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1、玩转压轴题，争取满分之备战2020年中考数学解答题高端精品专题九 动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要 “以静制动”，即把动态问题，变为静态
2、问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成 ：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。在中考压轴题
3、中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。【典例指引】类型一 【线段及线段的和差为定值】 【典例指引1】已知：ABC是等腰直角三角形，BAC90°，将ABC绕点C顺时针方向旋转得到ABC，记旋转角为，当90°180°时，作ADAC，垂足为D，AD与BC交于点E（1）如图1，当CAD15°时，作AEC的平分线EF交BC于点F写出旋转角的度数；求证：EA+ECEF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线AD上的一个动点，连接PA，PF，若AB，求线段PA+PF的最小值（结果保留根号）【举
4、一反三】如图（1），已知,点为射线上一点，且，、为射线和上的两个动点（），过点作，垂足为点，且，联结（1）若时，求的值； （2）设，求与之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如图(2)，过点作的垂线，垂足为点，交射线于点，点、在射线和上运动时，探索线段的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。若发生变化，试用含x的代数式表示的长类型二 【线段的积或商为定值】 【典例指引2】如图，矩形中，将绕点从处开始按顺时针方向旋转，交边（或）于点，交边（或）于点.当旋转至处时，的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图，发现当过点时，也恰好过点，此时是否与相似？并说明理由；（2）类比探究：如图，在旋转过程中，的
5、值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）拓展延伸：设时，的面积为，试用含的代数式表示；在旋转过程中，若时，求对应的的面积；在旋转过程中，当的面积为4.2时，求对应的的值.【举一反三】如图1,已知直线ya与抛物线交于A、B两点(A在B的左侧),交y轴于点C(1)若AB4,求a的值(2)若抛物线上存在点D(不与A、B重合),使,求a的取值范围(3)如图2,直线ykx2与抛物线交于点E、F,点P是抛物线上的动点,延长PE、PF分别交直线y2于M、N两点,MN交y轴于Q点,求QM·QN的值。图1 图2类型三 【角及角的和差定值】 【典例指引3】如图，在ABC中，ABC60
6、°，BAC60°，以AB为边作等边ABD（点C、D在边AB的同侧），连接CD（1）若ABC90°，BAC30°，求BDC的度数；（2）当BAC2BDC时，请判断ABC的形状并说明理由；（3）当BCD等于多少度时，BAC2BDC恒成立 【举一反三】如图1，抛物线的顶点为点，与轴的负半轴交于点，直线交抛物线W于另一点，点的坐标为 （1）求直线的解析式；（2）过点作轴，交轴于点，若平分，求抛物线W的解析式；（3）若，将抛物线W向下平移个单位得到抛物线，如图2，记抛物线的顶点为，与轴负半轴的交点为，与射线的交点为问：在平移的过程中，是否恒为定值？若是，请求出的值
7、；若不是，请说明理由类型四 【三角形的周长为定值】 【典例指引4】如图，现有一张边长为的正方形ABCD，点P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A、点D 重合），将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交DC 于H，折痕为 EF，连接 BP，BH.（1）求证：；（2）求证：；（3）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？不变化，求出周长，若变化，说明理由；（4）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式.【举一反三】如图，在等腰直角三角形ABC中，C90°，AB8，点O是AB的中点.将一个边长足够大的RtDEF的直角顶点E放
8、在点O处，并将其绕点O旋转，始终保持DE与AC边交于点G，EF与BC边交于点H.(1)当点G在AC边什么位置时，四边形CGOH是正方形.(2)等腰直角三角ABC的边被RtDEF覆盖部分的两条线段CG与CH的长度之和是否会发生变化，如不发生变化，请求出CG与CH之和的值：如发生变化，请说明理由.类型五 【三角形的面积及和差为定值】 【典例指引5】综合与实践：矩形的旋转问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动具体要求：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起，这时对角线AC和EG互相重合固定矩形ABCD，将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针方
9、向旋转，直到点E与点B重合时停止，在此过程中开展探究活动操作发现：（1）雄鹰小组初步发现：在旋转过程中，当边AB与EF交于点M，边CD与GH交于点N，如图2、图3所示，则线段AM与CN始终存在的数量关系是 （2）雄鹰小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN时，如图3所示，四边形QMRN为菱形，请你证明这个结论（3）雄鹰小组还发现在问题（2）中的四边形QMRN中MQN与旋转角AOE存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，并说明理由实践探究：（4）在图3中，随着矩形纸片EFGH的旋转，四边形QMRN的面积会发生变化若矩形纸片的长为，宽为，请你帮助雄鹰小组探究当旋转角A
10、OE为多少度时，四边形QMRN的面积最大？最大面积是多少？（直接写出答案）【举一反三】如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，F30°.（1）求证：BECE（2）将EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）求证：BEMCEN；若AB2，求BMN面积的最大值；当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sinEBG的值.【新题训练】1已知在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=10，BAD=120°，E为线段BC上的一个动点（不与B，C重
11、合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，（1）如图1，当AEBC时，求线段BE、CG的长度（2）如图2，点E在线段BC上运动时，连接DE，DF，BEF与CEG的周长之和是否是一个定值，若是请求出定值，若不是请说明理由（3）如图2，设BE=x，DEF的面积为y，试求出y关于x的函数关系式2如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PFBC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD，PE，DE（1）求抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置是发现：当点P与点A或点
12、C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；（3）请直接写出PDE周长的最大值和最小值3如图，四边形ABCD中，ADBC，ABC=90°(1)直接填空：BAD=_°.(2)点P在CD上，连结AP，AM平分DAP，AN平分PAB，AM、AN分别与射线BP交于点M、N设DAM=°求BAN的度数(用含的代数式表示)若ANBM，试探究AMB的度数是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请用的代数式表示它4将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE探究SABC与SADC的
13、比是否为定值（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，SABC：SADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由（图）（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，SABC：SADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由（图）（3）两块三角板中，BAE+CAD180°，ABa，AEb，ACm，ADn（a，b，m，n为常数），SABC：SADE是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由（图）5（解决问题）如图1，在中，于点点是边上任意一点，过点作，垂足分别为点，点（1）若
14、，则的面积是_，_（2）猜想线段，的数量关系，并说明理由（3）（变式探究）如图2，在中，若，点是内任意一点，且，垂足分别为点，点，点，求的值（4）（拓展延伸）如图3，将长方形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任意一点，过点作，垂足分别为点，点若，直接写出的值6如图，已知锐角ABC中，AB、AC边的中垂线交于点O（1）若A=（0°90°），求BOC；（2）试判断ABO+ACB是否为定值；若是，求出定值，若不是，请说明理由7O的直径AB15cm，有一条定长为9cm的动弦，CD在弧AB上滑动（点C和A、点D与B不重合），且CECD交AB于E，DFCD交AB于F（1）求
15、证：AEBF（2）在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由.8如图，动点在以为圆心，为直径的半圆弧上运动（点不与点及的中点重合），连接.过点作于点，以为边在半圆同侧作正方形，过点作的切线交射线于点，连接、.（1）探究：如左图，当动点在上运动时；判断是否成立？请说明理由；设，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；设，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如右图，当动点在上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）9如图，已知的半径为，为直
16、径，为弦与交于点，将 沿着翻折后，点与圆心重合，延长至，使，链接 （）求的长（）求证：是的切线（）点为的中点，在延长线上有一动点，连接交于点，交于点（与、不重合）则为一定值请说明理由，并求出该定值10在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，且OA=6，OB=8，点D是AB的中点（1）直接写出点D的坐标及AB的长；（2）若直角NDM绕点D旋转，射线DP分别交x轴、y轴于点P、N，射线DM交x轴于点M，连接MN当点P和点N分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴时，若PDMMON，求点N的坐标；在直角NDM绕点D旋转的过程中，DMN的大小是否会发生变化？请说明理由11如图，AOB
17、中，A（8，0），B（0，），AC平分OAB，交y轴于点C，点P是x轴上一点，P经过点A、C，与x轴于点D，过点C作CEAB，垂足为E，EC的延长线交x轴于点F，（1）P的半径为；（2）求证：EF为P的切线；（3）若点H是上一动点，连接OH、FH，当点H在上运动时，试探究是否为定值？若为定值，求其值；若不是定值，请说明理由.12如图，在菱形ABCD中，ABC60°，AB2过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点EP为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接PA，PE，AC（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）求四边形ABDE的周长和面积；（3）记ABP的周长和
18、面积分别为C1和S1，PDE的周长和面积分别为C2和S2，在点P的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：C1+C2，S1+S2，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围13如图，在中，圆心关于弦的对称点恰好在上，连接、.（1）求证：四边形是菱形；（2）如图，若点是优弧（不含端点、）上任意一点，连接交于点，的半径为.试探究线段与的积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；求的取值范围. 14如图，抛物线的顶点坐标为C（0，8），并且经过A（8，0），点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作直线y=8的垂线，垂足为点F，点D，E的坐标分别
19、为（0，6），（4，0），连接PD，PE，DE（1）求抛物线的解析式；（2）猜想并探究：对于任意一点P，PD与PF的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；（3）求：当PDE的周长最小时的点P坐标；使PDE的面积为整数的点P的个数15如图1，点、，其中、满足，将点、分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至、，连接、.（1）直接写出点的坐标：_；（2）连接交于一点，求的值：（3）如图2，点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于.问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由.16如图所示，为等腰底边上一动点，于于，问当点在边上运动时，的值是否为定值，如果是，求出这个定值，如果不是，说明理由17如图，在平面直角坐标系中，已知直线和与轴分别相交于点和点，设两直线相交于点，点为的中点，点是线段上一个动点（不与点和重合），连结，并过点作交于点（）判断的形状，并说明理由（）当点在线段上运动时，四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由（）当点的横坐标为时，在轴上找到一点使得的周长最小，请直接写出点的坐标