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1、方法技巧专题四构造法训练构造法是一种富有创造性的解题方法，它很好地体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、试验、探索、归纳、概括、特殊化等重要的数学方法。它是一种技巧性很强的解题方法，它能训练思维的创造性和敏捷性常见的构造形式有：1.构造方程(或者不等式)；2.构造函数；3.构造图形一、构造方程或不等式法【例题】（2017重庆B）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的
2、樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值【分析】（1）利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；（2）根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进
3、而得出答案【解答】解：（1）设该果农今年收获樱桃x千克，根据题意得：400x7x，解得：x50，答：该果农今年收获樱桃至少50千克；（2）由题意可得：100（1m%）×30+200×（1+2m%）×20（1m%）=100×30+200×20，令m%=y，原方程可化为：3000（1y）+4000（1+2y）（1y）=7000，整理可得：8y2y=0解得：y1=0，y2=0.125m1=0（舍去），m2=12.5m2=12.5，答：m的值为12.5【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出水果的销售总金额是解题关键
4、【同步训练】(2017湖北宜昌)某市总预算a亿元用三年时间建成一条轨道交通线轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍随后两年，线路敷设投资每年都增加b亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前
5、两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数【考点】AD：一元二次方程的应用；B7：分式方程的应用【分析】（1）由线路敷设三年总投资为54亿元及这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2，可得答案（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，根据“线路敷设三年总投资为54亿元、辅助配套三年的总投资为36亿元”
6、列方程组，解之求得x、b的值可得答案（3）由x=5得出2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，根据“2017年年初搬迁安置的为投资5亿”列方程求解可得【解答】解：（1）三年用于辅助配套的投资将达到54×=36（亿元）；（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，根据题意，得：，解得：，市政府2015年年初对三项工程的总投资是7x=35亿元；（3）由x=5得，2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，由题意，得：20（1y
7、）2=5，解得：y1=0.5，y2=1.5（舍）答：搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%二、构造函数法【例题】（2017内江）已知A（4，2）、B（n，4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求AOB的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx+b0的解集【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；FA：待定系数法求一次函数解析式【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）先求出直线y=x2与x轴交点C的坐标，然
8、后利用SAOB=SAOC+SBOC进行计算；（3）观察函数图象得到当x4或0x2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集【解答】解：（1）把A（4，2）代入y=，得m=2×（4）=8，所以反比例函数解析式为y=，把B（n，4）代入y=，得4n=8，解得n=2，把A（4，2）和B（2，4）代入y=kx+b，得，解得，所以一次函数的解析式为y=x2；（2）y=x2中，令y=0，则x=2，即直线y=x2与x轴交于点C（2，0），SAOB=SAOC+SBOC=×2×2+×2×4=6；（3）由图可得，不等式kx+b0的解集为：x4或0
9、x2【同步训练】（2017青海西宁）首条贯通丝绸之路经济带的高铁线宝兰客专进入全线拉通试验阶段，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作、人文交流具有十分重要的意义，试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象进行一下探究：【信息读取】（1）西宁到西安两地相距1000千米，两车出发后3小时相遇；（2）普通列车到达终点共需12小时，普通列车的速度是千米/小时【解决问题】（3）求动车的速度；（4）普通列车行驶t小时后，动车到达终点西宁
10、，求此时普通列车还需行驶多少千米到达西安？【考点】FH：一次函数的应用【分析】（1）由x=0时y=1000及x=3时y=0的实际意义可得答案；（2）根据x=12时的实际意义可得，由速度=可得答案；（3）设动车的速度为x千米/小时，根据“动车3小时行驶的路程+普通列出3小时行驶的路程=1000”列方程求解可得；（4）先求出t小时普通列车行驶的路程，继而可得答案【解答】解：（1）由x=0时，y=1000知，西宁到西安两地相距1000千米，由x=3时，y=0知，两车出发后3小时相遇，故答案为：1000，3；（2）由图象知x=t时，动车到达西宁，x=12时，普通列车到达西安，即普通列车到达终点共需12
11、小时，普通列车的速度是=千米/小时，故答案为：12，；（3）设动车的速度为x千米/小时，根据题意，得：3x+3×=1000，解得：x=250，答：动车的速度为250千米/小时；（4）t=4（小时），4×=（千米），1000=（千米），此时普通列车还需行驶千米到达西安三、构造图形法【例题】（2017甘肃天水）一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离（结果保留根号）【考点】TB：解直角三角形的应用方向角问题；KU：勾股定理的应用【分析】利用题意得
12、到ACPC，APC=60°，BPC=45°，AP=20，如图，在RtAPC中，利用余弦的定义计算出PC=10，利用勾股定理计算出AC=10，再判断PBC为等腰直角三角形得到BC=PC=10，然后计算ACBC即可【解答】解：如图，ACPC，APC=60°，BPC=45°，AP=200，在RtAPC中，cosAPC=，PC=20cos60°=10，AC=10，在PBC中，BPC=45°，PBC为等腰直角三角形，BC=PC=10，AB=ACBC=1010（海里）答：轮船航行途中与灯塔P的最短距离是（1010）海里【同步训练】（2017新疆）
13、如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角EAD为45°，在B点测得D点的仰角CBD为60°，求这两座建筑物的高度（结果保留根号）【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题【分析】在RtBCD中可求得CD的长，即求得乙的高度，过A作FCD于点F，在RtADF中可求得DF，则可求得CF的长，即可求得甲的高度【解答】解：如图，过A作AFCD于点F，在RtBCD中，DBC=60°，BC=30m，=tanDBC，CD=BCtan60°=30m，乙建筑物的高度为30m；在RtAFD中，DAF=45°，DF=AF=BC
14、=30m，AB=CF=CDDF=（3030）m，甲建筑物的高度为（3030）m【点评】本题主要考查角直角三角形的应用，构造直角三角形，利用特殊角求得相应线段的长是解题的关键【达标检测】1. （2017湖南岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？【分析】设这批书共有3x本，根据每包书的数目相等即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：设这批书共有3x本，根据题意得： =，解得：x=50
15、0，3x=1500答：这批书共有500本【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据每包书的数目相等列出关于x的一元一次方程是解题的关键2. （2017山东烟台）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？【考点】AD：一元二次方程的应用【分析】（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降
16、低的百分率为x，根据2015年及2017年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论【解答】解：（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据题意得：200×（1x）2=162，解得：x=0.1=10%或x=1.9（舍去）答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%（2）100×=90.91（个），在A商城需要的费用为162×91=14742（元），在B商城需要的费用为162×100&#
17、215;=14580（元）1474214580答：去B商场购买足球更优惠3. （2017甘肃天水）天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费
18、用最少？最少总费用是多少？【考点】CE：一元一次不等式组的应用；9A：二元一次方程组的应用【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次”列出不等式组探讨得出答案即可【解答】解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得，解得，答：购买A型公交车每辆需100万
19、元，购买B型公交车每辆需150万元（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10a）辆，由题意得，解得：a，因为a是整数，所以a=6，7，8；则（10a）=4，3，2；三种方案：购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元；购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元4. (2017湖北咸宁)某公司开发出一款新的节能产品，该产品的
20、成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件（1）第24天的日销售量是330件，日销售利润是660元（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？【考点】FH：一次函数的应用【分析】（1）根据第22天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少5件，即可求出第2
21、4天的日销售量，再根据日销售利润=单件利润×日销售量即可求出日销售利润；（2）根据点D的坐标利用待定系数法即可求出线段OD的函数关系式，根据第22天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少5件，即可求出线段DE的函数关系式，联立两函数关系式求出交点D的坐标，此题得解；（3）分0x18和18x30，找出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，有起始和结束时间即可求出日销售利润不低于640元的天数，再根据点D的坐标结合日销售利润=单件利润×日销售数，即可求出日销售最大利润【解答】解：（1）340（2422）×5=330（件），330×（86）
22、=660（元）故答案为：330；660（2）设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx，将（17，340）代入y=kx中，340=17k，解得：k=20，线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=20x根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y=3405（x22）=5x+450联立两线段所表示的函数关系式成方程组，得，解得：，交点D的坐标为（18，360），y与x之间的函数关系式为y=（3）当0x18时，根据题意得：（86）×20x640，解得：x16；当18x30时，根据题意得：（86）×（5x+450）640，解得：x2616x262616+1=1
23、1（天），日销售利润不低于640元的天数共有11天点D的坐标为（18，360），日最大销售量为360件，360×2=720（元），试销售期间，日销售最大利润是720元5. （2017甘肃张掖）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量如图，测得DAC=45°，DBC=65°若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°0.91，cos65°0.42，tan65
24、6;2.14）【考点】T8：解直角三角形的应用【分析】过点D作DEAC，垂足为E，设BE=x，根据AE=DE，列出方程即可解决问题【解答】解：过点D作DEAC，垂足为E，设BE=x，在RtDEB中，DBC=65°，DE=xtan65° 又DAC=45°，AE=DE132+x=xtan65°，解得x115.8，DE248（米） 观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米6. （2017青海西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区
25、自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得DAC=30°，DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，1.732）？【考点】T8：解直角三角形的应用【分析】如图，过点D作DHAC于点H通过解直角BHD得到sin60°=，由此求得DH的长度【解答】解：过点D作DHAC于点HHBD=DAC+BDA=60°，而DAC=30°，BDA=DAC=30°，AB=DB=200在直角BHD中，sin60°=，DH=100100×1.732173答：体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为173米