为 【答案】4【解析
28、】根据圆锥的侧面积公式：S侧=12×2rlrl即可进行计算S侧rl，3l12，l4答：这个圆锥的母线长为419（2020扬州）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b3cm，则螺帽边长a cm【答案】3【分析】根据正六边形的性质，可得ABC120°，ABBCa，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案【解析】如图，连接AC，过点B作BDAC于D，由正六边形，得ABC120°，ABBCa，BCDBAC30°由AC3，得CD1.5cosBCD=CDBC=32，即1.5a=32，解得a=320（2020连云
29、港）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角 °【答案】48【分析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出A1A2A3A2A3A4120°，得出CA2A3A2A3C60°，则C60°，由正五边形的性质得出B2B3B4108°，由平行线的性质得出EDA4B2B3B4108°，则EDC72°，再由三角形内角和定理即可得出答案【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交
30、A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和（62）×180°720°，A1A2A3A2A3A4=720°6=120°，CA2A3A2A3C180°120°60°，C180°60°60°60°，五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和（52）×180°540°，B2B3B4=540°5=108°，A3A4B3B4，EDA4B2B3B4108°，EDC18
31、0°108°72°，CED180°CEDC180°60°72°48°三、解答题（5个小题，每题12分，共60分）21（2020聊城）如图，在ABC中，ABBC，以ABC的边AB为直径作O，交AC于点D，过点D作DEBC，垂足为点E（1）试证明DE是O的切线；（2）若O的半径为5，AC610，求此时DE的长【答案】见解析。【分析】（1）连接OD、BD，求出BDAC，瑞成ADDC，根据三角形的中位线得出ODBC，推出ODDE，根据切线的判定推出即可；（2）根据题意求得AD，根据勾股定理求得BD，然后证得CDEABD，根
32、据相似三角形的性质即可求得DE【解析】（1）证明：连接OD、BD，AB是O直径，ADB90°，BDAC，ABBC，D为AC中点，OAOB，ODBC，DEBC，DEOD，OD为半径，DE是O的切线；（2）由（1）知BD是AC的中线，ADCD=12AC=310，O的半径为5，AB6，BD=AB2-AD2=102-(310)2=10，ABAC，AC，ADBCED90°，CDEABD，CDAB=DEBD，即31010=DE10，DE322（2020上海）如图，ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D（1）求证：BAC2ABD；（2）当BCD是等腰三角形时，
33、求BCD的大小；（3）当AD2，CD3时，求边BC的长【答案】见解析。【分析】（1）连接OA利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可（2）分三种情形：若BDCB，则CBDCABD+BAC3ABD若CDCB，则CBDCDB3ABD若DBDC，则D与A重合，这种情形不存在分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可（3）如图3中，作AEBC交BD的延长线于E则AEBC=ADDC=23，推出AOOH=AEBH=43，设OBOA4a，OH3a，根据BH2AB2AH2OB2OH2，构建方程求出a即可解决问题【解析】（1）证明：连接OAAABAC，AB=AC，OABC，BAOCAO，OAOB，ABDBAO
34、，BAC2BAD（2）解：如图2中，延长AO交BC于H若BDCB，则CBDCABD+BAC3ABD，ABAC，ABCC，DBC2ABD，DBC+C+BDC180°，8ABD180°，C3ABD67.5°若CDCB，则CBDCDB3ABD，C4ABD，DBC+C+CDB180°，10ABD180°，BCD4ABD72°若DBDC，则D与A重合，这种情形不存在综上所述，C的值为67.5°或72°（3）如图3中，作AEBC交BD的延长线于E则AEBC=ADDC=23，AOOH=AEBH=43，设OBOA4a，OH3a，B
35、H2AB2AH2OB2OH2，2549a216a29a2，a2=2556，BH=524，BC2BH=52223（2020金华）如图，AB的半径OA2，OCAB于点C，AOC60°（1）求弦AB的长（2）求AB的长【答案】见解析。【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得AC的长，然后即可得到AB的长；（2）根据AOC60°，可以得到AOB的度数，然后根据弧长公式计算即可【解析】（1）AB的半径OA2，OCAB于点C，AOC60°，ACOAsin60°2×32=3，AB2AC23；（2）OCAB，AOC60°，AOB120°，
36、OA2，AB的长是：120×2180=4324（2020齐齐哈尔）如图，AB为O的直径，C、D为O上的两个点，AC=CD=DB，连接AD，过点D作DEAC交AC的延长线于点E（1）求证：DE是O的切线（2）若直径AB6，求AD的长【答案】见解析。【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到BOD=13×180°60°，根据等腰三角形的性质得到ADODAB30°，得到EDA60°，求得ODDE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到ADB90°，解直角三角形即可得到结论【解析】（1）证明：连接OD，AC=CD=DB，BO
37、D=13×180°60°，CD=DB，EADDAB=12BOD30°，OAOD，ADODAB30°，DEAC，E90°，EAD+EDA90°，EDA60°，EDOEDA+ADO90°，ODDE，DE是O的切线；（2）解：连接BD，AB为O的直径，ADB90°，DAB30°，AB6，BD=12AB3，AD=62-32=3325（2020辽阳）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，CAB90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE（1）
38、求证：DE与A相切；（2）若ABC60°，AB4，求阴影部分的面积【答案】见解析。【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到ADBC，ADBC，求得DAEAEB，根据全等三角形的性质得到DEACAB，得到DEAE，于是得到结论；（2）根据已知条件得到ABE是等边三角形，求得AEBE，EAB60°，得到CAEACB，得到CEBE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论【解析】（1）证明：连接AE，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，DAEAEB，AEAB，AEBABC，DAEABC，AEDBAC（AAS），DEACAB，CAB90°，DEA9
39、0°，DEAE，AE是A的半径，DE与A相切；（2）解：ABC60°，ABAE4，ABE是等边三角形，AEBE，EAB60°，CAB90°，CAE90°EAB90°60°30°，ACB90°B90°60°30°，CAEACB，AECE，CEBE，SABC=12ABAC=12×4×43=83，SACE=12SABC=12×83=43，CAE30°，AE4，S扇形AEF=30×AE2360=30×42360=43，S阴影SACES扇形AEF43-43