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1、专题27 相似知识点1：相似三角形定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形 知识点2：相似三角形的判定:定理1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；定理2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；定理3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；定理4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；定理5.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。定理6.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形
2、相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 知识点3：相似三角形的性质:性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。性质2.相似三角形周长的比等于相似比。性质3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。知识点4：位似1.位似图形、位似中心、位似的定义每幅图的两个多边形不仅相似，而且对应定点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心。这时我们说这两个图形关于这点位似。2.位似比两个相似图形的相似比，成为位似比。3.位似图形的性质。4.要知道用位似将一个图形放大或者缩小的办法。能说出平移、轴对称、旋转和位似之间的异同，并
3、举出一些他们的实际应用的例子。一、用思维导图记忆本单元知识内在联系二、以一道几何题解法为例，说明添加辅助线，构造相似形的方法和技巧已知：如图，ABC中，ABAC，BDAC于D求证： BC22CD·AC整体分析：欲证 BC22CD·AC，只需证但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似由“2”所放的位置不同，证法也不同证法一（构造2CD）：如图，我们很容易想到，在AC截取DEDC，（或者说在AC上取一点E，使得CD=DE, 这样就有CE=2CD）BDA
4、C于D，BD是线段CE的垂直平分线，BC=BE，C=BEC，又 ABAC，C=ABC BCEACB， BC22CD·AC证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AEAC，连结BE，得到EBC ABAC， ABAC=AEEBC=90°，又BDACEBC=BDC=EDB=90°，E=DBC，EBCBDC即BC22CD·AC证法三（构造） ：如图，取BC的中点E，连结AE，则EC=又AB=AC，AEBC，ACE=CAEC=BDC=90°ACEBCD即BC22CD·AC证法四（构造）：如图，取BC中点E，连结DE，则CE= BDAC，
5、BE=EC=ED，EDC=C又AB=AC，ABC=C，ABCEDC，即BC22CD·AC说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧在解题中方法要灵活，思路要开阔【例题1】（2020重庆）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF，使DEF与ABC成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（）A5B2C4D25【例题2】（2020盐城）如图，BCDE，且BCDE，ADBC4，AB+DE10则AEAC的值为 【例题3】（辅助线添法）已知在ABC中，AD是BAC的平分线求证：AB/AC=
6、BD/CD相似单元精品检测试卷本套试卷满分120分，答题时间90分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1.（2019湖南邵阳）如图，以点O为位似中心，把ABC放大为原图形的2倍得到ABC，以下说法中错误的是（）AABCABCB点C、点O、点C三点在同一直线上CAO：AA=1：2DABAB2（2020牡丹江）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC10，点E在BC边上，DFAE，垂足为F若DF6，则线段EF的长为（）A2B3C4D53.（2019海南省）如图，在RtABC中，C90°，AB5，BC4点P是边AC上一动点，过点P作PQAB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分ABC时，
7、AP的长度为（）A.BCD4（2020嘉兴）如图，在直角坐标系中，OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）以点O为位似中心，在第三象限内作与OAB的位似比为13的位似图形OCD，则点C坐标（）A（1，1）B（-43，1）C（1，-43）D（2，1）5（2020安徽）如图，RtABC中，C90°，点D在AC上，DBCA若AC4，cosA=45，则BD的长度为（）A94B125C154D46（2020无锡）如图，等边ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，PQ=12，有下列结论：CP与QD可能相等；AQD与BCP可能相似；四边形PCDQ面积的最
8、大值为31316；四边形PCDQ周长的最小值为3+372其中，正确结论的序号为（）ABCD7（2020成都）如图，直线l1l2l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB5，BC6，EF4，则DE的长为（）A2B3C4D1038（2020哈尔滨）如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EFBC，交AD于点F，过点E作EGAB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）AAEEC=EFCDBEFCD=EGABCAFFD=BGGCDCGBC=AFAD9（2020遵义）如图，ABO的顶点A在函数y=kx（x0）的图象上，ABO90°，过AO边的三等分点M、N分
9、别作x轴的平行线交AB于点P、Q若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（）A9B12C15D1810（2020铜仁市）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE1，DAM45°，点F在射线AM上，且AF=2，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF下列结论：ECF的面积为172；AEG的周长为8；EG2DG2+BE2；其中正确的是（）ABCD二、填空题（每空3分，共30分）11.（2019广西百色）如图，ABC与A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B
10、'（6，8），则A'B'C'的面积为 12（2020湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形如图，已知RtABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与RtABC相似的格点三角形中面积最大的三角形的斜边长是 13（2020无锡）如图，在RtABC中，ACB90°，AB4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB2AD，AE3EC，连接BE，CD，相交于点O，则ABO面积最大值为 14.（2019浙江宁波）如图所示，RtABC中，C90°，AC12，点D在边BC上，C
11、D5，BD13点P是线段AD上一动点，当半径为6的P与ABC的一边相切时，AP的长为15. 2019黑龙江省龙东地区） 一张直角三角形纸片ABC，ACB90°，AB10，AC6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当BDE是直角三角形时，则CD的长为_16（2019山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB3，BC12，E为AD中点，F为AB上一点，将AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是 17.（2019江苏常州）如图，在矩形ABCD中，AD3AB3点P是AD的中点，点E在BC上，CE2BE，点M、N在线段BD上若PM
12、N是等腰三角形且底角与DEC相等，则MN_18.（2019山东省滨州市）如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分BCD交AB于点E，交BD于点F，且ABC60°，AB2BC，连接OE下列结论：EOAC；SAOD4SOCF；AC：BD：7；FB2OFDF其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）19.（2019四川泸州）如图，在等腰RtABC中，C90°，AC15，点E在边CB上，CE2EB，点D在边AB上，CDAE，垂足为F，则AD的长为 20.（2019四川省凉山州）在ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则SAE
13、F：SCBF是 三、解答题（6个小题，每题10分，共60分）21（2020菏泽）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OAOC，OBOD+CD（1）过点A作AEDC交BD于点E，求证：AEBE；（2）如图2，将ABD沿AB翻折得到ABD'求证：BD'CD；若AD'BC，求证：CD22ODBD22（2020武汉）问题背景 如图（1），已知ABCADE，求证：ABDACE；尝试应用 如图（2），在ABC和ADE中，BACDAE90°，ABCADE30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，ADBD=3，求DFCF的值；拓展创新 如图（3）
14、，D是ABC内一点，BADCBD30°，BDC90°，AB4，AC23，直接写出AD的长23（2020南京）如图，在ABC和A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，ADAB=A'D'A'B'（1）当CDC'D'=ACA'C'=ABA'B'时，求证ABCA'B'C证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格（2）当CDC'D'=ACA'C'=BCB'C'时，判断ABC与A
15、'B'C是否相似，并说明理由24.（2019湖北省荆门市）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC2m，BD2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE25.（2019四川省凉山州）如图，ABDBCD90°，DB平分ADC，过点B作BMCD交AD于M连接CM交DB于N（1）求证：BD2ADCD；（2）若CD6，AD8，求MN的长26(2019安徽)如图，RtABC中，ACB90°，ACBC，P为ABC内部一点，且APBBPC135°（1）求证：PABPBC；（2）求证：PA2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12h2h3