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1、专题13 轴对称知识点1：轴对称1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。2.对称点：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。3.线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。线段的垂直平分线的性质（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。（2）角平分线上的点到角两边距离相等。（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。（4）与一条线段
2、两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。知识点2：画轴对称图形的方法几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。知识点3：等腰三角形与等边三角形1.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。3.等腰三角形的判定：等角对等边。4.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于60°，5.等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是6
3、0°的等腰三角形是等边三角形 有两个角是60°的三角形是等边三角形。6.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。7直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。一、学习线段的垂直平分线要求1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形. 4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题二、线段的垂直平分线要点梳理要点一、线段的垂直平分线1. 线段的垂直平分线定义。经过线段中点并且垂直于这条线段的直线
4、，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线2.线段垂直平分线的做法。求作线段AB的垂直平分线.作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；说明：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到两弧的交点了（2）作直线CD，CD即为所求直线说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一。同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段垂直平分线，画出到线段两个端点
5、的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上要点解读：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心外心. 要点解读:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与
6、斜边中点重合. 3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.三、线段的垂直平分线试题类型类型一：线段的垂直平分线定理类型二：线段的垂直平分线的逆定理类型三：线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用类型四：尺规作图【例题1】（2019江苏泰州）如图图形中的轴对称图形是（）ABCD【例题2】如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点ABC（即三角形的顶点都
7、在格点上）（1）在图中作出ABC关于直线l对称的A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）（2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积【例题3】（2020滨州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N若直线BA交直线CD于点O，BC5，EN1，则OD的长为（）A123B133C143D153轴对称单元精品检测试卷本套试卷满分120分，答题时间90分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1.（2019山东东营）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）2.若下列
8、选项中的图形均为正多边形，则哪一个图形恰有4条对称轴？（） A B C D 3.如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P时直线MN上的点，下列判断错误的是（）AAM=BM BAP=BN CMAP=MBP DANM=BNM4.下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A B C D5.如图,ABC关于直线l的对称图形是DEF，下列判断错误的是（ ）A. AB=DE B.BCEF C.直线lBE D.ABC=DEF6.平面直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴对称的点的坐标为（）A（2，3） B（2，3） C（3，2） D（3，2）7.小莹和小博士下棋，小莹执白子，小博士执黑子如图，棋盘中心黑子
9、的位置用（-1，0）表示，右下角黑子的位置用（0，-1）表示小莹将第4枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形他放的位置是（） A（-2，1） B（-1，1） C（1，-2） D（-1，-2） 8如图，AOB=120°，OP平分AOB，且OP=2若点M，N分别在OA，OB上，且PMN为等边三角形，则满足上述条件的PMN有（）A1个 B2个 C3个 D3个以上9.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰ABC中，DE垂直平分AB于D，则ACE的周长为（）A2+2 B2+ C4 D310.如图，四边形ABCD中，BAD120°，BD90°，在BC、
10、CD上分别找一点M、N，使AMN周长最小时，则AMNANM的度数为（ ）A130° B120° C110° D100°二、填空题（每空3分，共15分）11（2020杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF若点E，F，D在同一条直线上，AE2，则DF，BE12（2020武汉）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB1，AD2设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是 13（2020甘孜州）如图，有一张长方形纸片ABCD，AB8cm，BC10cm，点
11、E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边BC恰好经过点D，则线段DE的长为cm14（2020铜仁市）如图，在矩形ABCD中，AD4，将A向内翻折，点A落在BC上，记为A1，折痕为DE若将B沿EA1向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B1，则AB三、解答题（8个小题，共75分）15.（5分）如图，作出菱形ABCD关于直线l的对称图形.16.（8分）如图，已知ABC三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（3，3），C（1，3）.画出ABC关于x轴对称的A1B1C1，并写出点A1的坐标；画出ABC关于原点O对称的A2B2C2，并写出点A2的坐标.17.（12分）（2019重庆）如图，在ABC中，A
12、BAC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分ABC交AC于点E，过点E作EFBC交AB于点F（1）若C36°，求BAD的度数；（2）求证：FBFE18.（10分）（2019杭州）如图，在ABC中，ACABBC（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：APC2B（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ若AQC3B，求B的度数19. （8分）如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？20.（8分）如图，A、B为重庆市内两个较大的商圈，现需要在主要交通干道l上修建一个轻轨站P，问如何修建，才能使得人们出行逛街更便捷.21（12分）如图，直线ABCD，ACD的平分线CE交AB于点F，AFE的平分线交CA延长线于点G（1）证明：ACAF；（2）若FCD30°，求G的大小22（12分）（2020泰安）若ABC和AED均为等腰三角形，且BACEAD90°（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CFCD求证：EBDC，EBGBFC