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1、方法技巧专题七角平分线解析1与角平分线有关的判定和性质(1)角平分线的判定和性质(2)角平分线的夹角：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和；三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差；三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半(3)三角形的内心及其性质(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系2与角平分线有关的图形或辅助线(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形(3)过角平分线上的点作边的垂线一、角平分线定义的应用【例题】（2017广西百色）如图，AM为BAC的平分线，下列等式错误的是（）ABAC=BAM
2、BBAM=CAMCBAM=2CAMD2CAM=BAC【考点】IJ：角平分线的定义【分析】根据角平分线定义即可求解【解答】解：AM为BAC的平分线，BAC=BAM，BAM=CAM，BAM=CAM，2CAM=BAC故选：C【同步训练】（2017内江）如图，AD平分BAC，ADBD，垂足为点D，DEAC求证：BDE是等腰三角形【考点】KI：等腰三角形的判定；JA：平行线的性质【分析】直接利用平行线的性质得出1=3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出B=BDE，即可得出答案【解答】证明：DEAC，1=3，AD平分BAC，1=2，2=3，ADBD，2+B=90°，3+BDE=90
3、6;，B=BDE，BDE是等腰三角形二、角平分线性质的应用【例题】（2017山东滨州）如图，点P为定角AOB的平分线上的一个定点，且MPN与AOB互补，若MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A4B3C2D1【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质【分析】如图作PEOA于E，PFOB于F只要证明POEPOF，PEMPFN，即可一一判断【解答】解：如图作PEOA于E，PFOB于FPEO=PFO=90°，EP
4、F+AOB=180°，MPN+AOB=180°，EPF=MPN，EPM=FPN，OP平分AOB，PEOA于E，PFOB于F，PE=PF，在POE和POF中，POEPOF，OE=OF，在PEM和PFN中，PEMPFN，EM=NF，PM=PN，故（1）正确，SPEM=SPNF，S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，OM+ON=OE+ME+OFNF=2OE=定值，故（2）正确，MN的长度是变化的，故（4）错误，故选B【同步训练】（2016·湖北荆州·3分）如图，在RtABC中，C=90°，CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平
5、分线，垂足为E若BC=3，则DE的长为（）A1 B2 C3 D4【分析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得B=CAD=DAB=30°，【解答】解：DE垂直平分AB，DA=DB，B=DAB，AD平分CAB，CAD=DAB，C=90°，3CAD=90°，CAD=30°，AD平分CAB，DEAB，CDAC，CD=DE=BD，BC=3，CD=DE=1，故选A【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键三、圆中弧、圆心角、圆周角之间的平分关系的应用【例题】（2017山东临沂）如图，BAC的平分线交ABC的
6、外接圆于点D，ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若BAC=90°，BD=4，求ABC外接圆的半径【分析】（1）由角平分线得出ABE=CBE，BAE=CAD，得出，由圆周角定理得出DBC=CAD，证出DBC=BAE，再由三角形的外角性质得出DBE=DEB，即可得出DE=DB；（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，BDC=90°，由勾股定理求出BC=4，即可得出ABC外接圆的半径【解答】（1）证明：BE平分BAC，AD平分ABC，ABE=CBE，BAE=CAD，DBC=CAD，DBC=BAE，DBE=CBE+DBC，DEB=
7、ABE+BAE，DBE=DEB，DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，CD=BD=4，BAC=90°，BC是直径，BDC=90°，BC=4，ABC外接圆的半径=×4=2【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键【同步训练】（2017内蒙古赤峰）如图，点A是直线AM与O的交点，点B在O上，BDAM垂足为D，BD与O交于点C，OC平分AOB，B=60°（1）求证：AM是O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）【考点】ME：切线的判定与性质
8、；MO：扇形面积的计算【分析】（1）由已知条件得到BOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到1=2=60°，由角平分线的性质得到1=3，根据平行线的性质得到OAM=90°，于是得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到OAC=60°，根据三角形的内角和得到CAD=30°，根据勾股定理得到AD=2，于是得到结论【解答】解：（1）B=60°，BOC是等边三角形，1=2=60°，OC平分AOB，1=3，2=3，OABD，BDM=90°，OAM=90°，AM是O的切线；（2）3=60°，OA=OC，AOC是等边三
9、角形，OAC=60°，OAM=90°，CAD=30°，CD=2，AC=2CD=4，AD=2，S阴影=S梯形OADCS扇形OAC=（4+2）×2=6四、与角平分线有关的图形或辅助线【例题】（2017内江）如图，四边形ABCD中，ADBC，CM是BCD的平分线，且CMAB，M为垂足，AM=AB若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是1【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KJ：等腰三角形的判定与性质【分析】延长BA、CD，交点为E依据题意可知MB=ME然后证明EADEBC依据相似三角形的性质可求得EAD和EBC的面积，最后依据S四边形AMCD=SE
10、BCSEAD求解即可【解答】解：如图所示：延长BA、CD，交点为ECM平分BCD，CMAB，MB=ME又AM=AB，AE=ABAE=BEADBC，EADEBC=S四边形ADBC=SEBC=SEBC=SEAD=×=S四边形AMCD=SEBCSEAD=1故答案为：1【同步训练】（2017绥化）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EHBC分别交AF，CD于G，H两点（1）求证：DE=DC；（2）求证：AFBF；（3）当AFGF=28时，请直接写出CE的长【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩
11、形的性质【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到DCE=DEC，进而得出DE=DC；（2）连接DF，根据等腰三角形的性质得出DFC=90°，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出BF=CF=EF=EC，再根据SAS判定ABFDCF，即可得出AFB=DFC=90°，据此可得AFBF；（3）根据等角的余角相等可得BAF=FEH，再根据公共角EFG=AFE，即可判定EFGAFE，进而得出EF2=AFGF=28，求得EF=2，即可得到CE=2EF=4【解答】解：（1）四边形ABCD是矩形，ABCD，DCE=CEB，EC平分DEB，DEC=CEB，DCE=DEC，DE
12、=DC；（2）如图，连接DF，DE=DC，F为CE的中点，DFEC，DFC=90°，在矩形ABCD中，AB=DC，ABC=90°，BF=CF=EF=EC，ABF=CEB，DCE=CEB，ABF=DCF，在ABF和DCF中，ABFDCF（SAS），AFB=DFC=90°，AFBF；（3）CE=4理由如下：AFBF，BAF+ABF=90°，EHBC，ABC=90°，BEH=90°，FEH+CEB=90°，ABF=CEB，BAF=FEH，EFG=AFE，EFGAFE，=，即EF2=AFGF，AFGF=28，EF=2，CE=2EF=
13、4【达标训练】1. （2016·湖北荆门·3分）如图，ABC中，AB=AC，AD是BAC的平分线已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A5 B6 C8 D10【考点】勾股定理；等腰三角形的性质【分析】根据等腰三角形的性质得到ADBC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：AB=AC，AD是BAC的平分线，ADBC，BD=CD，AB=5，AD=3，BD=4，BC=2BD=8，故选C2. （2016·辽宁丹东·3分）如图，在ABCD中，BF平分ABC，交AD于点F，CE平分BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（）A8B10C12D
14、14【考点】平行四边形的性质【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出ABF=AFB，得出AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，再由EF的长，即可求出BC的长【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DC=AB=6，AD=BC，AFB=FBC，BF平分ABC，ABF=FBC，则ABF=AFB，AF=AB=6，同理可证：DE=DC=6，EF=AF+DEAD=2，即6+6AD=2，解得：AD=10；故选：B3. （2016·陕西·3分）如图，在ABC中，ABC=90°，AB=8，BC=6若DE是ABC的中位线，延长DE交ABC的外角ACM的平分线于点F，则线段
15、DF的长为（）A7 B8 C9 D10【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DFBM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题【解答】解：在RTABC中，ABC=90°，AB=8，BC=6，AC=10，DE是ABC的中位线，DFBM，DE=BC=3，EFC=FCM，FCE=FCM，EFC=ECF，EC=EF=AC=5，DF=DE+EF=3+5=8故选B4. （2016·辽宁丹东·3分）如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分CAD，交BC的延长线于点E，FAAE，交CB延长线于点F，则EF的长为
16、6sqrt2【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得CAE=E，易得CE=CA，由FAAE，可得FAC=F，易得CF=AC，可得EF的长【解答】解：四边形ABCD为正方形，且边长为3，AC=3，AE平分CAD，CAE=DAE，ADCE，DAE=E，CAE=E，CE=CA=3，FAAE，FAC+CAE=90°，F+E=90°，FAC=F，CF=AC=3，EF=CF+CE=3=6，故答案为：65. （2016·重庆市A卷·4分）正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
17、DE平分ADO交AC于点E，把ADE沿AD翻折，得到ADE，点F是DE的中点，连接AF，BF，EF若AE=则四边形ABFE的面积是【分析】如图，连接EB、EE，作EMAB于M，EE交AD于N易知AEBAEDADE，先求出正方形AMEN的边长，再求出AB，根据S四边形ABFE=S四边形AEFE+SAEB+SEFB即可解决问题【解答】解：如图，连接EB、EE，作EMAB于M，EE交AD于N四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，ACBD，AO=OB=OD=OC，DAC=CAB=DAE=45°，根据对称性，ADEADEABE，DE=DE，AE=AE，AD垂直平分EE，EN=NE，N
18、AE=NEA=MAE=MEA=45°，AE=，AM=EM=EN=AN=1，ED平分ADO，ENDA，EODB，EN=EO=1，AO=+1，AB=AO=2+，SAEB=SAED=SADE=×1（2+）=1+，SBDE=SADB2SAEB=1+，DF=EF，SEFB=，SDEE=2SADESAEE=+1，SDFE=SDEE=，S四边形AEFE=2SADESDFE=，S四边形ABFE=S四边形AEFE+SAEB+SEFB=故答案为【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法求四边形面积
19、，属于中考填空题中的压轴题6. （2017营口）在矩形纸片ABCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当EFC为直角三角形时，BE的长为3或6【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质【分析】由AD=8、AB=6结合矩形的性质可得出AC=10，EFC为直角三角形分两种情况：当EFC=90°时，可得出AE平分BAC，根据角平分线的性质即可得出=，解之即可得出BE的长度；当FEC=90°时，可得出四边形ABEF为正方形，根据正方形的性质即可得出BE的长度【解答】解：AD=8，AB=6，四边形ABCD为矩形，BC=AD
20、=8，B=90°，AC=10EFC为直角三角形分两种情况：当EFC=90°时，如图1所示AFE=B=90°，EFC=90°，点F在对角线AC上，AE平分BAC，=，即=，BE=3；当FEC=90°时，如图2所示FEC=90°，FEB=90°，AEF=BEA=45°，四边形ABEF为正方形，BE=AB=6综上所述：BE的长为3或6故答案为：3或6【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质以及勾股定理，分EFC=90°和FEC=90°两种情况寻找BE的长度是解题的关键
21、7. （2017年江苏扬州）如图，将ABC沿着射线BC方向平移至A'B'C'，使点A'落在ACB的外角平分线CD上，连结AA'（1）判断四边形ACC'A'的形状，并说明理由；（2）在ABC中，B=90°，A B=24，cosBAC=，求CB'的长【考点】LO：四边形综合题；LA：菱形的判定与性质；Q2：平移的性质；T7：解直角三角形【分析】（1）根据平行四边形的判定定理（有一组对边平行且相等的四边形是平四边形）推知四边形ACC'A'是平行四边形又对角线平分对角的平行四边形是菱形推知四边形ACC'A
22、'是菱形（2）通过解直角ABC得到AC、BC的长度，由（1）中菱形ACC'A'的性质推知AC=AA，由平移的性质得到四边形ABBA是平行四边形，则AA=BB，所以CB=BBBC【解答】解：（1）四边形ACC'A'是菱形理由如下：由平移的性质得到：ACAC，且AC=AC，则四边形ACC'A'是平行四边形ACC=AAC，又CD平分ACB的外角，即CD平分ACC，CD也平分AAC，四边形ACC'A'是菱形（2）在ABC中，B=90°，A B=24，cosBAC=，cosBAC=，即=，AC=26由勾股定理知：BC=7又
23、由（1）知，四边形ACC'A'是菱形，AC=AA=26由平移的性质得到：ABAB，AB=AB，则四边形ABBA是平行四边形，AA=BB=26，CB=BBBC=2678. （2017广东）如图，AB是O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CEOB，交O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AFPC于点F，连接CB（1）求证：CB是ECP的平分线；（2）求证：CF=CE；（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留）【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理；MC：切线的性质；MN：弧长的计算【分析】（1）根据等角的余角相等证明
24、即可；（2）欲证明CF=CE，只要证明ACFACE即可；（3）作BMPF于M则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tanBCM的值即可解决问题；【解答】（1）证明：OC=OB，OCB=OBC，PF是O的切线，CEAB，OCP=CEB=90°，PCB+OCB=90°，BCE+OBC=90°，BCE=BCP，BC平分PCE（2）证明：连接ACAB是直径，ACB=90°，BCP+ACF=90°，ACE+BCE=90°，BCP=BCE，ACF=ACE，F=AEC=90°，AC=AC，ACFACE，CF=CE（3）解：作BMPF于M则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，BMCPMB，=，BM2=CMPM=3a2，BM=a，tanBCM=，BCM=30°，OCB=OBC=BOC=60°，的长=