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1、专题17 勾股定理知识点1：勾股定理1.直角三角形的性质（重点记住并理解的知识）：(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；(3)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.2.勾股定理： 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即3.勾股定理的作用（1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；（2）用于解决带有平方关系的证明问题；（3）与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用 知识点2：勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。用勾股定
2、理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2a2+b2，则ABC是以C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则ABC是以C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则ABC为锐角三角形）。2.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。3.勾股定理的逆定理的综合应用综合运用勾股定理及其逆定理，将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法，在这里，一方面要熟记常用的勾股数；
3、另一方面要注意到：如果一个三角形的三边长已知或具有某些比例关系，那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角三角形 4互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。A.命题：判断一件事情的语句，叫做命题。命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。B.命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）和假命题（错误的命题）。所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
4、C.公理:人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。D.定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。E.证明:判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。证明的一般步骤（1）根据题意，画出图形。（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。5.直角三角形的判定方法（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形。（2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。勾股定理是直角三角形具备的重要性质。本章要求学生在理解勾股定理的
5、前提下，学会利用这个定理解决实际问题。可以通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受。一、学会建构思维导图是理解知识的重要表现二、理解勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数 (1)由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：满足a2b2c2；都是正整数两者缺一不可(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2b2c2(但不一定是勾股数)，以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm为边长的三角形是直角三角形【例题1】（2020宁波）如图，在RtABC中，ACB90°，CD为中线，延长C
6、B至点E，使BEBC，连结DE，F为DE中点，连结BF若AC8，BC6，则BF的长为（）A2B2.5C3D4【例题2】（2020苏州）如图，在ABC中，已知AB2，ADBC，垂足为D，BD2CD若E是AD的中点，则EC勾股定理单元精品检测试卷本套试卷满分120分，答题时间90分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A斜边长为5 B三角形的周长为25C斜边长为25 D三角形的面积为202.ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC的周长为（）A42 B32C42或32 D37或333已知直角三角形中30°角所对
7、的直角边长是cm，则另一条直角边的长是（）A4cm B cm C6cm D cm4如图，在ABC中，三边a，b，c的大小关系是（）AabcBcabCcbaDbac5若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于（）A或B或C D6把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A2倍B4倍C3倍D5倍7在ABC中，AB10，AC2，BC边上的高AD6，则另一边BC等于( )A10 B8 C6或10 D8或108.ABC中，a、b、c是三角形的三条边，若（a+b）2c2=2ab，则此三角形应是（）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形9.以下列各组数为边长，能组
8、成直角三角形的是（ ）A8，15，17B4，5，6C5，8，10D8，39，4010.（1）7,24,25；（2）8,15,19；（3）0.6,0.8,1.0；(4)3n,4n,5n(n1，且为自然数)上面各组数中，勾股数有（ ）组A. 2 B.3 C.4 D.5二、填空题（每空3分，共15分）11.在RtABC中，C=90°，b=6，c=10，则a=12.如图，在ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=13直角三角形的两条直角边长为5和12，则斜边上的高是 14（2020安顺）如图，ABC中，点E在边AC上，EBEA，A2CBE，CD垂
9、直于BE的延长线于点D，BD8，AC11，则边BC的长为 15.如图，在ABC中，D为BC边上的点，已知：AB13，AD12，AC15，BD5，则DC=_.三、解答题（6个小题，共75分）16.（10分）如图，ADAB，BDBC，AB=3，AD=4，CD=13，求BC的大小？17.（10分）如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再转向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？18.（15分）四边形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。19.（15分）如果ABC的三边长分别为 a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数），则ABC是直角三角形吗？20.（15分）在ABC中，AB=13,AC=15,高AD=12,则ABC的周长为多少. 图甲21.（10分）如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2b2c233810a24b26c，试说明这个三角形是直角三角形