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1、方法技巧专题八面积法解析1面积公式(1)三角形的面积×底×高×周长×内切圆的半径；(2)矩形的面积长×宽；(3)平行四边形的面积底×高；(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；(5)正方形的面积等于边长的平方；(6)梯形的面积×(上底下底)×高；(7)圆的面积R2；(8)扇形的面积lR；(9)弓形的面积扇形的面积±三角形的面积；(10)相似三角形面积的比等于相似比的平方2面积的计算技巧(1)利用“等底等高等积”进行转化；(2)用两种不同的方法分割同一整体；(3)“割补法”；(4)平移变换；(5)旋转变
2、换等等一、三角形面积【例题】（2016·四川内江）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A B C D不能确定答案B考点勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力。解析如图，ABC是等边三角形，AB3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AHBC于H则BH，AH连接PA，PB，PC，则SPABSPBCSPCASABCAB·PDBC·PECA·PFBC·AHPDPEPFAH故选BPBADEF答案图CH【同步训练】（2016·
3、黑龙江齐齐哈尔·3分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为20和20【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质【分析】分两种情形讨论当30度角是等腰三角形的顶角，当30度角是底角，分别作腰上的高即可【解答】解：如图1中，当A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，作BDAC于D，A=30°，BD=AB=a，aa=5，a2=20，ABC的腰长为边的正方形的面积为20如图2中，当ABC=30°，AB=AC时，作BDCA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，AB=AC，ABC=C=30°，BAC=1
4、20°，BAD=60°，在RTABD中，D=90°，BAD=60°，BD=a，aa=5，a2=20，ABC的腰长为边的正方形的面积为20故答案为20或20二、四边形面积【例题】（2017内江）如图，四边形ABCD中，ADBC，CM是BCD的平分线，且CMAB，M为垂足，AM=AB若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是1【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KJ：等腰三角形的判定与性质【分析】延长BA、CD，交点为E依据题意可知MB=ME然后证明EADEBC依据相似三角形的性质可求得EAD和EBC的面积，最后依据S四边形AMCD=SEBCSEA
5、D求解即可【解答】解：如图所示：延长BA、CD，交点为ECM平分BCD，CMAB，MB=ME又AM=AB，AE=ABAE=BEADBC，EADEBC=S四边形ADBC=SEBC=SEBC=SEAD=×=S四边形AMCD=SEBCSEAD=1故答案为：1【同步训练】（2017宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PMA B，PNAC，M、N分别为垂足（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值【分析】（1）连接AP，过C作CDAB于D，根据等边
6、三角形的性质得到AB=AC，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）设BP=x，则CP=2x，由ABC是等边三角形，得到B=C=60°，解直角三角形得到BM=x，PM=x，CN=（2x），PN=（2x），根据二次函数的性质即可得到结论【解答】解：（1）连接AP，过C作CDAB于D，ABC是等边三角形，AB=AC，SABC=SABP+SACP，ABCD=ABPM+ACPN，PM+PN=CD，即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）设BP=x，则CP=2x，ABC是等边三角形，B=C=60°，PMAB，PNAC，BM=x，PM=x
7、，CN=（2x），PN=（2x），四边形AMPN的面积=×（2x）x+ 2（2x）（2x）=x2+x+=（x1）2+，当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键三、组合型面积【例题】（2017营口）如图，点A1（1，）在直线l1：y=x上，过点A1作A1B1l1交直线l2：y=x于点B1，A1B1为边在OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，再过点C1作A2B2l1，分别交直线l1和l2于A2，B2两点，以A2B2为边在OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，按此规律进行下去，则第
8、n个等边三角形AnBnCn的面积为（用含n的代数式表示）【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；KK：等边三角形的性质.【专题】2A ：规律型【分析】由点A1的坐标可得出OA1=2，根据直线l1、l2的解析式结合解直角三角形可求出A1B1的长度，由等边三角形的性质可得出A1A2的长度，进而得出OA2=3，通过解直角三角形可得出A2B2的长度，同理可求出AnBn的长度，再根据等边三角形的面积公式即可求出第n个等边三角形AnBnCn的面积【解答】解：点A1（1，），OA1=2直线l1：y=x，直线l2：y=x，A1OB1=30°在RtOA1B1中，OA1=2，A1OB1=30°
9、;，OA1B1=90°，A1B1=OB1，A1B1=A1B1C1为等边三角形，A1A2=A1B1=1，OA2=3，A2B2=同理，可得出：A3B3=，A4B4=，AnBn=，第n个等边三角形AnBnCn的面积为×AnBn2=故答案为：【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及等边三角形的性质，通过解直角三角形及等边三角形的性质，找出AnBn=是解题的关键2-1-c-n-j-y【同步训练】（2017绥化）如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积
10、为【考点】KX：三角形中位线定理；KW：等腰直角三角形【分析】记原来三角形的面积为s，第一个小三角形的面积为s1，第二个小三角形的面积为s2，求出s1，s2，s3，探究规律后即可解决问题【解答】解：记原来三角形的面积为s，第一个小三角形的面积为s1，第二个小三角形的面积为s2，s1=s=s，s2=s=s，s3=s，sn=s=22=，故答案为四、扇形阴影面积【例题】（2016·黑龙江龙东·3分）若点O是等腰ABC的外心，且BOC=60°，底边BC=2，则ABC的面积为（）A2+B C2+或2D4+2或2【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质【分析】根据题意可
11、以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下ABC的面积，本题得以解决【解答】解：由题意可得，如右图所示，存在两种情况，当ABC为A1BC时，连接OB、OC，点O是等腰ABC的外心，且BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1BC于点D，CD=1，OD=，=2，当ABC为A2BC时，连接OB、OC，点O是等腰ABC的外心，且BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1BC于点D，CD=1，OD=，SA2BC=2+，由上可得，ABC的面积为或2+，故
12、选C【同步训练】（2017贵州安顺）如图，AB是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，过点C作O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE（1）求证：BE与O相切；（2）设OE交O于点F，若DF=1，BC=2，求阴影部分的面积【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OCE=90°，再根据垂径定理得到CD=BD，则OD垂中平分BC，所以EC=EB，接着证明OCEOBE得到OBE=OCE=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）设O的半径为r，则OD=r1，利用勾股定理得到（r1）2+（）2=r2，解得r=2，再利用
13、三角函数得到BOD=60°，则BOC=2BOD=120°，接着计算出BE=OB=2，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2SOBES扇形BOC进行计算即可【解答】（1）证明：连接OC，如图，CE为切线，OCCE，OCE=90°，ODBC，CD=BD，即OD垂中平分BC，EC=EB，在OCE和OBE中，OCEOBE，OBE=OCE=90°，OBBE，BE与O相切；（2）解：设O的半径为r，则OD=r1，在RtOBD中，BD=CD=BC=，（r1）2+（）2=r2，解得r=2，tanBOD=，BOD=60°，BOC=2BOD
14、=120°，在RtOBE中，BE=OB=2，阴影部分的面积=S四边形OBECS扇形BOC=2SOBES扇形BOC=2××2×2=4五、其它类型的面积【例题】如图，四边形ABCD中，ADBC，ABC+DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为（）A12B18C24D48【考点】KQ：勾股定理【分析】根据已知条件得到AB=，CD=3，过A作AECD交BC于E，则AEB=DCB，根据平行四边形的性质得到CE=AD，AE=CD=3，由已知条件得到BAE=90
15、76;，根据勾股定理得到BE=2，于是得到结论【解答】解：S1=3，S3=9，AB=，CD=3，过A作AECD交BC于E，则AEB=DCB，ADBC，四边形AECD是平行四边形，CE=AD，AE=CD=3，ABC+DCB=90°，AEB+ABC=90°，BAE=90°，BE=2，BC=2AD，BC=2BE=4，S2=（4）2=48，故选D【同步训练】（2017温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH已知AM为RtABM较长直角边，AM=22EF，则正方形ABCD的面积为（）A12SB10SC
16、9SD8S【考点】KR：勾股定理的证明【分析】设AM=2aBM=b则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2ab）2（ab）=2ab2a+2b=b，由此即可解决问题【解答】解：设AM=2aBM=b则正方形ABCD的面积=4a2+b2由题意可知EF=（2ab）2（ab）=2ab2a+2b=b，AM=22EF，2a=22b，a=2b，正方形EFGH的面积为S，b2=S，正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，故选C【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题【达标训练】1.2. （20
17、17乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A1BC2D【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、DFE=GFE，结合AFG=60°即可得出GFE=60°，进而可得出GEF为等边三角形，在RtGHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC=EC，再由GE=2BG结合矩形面积为4，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可
18、求出结论【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，DFE=GFEGFE+DFE=180°AFG=120°，GFE=60°AFGE，AFG=60°，FGE=AFG=60°，GEF为等边三角形，EF=GEFGE=60°，FGE+HGE=90°，HGE=30°在RtGHE中，HGE=30°，GE=2HE=CE，GH=HE=CEGE=2BG，BC=BG+GE+EC=4EC矩形ABCD的面积为4，4ECEC=4，EC=1，EF=GE=2故选C3. （2017四川南充）已知菱形的周长为4，两条
19、对角线的和为6，则菱形的面积为（）A2BC3D4【考点】L8：菱形的性质【分析】由菱形的性质和勾股定理得出AO+BO=3，AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9，求出2AOBO=4，即可得出答案【解答】解：如图四边形ABCD是菱形，AC+BD=6，AB=，ACBD，AO=AC，BO=BD，AO+BO=3，AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9，即AO2+BO2=5，AO2+2AOBO+BO2=9，2AOBO=4，菱形的面积=ACBD=2AOBO=4；故选：D4. （2017广西）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CNDM
20、，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN下列五个结论：CNBDMC；CONDOM；OMNOAD；AN2+CM2=MN2；若AB=2，则SOMN的最小值是，其中正确结论的个数是（）A2B3C4D5【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质【分析】根据正方形的性质，依次判定CNBDMC，OCMOBN，CONDOM，OMNOAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论【解答】解：正方形ABCD中，CD=BC，BCD=90°，BCN+DCN=90°，又CNDM，CDM+DCN=90°，BCN=CDM，又CBN=D
21、CM=90°，CNBDMC（ASA），故正确；根据CNBDMC，可得CM=BN，又OCM=OBN=45°，OC=OB，OCMOBN（SAS），OM=ON，COM=BON，DOC+COM=COB+BPN，即DOM=CON，又DO=CO，CONDOM（SAS），故正确；BON+BOM=COM+BOM=90°，MON=90°，即MON是等腰直角三角形，又AOD是等腰直角三角形，OMNOAD，故正确；AB=BC，CM=BN，BM=AN，又RtBMN中，BM2+BN2=MN2，AN2+CM2=MN2，故正确；OCMOBN，四边形BMON的面积=BOC的面积=1，即
22、四边形BMON的面积是定值1，当MNB的面积最大时，MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=2x，MNB的面积=x（2x）=x2+x，当x=1时，MNB的面积有最大值，此时SOMN的最小值是1=，故正确；综上所述，正确结论的个数是5个，故选：D5. （2017营口）如图，点A1（1，）在直线l1：y=x上，过点A1作A1B1l1交直线l2：y=x于点B1，A1B1为边在OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，再过点C1作A2B2l1，分别交直线l1和l2于A2，B2两点，以A2B2为边在OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，按此规律进行下去，则第n个等边三角形AnBnCn的面积为（用含n
23、的代数式表示）【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；KK：等边三角形的性质【专题】2A ：规律型【分析】由点A1的坐标可得出OA1=2，根据直线l1、l2的解析式结合解直角三角形可求出A1B1的长度，由等边三角形的性质可得出A1A2的长度，进而得出OA2=3，通过解直角三角形可得出A2B2的长度，同理可求出AnBn的长度，再根据等边三角形的面积公式即可求出第n个等边三角形AnBnCn的面积【解答】解：点A1（1，），OA1=2直线l1：y=x，直线l2：y=x，A1OB1=30°在RtOA1B1中，OA1=2，A1OB1=30°，OA1B1=90°，A1B1=
24、OB1，A1B1=A1B1C1为等边三角形，A1A2=A1B1=1，OA2=3，A2B2=同理，可得出：A3B3=，A4B4=，AnBn=，第n个等边三角形AnBnCn的面积为×AnBn2=故答案为：【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及等边三角形的性质，通过解直角三角形及等边三角形的性质，找出AnBn=是解题的关键6. （2017内蒙古赤峰）如图1，在ABC中，设A、B、C的对边分别为a，b，c，过点A作ADBC，垂足为D，会有sinC=，则SABC=BC×AD=×BC×ACsinC=absinC，即SABC=absinC同理S
25、ABC=bcsinASABC=acsinB通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理余弦定理：如图2，在ABC中，若A、B、C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c22bccosAb2=a2+c22accosBc2=a2+b22abcosC用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在DEF中，F=60°，D、E的对边分别是3和8求SDEF和DE2解：SDEF=EF×DFsinF=6；DE2=EF2+DF22EF×DFcosF=49（2）如图4，在ABC中，已知ACBC，C=60°，ABC'、BCA'、ACB'
26、分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设ABC、ABC'、BCA'、ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4【考点】KY：三角形综合题【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论【解答】解：（1）在DEF中，F=60°，D、E的对边分别是3和8，EF=3，DF=8，SDEF=EF×DFsinF=×3×8×sin60&#
27、176;=6，DE2=EF2+DF22EF×DFcosF=32+822×3×8×cos60°=49，故答案为：6，49；（2）证明：方法1，ACB=60°，AB2=AC2+BC22ACBCcos60°=AC2+BC2ACBC，两边同时乘以sin60°得， AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°ACBCsin60°，ABC'，BCA'，ACB'是等边三角形，S1=ACBCsin60°，S2=AB2sin60°，S3
28、=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，S2=S4+S3S1，S1+S2=S3+S4，方法2、令A，B，C的对边分别为a，b，c，S1=absinC=absin60°=abABC'，BCA'，ACB'是等边三角形，S2=ccsin60°=c2，S3=aasin60°=a2，S4=bbsin60°=b2，S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），c2=a2+b22abcosC=a2+b22abcos60°，a2+b2=c2+ab，S1+S2=S3+S47. （2017浙江湖州）如图
29、，O为RtABC的直角边AC上一点，以 OC为半径的O与斜边AB相切于点D，交OA于点E已知BC=，AC=3（1）求AD的长；（2）求图中阴影部分的面积【考点】MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算【分析】（1）首先利用勾股定理求出AB的长，再证明BD=BC，进而由AD=ABBD可求出；（2）利用特殊角的锐角三角函数可求出A的度数，则圆心角DOA的度数可求出，在直角三角形ODA中求出OD的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积【解答】解：（1）在RtABC中，BC=，AC=3AB=2，BCOC，BC是圆的切线，O与斜边AB相切于点D，BD=BC，AD=ABBD=2=；（2）在RtABC中，sinA=，A=30°，O与斜边AB相切于点D，ODAB，AOD=90°A=60°，=tanA=tan30°，=，OD=1，S阴影=