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1、玩转压轴题，争取满分之备战2020年中考数学解答题高端精品专题六 图形运动中的计算说理问题【考题研究】从近几年的中考试题来分析，简单的论证与单独的计算已经开始从考题中离去，推理与计算的融合已经成为了近期的考题重点，这种问题主要从计算能力和推理能力进行综合考查，也成为了考题中的压轴之题，从而进行专题压轴训练也是非常重要的。【解题攻略】计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值压轴题中的代数计算题，主要是函数类题函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标还有一类计算题，就是从特殊到一般，通
2、过计算寻找规律代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y，得到关于x的一元二次方程，然后根据确定交点的个数 【解题类型及其思路】我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法如图1，已知直线yx1与x轴交于点A，抛物线yx22x3与直线yx1交于A、B两点，求点B的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A的坐标，另一个解计算点的坐标几何法是这样的：设直线AB与y轴分别交于C，那么tanAOC1作BEx轴于E，那么设B(x, x22x3)，于是请注意，这个分式的分子因式分解后，这个分式能不能约分，为什么？因为x1的几何意义是点A，
3、由于点B与点A不重合，所以x1，因此约分以后就是x31这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便 【典例指引】类型一 【计算说理盈利问题】 【典例指引1】某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 16 元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价 y（元）与一次性批发量 x（件）（x为正整数）之间满 足如图所示的函数关系（1）直接写出 y与 x之间所满足的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；（2）若一次性批发量不低于 20 且不超过 60 件时，求获得的利润 w 与 x 的函数 关系式，同时当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？【答
4、案】（1）当且x为整数时，；当且x为整数时，；当且x为整数时，y=20；（2）一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元【解析】【分析】（1）认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数；（2）根据利润=（售价-成本）×件数，列出利润的表达式，求出最值【详解】（1）当且x为整数时，；当且x为整数时，；当且x为整数时，；（2）当且x为整数时，当x=34时，w最大，最大值为578答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元【名师点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用，根据题意列出函数表达式并熟练运用性质是解决问题的关键【举一反三】某商场销售一种商品
5、的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？【答案】（1）y；（2）W;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675【解析】【分析】（1）当40x60时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，当60x90时，设y与x之间的函数关系式为y=mx+n，解方程组即可得到结论；（2）当40x60时，当60x90时，根据题意即可得到函数解析式；（3）当40x60时，W
6、=-x2+210x-5400，得到当x=60时，W最大=-602+210×60-5400=3600，当60x90时，W=-3x2+390x-9000，得到当x=65时，W最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论【详解】解：（1）当40x60时，设y与x之间的函数关系式为ykx+b，将（40，140），（60，120）代入得，解得：，y与x之间的函数关系式为yx+180；当60x90时，设y与x之间的函数关系式为ymx+n，将（90，30），（60，120）代入得，解得：，y3x+300；综上所述，y；（2）当40x60时，W（x30）y（
7、x30）（x+180）x2+210x5400，当60x90时，W（x30）（3x+300）3x2+390x9000，综上所述，W；（3）当40x60时，Wx2+210x5400，10，对称轴x105，当40x60时，W随x的增大而增大，当x60时，W最大602+210×6054003600，当60x90时，W3x2+390x9000，30，对称轴x65，60x90，当x65时，W最大3×652+390×6590003675，36753600，当x65时，W最大3675，答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675【点睛】本题考查了把实际问题
8、转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键类型二 【计算解决图形的几何变换问题】 【典例指引2】如图1，抛物线yax2+（a+2）x+2（a0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点P（m，0）（0m4），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M（1）求a的值；（2）若PN：MN1：3，求m的值；（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为（0°90°），连接AP2、BP2，求AP2+BP2的最小值【答案】(1) (2) 3 (3)
9、【解析】分析：（1）把A点坐标代入可得到关于a的方程，可求得a的值；（2）由OABPAN可用m表示出PN，且可表示出PM，由条件可得到关于m的方程，则可求得m的值；（3）在y轴上取一点Q，使，可证得P2OBQOP2，则可求得Q点坐标，则可把AP2+BP2化为AP2+QP2，利用三角形三边关系可知当A、P2、Q三点在一条线上时有最小值，则可求得答案详解：（1）A（4，0）在抛物线上，0=16a+4（a+2）+2，解得a=-；（2）由（1）可知抛物线解析式为y=-x2+x+2，令x=0可得y=2，OB=2，OP=m，AP=4-m，PMx轴，OABPAN，即，PN=（4-m），M在抛物线上，PM=-
10、m2+m+2，PN：MN=1：3，PN：PM=1：4，-m2+m+2=4×（4-m），解得m=3或m=4（舍去）；（3）在y轴上取一点Q，使，如图，由（2）可知P1（3，0），且OB=2，且P2OB=QOP2，P2OBQOP2，当Q（0，）时QP2=BP2，AP2+BP2=AP2+QP2AQ，当A、P2、Q三点在一条线上时，AP2+QP2有最小值，A（4，0），Q（0，），AQ=，即AP2+BP2的最小值为【名师点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形三边关系等知识在（2）中用m分别表示出PN和PM是解题的关键，在（3）确定出取得最小值
11、时的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是（3）中构造三角形相似，难度较大【举一反三】如图 1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形 OACB 的顶点 A、B 分别在 x 轴与 y 轴上，已知 OA=6，OB=10点 D 为 y 轴上一点，其坐标为（0，2）， 点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿线段 ACCB 的方向运动，当点 P 与点 B 重合 时停止运动，运动时间为 t 秒（1）当点 P 经过点 C 时，求直线 DP 的函数解析式；（2）如图，把长方形沿着 OP 折叠，点 B 的对应点 B恰好落在 AC 边上，求点 P 的坐标（3）点 P 在运动过程中是
12、否存在使BDP 为等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由【答案】（1）y=x+2；（2）y=x+2；（2）S=2t+16，点P的坐标是（，10）；（3）存在，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，102）【解析】分析：（1）设直线DP解析式为y=kx+b，将D与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；（2）当P在AC段时，三角形ODP底OD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边OD为固定值，表示出高，即可列出S与t的关系式；设P（m，10），则PB=PB=m，根据勾股定理求出m的值，求出此时P坐标即可；（3）存在，分别以BD，DP，BP为底
13、边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可详解：（1）如图1，OA=6，OB=10，四边形OACB为长方形，C（6，10）设此时直线DP解析式为y=kx+b，把（0，2），C（6，10）分别代入，得，解得则此时直线DP解析式为y=x+2；（2）当点P在线段AC上时，OD=2，高为6，S=6；当点P在线段BC上时，OD=2，高为6+102t=162t，S=×2×（162t）=2t+16；设P（m，10），则PB=PB=m，如图2，OB=OB=10，OA=6，AB=8，BC=108=2，PC=6m，m2=22+（6m）2，解得m=则此时点P的坐标是（，10）；（
14、3）存在，理由为：若BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，当BD=BP1=OBOD=102=8，在RtBCP1中，BP1=8，BC=6，根据勾股定理得：CP1=2，AP1=102，即P1（6，102）；当BP2=DP2时，此时P2（6，6）；当DB=DP3=8时，在RtDEP3中，DE=6，根据勾股定理得：P3E=2，AP3=AE+EP3=2+2，即P3（6，2+2），综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，102）点睛：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数
15、法是解本题第一问的关键类型三 【计算解决特殊三角形的存在性问题】 【典例指引3】已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点.（1）求点，点的坐标；（2）我们规定：对于直线，直线，若，则直线；反过来也成立.请根据这个规定解决下列问题：直线与直线是否垂直？并说明理由；若点是抛物线的对称轴上一动点，是否存在点与点，点构成以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）点坐标为，点坐标为；（2） 不垂直，理由详见解析；存在，点的坐标为或.【解析】【分析】（1）令，求出x的值，根据点在点的左侧求出A的坐标，令，求出y的值即可求出C的坐标；（2）分别求出两条直线
16、的斜率，然后根据两斜率的积不等于-1即可证明两直线不垂直；根据点，点的坐标求出直线AC的函数表达式，然后对时与时两种情况分别讨论计算即可.【详解】解：（1）当时，解得，点在点的左侧，点坐标为当时，点坐标为.（2）不垂直；由，得，由，得直线与直线不垂直；存在.抛物线的对称轴为直线.设直线，根据题意得,解得直线的函数表达式为分两种情况：）当时，如图，根据新定义可设点坐标为直线的函数表达式为，当时，此时点坐标为；）当时，如图，根据新定义可设点坐标为，直线的函数表达式为，当时，此时点坐标为；综上，点的坐标为或.【名师点睛】本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的图象与性质，直角三角形的性质，以
17、及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握二次函数图象与性质是解本题的关键【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C：连接BC，点P为线段BC上方抛物线上的一动点，连接OP交BC于点Q（1）如图1，当值最大时，点E为线段AB上一点，在线段BC上有两动点M，N（M在N上方），且MN=1，求PM+MN+NE-BE的最小值；（2）如图2，连接AC，将AOC沿射线CB方向平移，点A，C，O平移后的对应点分别记作A1，C1，O1，当C1B=O1B时，连接A1B、O1B，将A1O1B绕点O1沿顺时针方向旋转90°后得A2O1B
18、1在直线x=上是否存在点K，使得A2B1K为等腰三角形？若存在，直接写出点K的坐标；不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）K1 （，），K2（，-2），K3（，-5），K4（，）【解析】【分析】（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，待定系数法求出直线BC解析式，过P作PTy轴交BC于T，构造PTQACQ，设点P的横坐标为m，通过相似三角形性质得出关于m的函数表达式，利用二次函数最值即可；（2）存在先求出AOC沿射线CB方向平移，并能使C1B=O1B时A1O1B各顶点的坐标，在求出A1O1B绕点O1沿顺时针方向旋转90°后得A2O1B1的各顶点坐标，最后按照A2B1K为等腰
19、三角形进行分类讨论即可【详解】解：（1）在抛物线y=-x2+x+3中，令x=0，得y=3，C（0，3）；令y=0，得-x2+x+3=0，解得：x1=-1，x2=4，B（4，0）设直线BC解析式为y=kx+b，将B（4，0），C（0，3）；代入并解得：k=，b=3直线BC解析式为y=x+3；过P作PTy轴交BC于T，设P（t，+3），则T（t，+3），如图所示：PT=（+3）-（+3）=+3t，OC=3；PTy轴PTQACQ=+t=当t=2时，值最大；此时，P（2，），PT=3；在RtBOC中，BC=5，当NEBC时，NE=BE，此时，NE-BE=0最小，MN=1，PM+MN的最小值即PM最小值
20、PMBC时，PM最小过P作PMBC于M，PMT=BOC=90°PTM=BCO=PM=PT=，故PM+MN+NE-BE的最小值=；（2）存在在AOC中，AOC=90°，OA=1，OC=3，AC=如图2，由平移得：C1O1=OC=3，A1O1=OA=1，A1C1=AC=，C1B=O1B，C1O1OBC1G=C1O1=BG=2，OG=2C1（2，），O1（2，），A1（1，）；C1B=O1B=，A1B=；A1O1B绕点O1沿顺时针方向旋转90°后得A2O1B1，A2O1=1，O1B1=，A2B1=；A2（2，），B1（，）A2B1K为等腰三角形，A2K=B1K或A2B1
21、=B1K或A2K=A2B1，设K（，m）当A2K=B1K时，则：+=+，解得：m=-，K1 （，），当A2B1=B1K时，则：+=，解得：m1=-2，m2=-5，K2（，-2），K3（，-5），当A2K=A2B1时，则：+=，解得：m1=（舍），m2=，K4（，）；综上所述，点K的坐标为：K1 （，），K2（，-2），K3（，-5），K4（，）【点睛】考查了二次函数图象和性质、二次函数最值应用、等腰三角形性质、相似三角形判定及性质、勾股定理等,综合性较强，难度较大，解题关键是灵活运用相关知识和作出辅助线类型四 【计算解决图形面积的最值问题】 【典例指引4】如图 1，已知抛物
22、线 y = ax+ bx + c 经过 A(-3,0),B (1,0 )，C (0,3 )三点，其顶点为D，对称轴是直线l ， l 与 x 轴交于点 H .（1）求该抛物线的解析式；（2）若点 P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求DPBC 周长的最小值；（3）如图 2，若 E 是线段 AD 上的一个动点（ E 与 A, D 不重合），过 E 点作平行于 y 轴的直线交抛物线于点 F ，交 x 轴于点G ，设点 E 的横坐标为m ，四边形 AODF 的面积为 S 。求 S 与 m 的函数关系式； S 是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点 E 的坐标，若不存在，请说明理由。【答案】（1）
23、y=-x2-2x+3；（2）；（3）S=-m2-4m+3（-3m-1）；存在，点E为：（-2，2）.【解析】【分析】（1）设交点式y=a（x+3）（x-1），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=-（x+1）2+4，从而得到D（-1，4），抛物线的对称轴为直线x=-1，连接AC交直线x=-1于P，如图1，利用两点之间线段最短得到此时PB+PC的值最小，PBC周长的最小值，然后利用勾股定理计算出AC和BC即可得到PBC周长的最小值；（3）如图2，先利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=2x+6，设E（m，2m+6）（-3m-1），则F（m，-m2-2m+3），则
24、可表示出EF=-m2-4m-3，根据三角形面积公式，利用S=SADF+SADO得到S=-m2-4m-3+6；先利用配方法得到S=-（m+2）2+7，然后根据二次函数的性质解决问题【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得a×3×（-1）=3，解得a=-1，抛物线解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x2-2x+3；（2）y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，D（-1，4），抛物线的对称轴为直线x=-1，连接AC交直线x=-1于P，如图1，则PA=PB，PB+PC=PC+PA=AC，此时PB+PC的值最小，此时PBC周长的最小
25、值，PBC周长的最小值=AC+BC=；（3）如图2，设直线AD的解析式为y=kx+b，把A（-3，0），D（-1，4）代入得，解得，直线AD的解析式为y=2x+6，设E（m，2m+6）（-3m-1），则F（m，-m2-2m+3），EF=-m2-2m+3-（2m+6）=-m2-4m-3，S=SADF+SADO=×EF×2+×3×4=EF+6=-m2-4m-3+6=-m2-4m+3（-3m-1）；存在S=-（m+2）2+7，当m=-2时，S有最大值，最大值为7，此时E点坐标为（-2，2）【名师点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特
26、征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能利用两点之间线段最短解决最短路径问题【举一反三】如图，直线l：y3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线yax22ax+a+4（a0）经过点B，交x轴正半轴于点C（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；（3）将点A绕原点旋转得点A，连接CA、BA，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA以每秒3个单位的速度运动到A，再沿线段AC以每秒1个单位长度
27、的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？【答案】（1）yx2+2x+3；（2）S与m的函数表达式是S，S的最大值是，此时动点M的坐标是（，）；（3）点M在整个运动过程中用时最少是秒【解析】【分析】（1）首先求出B点的坐标，根据B点的坐标即可计算出二次函数的a值，进而即可计算出二次函数的解析式;（2）计算出C点的坐标，设出M点的坐标，再根据ABM的面积为SS四边形OAMBSAOBSBOM+SOAMSAOB，化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可.（3）首先证明OHAOAB，再结合AH+ACHC即可计算出t的最小值.【详解】（1）将x0代入y3x+3，得y3，点B的坐标为
28、（0，3），抛物线yax22ax+a+4（a0）经过点B，3a+4，得a1，抛物线的解析式为：yx2+2x+3；（2）将y0代入yx2+2x+3，得x11，x23，点C的坐标为（3，0），点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，点M的横坐标为m，0m3，点M的坐标为（m，m2+2m+3），将y0代入y3x+3，得x1，点A的坐标（1，0），ABM的面积为S，SS四边形OAMBSAOBSBOM+SOAMSAOB，化简，得S，当m时，S取得最大值，此时S，此时点M的坐标为（，），即S与m的函数表达式是S，S的最大值是，此时动点M的坐标是（，）；（3）如右图所示，取点H的坐标为（0，），连接
29、HA、OA，HOAAOB，OHAOAB，即，AH+ACHC，t，即点M在整个运动过程中用时最少是秒【点睛】本题主要考查抛物线的性质，关键在于设元，还有就是（3）中利用代替法计算t的取值范围，难度系数较大，是中考的压轴题.【新题训练】1东坡商贸公司购进某种水果成本为20元/，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价（元/）与时间（天）之间的函数关系式，为整数，且其日销售量()与时间（天）的关系如下表：时间（天）1361020日销售量（）11811410810080（1）已知与之间的变化符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？【答案】（
30、1）第30天的日销售量为；（2）当时，【解析】【分析】（1）设y=kt+b，利用待定系数法即可解决问题（2）日利润=日销售量×每kg利润，据此分别表示前24天和后24天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论【详解】（1）设y=kt+b，把t=1，y=118；t=3，y=114代入得到：解得,，y=-2t+120将t=30代入上式，得：y=-2×30+120=60所以在第30天的日销售量是60kg（2）设第天的销售利润为元，则当时，由题意得，=t=20时，w最大值为1600元 当时，对称轴t=44，a=20，在对称轴左侧w随t增大而减小，t=25时，w最大值为210元，综
31、上所述第20天利润最大，最大利润为1600元【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键2某种进价为每件40元的商品，通过调查发现，当销售单价在40元至65元之间()时，每月的销售量(件)与销售单价(元)之间满足如图所示的一次函数关系.(1)求与的函数关系式；(2)设每月获得的利润为(元)，求与之间的函数关系式；(3)若想每月获得1600元的利润，那么销售单价应定为多少元？(4)当销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)；(2)P；(3)销售单
32、价应定为50元；(4)时，有最大值为2500元.【解析】【分析】（1）由图上坐标直接求出解析式即可；（2）利润用单价乘数量列出关系式即可；（3）用（2）小问的P=1600解出方程即可；（4）按照二次函数最值方法求出P的最大值即可【详解】解：(1)设：图象过，解得，.(2)依题意得.(3)当时，解得，答：销售单价应定为50元.(4)，当时，有最大值，最大值为2500元.答：当销售单价定为65元时，每月的销售利润最大，最大利润2500元.【点睛】本题只要是对二次函数的实际运用考察，正确列出关系式，熟练掌握代数式最值的求解是解决本题的关键3如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点
33、B的左侧），点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC动点P在x轴上运动，过点P作PMx轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，若CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；（3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，求m的值【答案】(1) y=x+3;(2)m=2;(3) 【解析】试题分析：（1）把点A（1，0），点C（0，3）代入抛物线y=x2+bx+c列出方程组求得b、c的值即可得到抛物线的解析式，在所得抛物线的解析式中，由y=0可得关于x的一元二次方程
34、，解方程可求得B的坐标；有B、C的坐标用“待定系数法”可求得直线BC的解析式；（2）由CMN是以MN为腰的等腰直角三角形可得，CMx轴，由点C的坐标（0，3）可得点M的纵坐标为3，把y=3代入抛物线的解析式解得x的值即可得到m的值；（3）由已知把M、N的坐标用含“m”的代数式表达出来，进一步表达出MN的长，根据题意可得MN=OC=3即可列出关于“m”的方程，解方程即可求得m的值.试题解析：（1）把点A（1，0），点C（0，3）代入抛物线y=x2+bx+c，得，解得 ，抛物线的解析式为y=x2+2x+3；令x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3，点B的坐标（3，0），设直线BC的解析式为y=
35、kx+b，把C（0，3），B的坐标（3，0）代入，得，解得： ，直线BC的解析式为y=x+3（2）CMN是以MN为腰的等腰直角三角形，CMx轴，即点M的纵坐标为3，把y=3代入y=x2+2x+3，得x=0或2，点M不能与点C重合，点P的横坐标为m=2（3）抛物线的解析式为y=x2+2x+3，P的横坐标为mM（m，m2+2m+3），直线BC的解析式为y=x+3N（m，m+3），以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形，MN=OC=3，m2+2m+3（m+3）=3，化简得m23m+3=0，无解，或（m+3）（m2+2m+3）=3，化简得m23m3=0，解得m=，当以C、O、M、N为
36、顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，m的值为点睛：（1）解第2小题的关键是由“CMN是以MN为腰的等腰直角三角形”结合MNC是锐角可得NMC=90°，从而得到CMx轴；（2）解第3小题的关键是由“以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形”得到MN是OC的对边，从而得到MN=OC=3，这样即可列出关于“m”的方程解得m的值了.4如图，已知抛物线经过A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作
37、PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2+2x；（2）D1（1，3），D2（3，3），C（1，1）；（3）存在，P（-，）或（-3，15）【解析】【分析】（1）根据抛物线过A（2，0）及原点可设y=a（x-2）x，然后根据抛物线y=a（x-2）x过B（3，3），求出a的值即可；（2）首先由A的坐标可求出OA的长，再根据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线x=-1右侧，进而可求出D横坐标为：-1+2=1，代入抛物线解析式即可求出其横坐标；（3）分PMACOB和PMABOC表
38、示出PM和AM，从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标【详解】解：（1）根据抛物线过A（2，0）及原点，可设y=a（x-2）（x-0），又抛物线y=a（x-2）x过B（3，3），3（3-2）a=3，a=1，抛物线的解析式为y=（x-2）x=x2-2x；（2）若OA为对角线，则D点与C点重合，点D的坐标应为D（1，-1）；若OA为平行四边形的一边，则DE=OA，点E在抛物线的对称轴上，点E横坐标为1，点D的横坐标为3或-1，代入y=x2-2x得D（3，3）和D（-1，3），综上点D坐标为（1，-1），（3，3），（-1，3）（3）点B（3，3）C（1，-
39、1），BOC为直角三角形，COB=90°，且OC：OB=1：3，如图1，若PMACOB，设PM=t，则AM=3t，点P（2-3t，t），代入y=x2-2x得（2-3t）2-2（2-3t）=t，解得t1=0（舍），t2=，P(-，)；如图2，若PMABOC，设PM=3t，则AM=t，点P（2-t，3t），代入y=x2-2x得（2-t）2-2（2-t）=3t，解得t1=0（舍），t2=5，P（-3，15）综上所述，点P的坐标为(-，)或（-3，15）考点：二次函数综合题5如图a，已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(4，0) 、C(0，2)，与x轴的另一个交点为B （1）求出抛物线的解析
40、式. （2）如图b，将ABC绕AB的中点M旋转180°得到BAC，试判断四边形BCAC的形状.并证明你的结论. （3）如图a,在抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与ABC全等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在请说明理由.【答案】（1）y=x2+x+2；（2）四边形BCAC为矩形，见解析；（3）存在，（3，2）【解析】【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由点A、B、C的坐标可得出OA、OC、OB的长度，利用勾股定理可求出AC、BC的长，由AC2+BC2=25=AB2可得出ACB=90°，再利用旋转的性质即可找
41、出四边形BCAC为矩形；（3）假设存在这样的点D，设D（x, x2+x+2），则有x2+x+2=2，求出x的值再进行判断即可.【详解】（1）抛物线y=x2+bx+c经过点A(4，0) 、C(0，2)， 解得， 抛物线的解析式为：y=x2+x+2 （2）四边形BCAC为矩形.令y=0，则x2+x+2=0，解得， B（1，0） A(4，0) 、C(0，2)，OB=1，OA=4，OC=2，由勾股定理求得：BC=,AC=2 又AB=5， ABC直角三角形，BCA=90°，ABC绕AB的中点M旋转180°得到BAC，则A、B互为对应点，由旋转的性质可得：BC=AC'，AC=B
42、C'四边形BCAC为平行四边形，又BCA=90°四边形BCAC为矩形. （3）设D（x, x2+x+2），则有x2+x+2=2，解得，（不符合题意，舍去），D（3，2）故存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与ABC全等.点D的坐标为（3，2）.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、旋转的性质、矩形的判定、勾股定理、勾股定理逆定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用旋转的性质结合勾股定理的逆定理证出四边形BCAC为矩形6如图，已知直线y2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y2x2+bx+c过A，B两点，点P是线段A
43、B上一动点，过点P作PCx轴于点C，交抛物线于点D，抛物线的顶点为M，其对称轴交AB于点N（1）求抛物线的表达式及点M、N的坐标；（2）是否存在点P，使四边形MNPD为平行四边形？若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）y2x2+2x+4， M，N，（2）存在，P【解析】【分析】（1）先由直线解析式求出A，B的坐标，再利用待定系数法可求出抛物线解析式，可进一步化为顶点式即可写出顶点M的坐标并求出点N坐标；（2）先求出MN的长度，设点P的坐标为（m，2m+4），用含m的代数式表示点D坐标，并表示出PD的长度，当PDMN时，列出关于m的方程，即可求出点P的坐标【详解】（1）直线y2
44、x+4分别交x轴，y轴于点A，B，A（2，0），B（0，4），把点A（2，0），B（0，4）代入y2x2+bx+c，得，解得，抛物线的解析式为：y2x2+2x+42（x）2+，顶点M的坐标为（，），当x时，y2×+43，则点N坐标为（，3）；（2）存在点P，理由如下：MN3，设点P的坐标为（m，2m+4），则D（m，2m2+2m+4），PD2m2+2m+4（2m+4）2m2+4m，PDMN，当PDMN时，四边形MNPD为平行四边形，即2m2+4m，解得，m1，m2（舍去），此时P点坐标为（，1）【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的存在性等，解题关键是要熟练掌握平行四边形的性质并能够灵活运用7如图，抛物线ya（x+2）（x4）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且ACOCB