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1、第12课时一元二次方程,考点一一元二次方程的相关概念【主干必备】1.定义:只含有_个未知数,并且未知数的最高次数是_的整式方程.2.一般形式:_.,一,2,ax2+bx+c=0(a0),3.一元二次方程的解(根):使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫一元二次方程的根.,【微点警示】 一个方程是一元二次方程须满足三个条件:(1)只含有一个未知数.(2)未知数的最高次数是2.(3)是整式方程.,【核心突破】【例1】(2019兰州中考)x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b=( )A.-2B.-3C.-1D.-6,A,【明技法】已知方程的根求
2、与未知数有关的代数式的值,提醒:对于一元二次方程,一定要注意二次项系数不为0这一隐含条件.,【题组过关】1.(2019甘肃中考)若一元二次方程x2-2kx+k2=0的一根为x=-1,则k的值为( )A.-1B.0C.1或-1D.2或0,A,2.(易错警示题)关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值为( )A.1或-1B.-1C.1D.0.5,B,3.(2019鄂尔多斯模拟)若a是方程2x2-x-3=0的一个解,则6a2-3a的值为( )A.3B.-3C.9D.-94.已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根,则m2+2mn+n2的值为_.世纪金榜导学
3、号,C,1,考点二一元二次方程的解法【主干必备】一元二次方程的解法,【微点警示】 求根公式适用于所有的一元二次方程,也称“万能公式”,但必须注意:(1)二次项系数a0. (2)求根公式使用的前提条件是一元二次方程有实数根.只要b2-4ac0,所有的一元二次方程都可用公式法求解.,【核心突破】【例2】(2018兰州中考)解方程:3x2-2x-2=0.世纪金榜导学号,【自主解答】方法一:移项,得3x2-2x=2,配方,得3 ,解得x1= ,x2= .方法二:a=3,b=-2,c=-2,b2-4ac=(-2)2-43(-2)=28,x= .所以x1= ,x2= .,【明技法】一元二次方程的解法选择(
4、1)直接开平方法适用情况当方程缺少一次项时:即方程ax2+c=0(a0);形如(x+m)2=n(n0)的方程.,(2)因式分解法适用情况缺少常数项:即方程ax2+bx=0(a0);一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积的形式.,(3)配方法适用情况二次项系数化为1后,一次项系数是偶数的一元二次方程;各项的系数比较小且便于配方的情况.,(4)公式法适用情况:一元二次方程的所有情况.提醒:运用公式法解一元二次方程时,常忽略将方程化为一般形式,系数a,b,c不要出现符号错误.,【题组过关】1.(易错警示题)方程(x-5)(x-6)=x-5的解是( )A.x=5B.x=5或x=6
5、C.x=7D.x=5或x=7,D,2.(2019金华、丽水中考)用配方法解方程x2-6x-8=0时,配方结果正确的是世纪金榜导学号( )A.(x-3)2=17B.(x-3)2=14C.(x-6)2=44D.(x-3)2=1,A,3.(2019湘西模拟)小华在解一元二次方程x2-x=0时,只得出一个根x=1,则被漏掉的一个根是( )A.x=4B.x=3C.x=2D.x=0,D,4.(2019无锡中考)解方程:x2-2x-5=0.世纪金榜导学号,【解析】a=1,b=-2,c=-5,=4-41(-5)=240,则x= =1 ,x1=1+ ,x2=1- .,考点三根的判别式及应用【主干必备】根的判别式
6、与一元二次方程的根的情况1.=b2-4ac0方程有_的实数根.2.=b2-4ac=0方程有_的实数根.3.=b2-4ac0方程_实数根.,两个不相等,两个相等,没有,【微点警示】 根的情况与判别式的符号是相互依存的关系,其中的一个确定了,另一个也就可以确定,但要注意二次项的系数a0这一前提条件.,【核心突破】【例3】(2019北京中考)关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.,【自主解答】x2-2x+2m-1=0有实数根,0,即(-2)2-4(2m-1)0,m1,m为正整数,m=1,故此时二次方程为x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,x1=x2=
7、1,m=1,此时方程的根为x1=x2=1.,【明技法】 一元二次方程根的判别式的两类应用及一点注意(1)根据b2-4ac与0的大小关系判断方程根的情况.(2)根据方程根的情况,求未知系数的值或取值范围.,(3)注意:当二次项系数含有未知字母时.若说明方程是一元二次方程,则二次项系数不为0;若只说明方程有实数根,则需要分类讨论:该方程为一元一次方程或一元二次方程.提醒:判别式只适合一元二次方程,不适合其他方程;注意隐含条件二次项系数a0.,【题组过关】1.(2019自贡中考)关于x的一元二次方程x2-2x+m=0无实数根,则实数m的取值范围是( )A.m1,D,2.(2019盐城中考)关于x的一
8、元二次方程x2+kx-2=0 (k为实数)根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定,A,3.(2019岳阳模拟)若关于x的一元二次方程kx2+(2k+1)x+(k-1)=0有实数根,则k的取值范围是_.世纪金榜导学号,k- 且k0,4.(2019珠海模拟)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.(1)当m=3时,判断方程的根的情况.(2)当m=-3时,求方程的根.,【解析】(1)当m=3时,=b2-4ac=22-43=-80,原方程无实数根.(2)当m=-3时,原方程变为x2+2x-3=0,(x-1)(x+3)=0,x-1=0或x+3=0,x
9、1=1,x2=-3.,考点四根与系数的关系【主干必备】如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=_,x1x2=_.,【微点警示】 1.注意根与系数的关系使用的条件:(1)是一元二次方程;(2)有两个实数根(0).2.使用根与系数的关系时注意x1+x2=- 中的负号与方程中a,b的符号不能混淆.,【核心突破】命题角度1:根据根与系数的关系求未知系数【例4】(2019鄂州中考)关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1,x2,且x1+3x2=5,则m的值为( )A. B. C. D.0,A,命题角度2:根与系数的关系和根的判别式的综合运用【例5】
10、(2019巴中中考)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两不相等的实数根.(1)求m的取值范围.(2)设x1,x2是方程的两根且 +x1x2-17=0,求m的值.,【自主解答】(1)根据题意得=(2m+1)2-4(m2-1)0,解得m- .,(2)根据题意得x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-1, +x1x2-17=(x1+x2)2-x1x2-17=(2m+1)2-(m2-1)-17=0,解得m1= ,m2=-3(不合题意,舍去),m的值为 .,【明技法】 1.利用根与系数的关系求某些代数式的值的步骤(1)算:计算出两根的和与积.(2)变:将所求的代数式表示成两
11、根的和与积的形式.(3)代:代入求值.,2.利用根与系数关系的两个前提条件(1)二次项系数a0.(2)方程有实数根,即b2-4ac0.提醒:注意只有在一元二次方程有实数根的条件下才能用根与系数的关系.,【题组过关】1.(2019呼和浩特模拟)已知:x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a,b的值分别是( )A.a=-3,b=1B.a=3,b=1C.a=- ,b=-1D.a=- ,b=1,D,2.(2019威海中考)已知a,b是方程x2+x-3=0的两个实数根,则a2-b+2 019的值是世纪金榜导学号( )A.2 023B.2 021C.2 02
12、0D.2 019,A,3.(2019通辽模拟)已知方程x2-2x-1=0的两根分别是x1 ,x2,则 =_.,6,4.(2019鄂州中考)已知关于x的方程x2-2x+2k-1=0有实数根.世纪金榜导学号(1)求k的取值范围.(2)设方程的两根分别是x1,x2,且 =x1x2,试求k的值.,【解析】(1)原方程有实数根,b2-4ac0,(-2)2-4(2k-1)0,k1.,(2)x1,x2是方程的两根,根据一元二次方程根与系数的关系,得:x1+x2=2,x1 x2 =2k-1,又 =x1x2, =x1x2,(x1+x2)2-2x1 x2 =(x1 x2)2,22-2(2k-1)=(2k-1)2 ,解得k1= ,k2=- .经检验,都是原方程的根,k1,k=- .,5.(2019黄石中考)已知关于x的一元二次方程x2-6x +(4m+1)=0有实数根.世纪金榜导学号(1)求m的取值范围.(2)若该方程的两个实数根为x1,x2,且|x1-x2|=4,求m的值.,【解析】(1)关于x的一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0有实数根,=(-6)2-41(4m+1)0,解得m2.,(2)方程x2-6x+(4m+1)=0的两个实数根为x1,x2,x1+x2=6,x1x2=4m+1,(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42,即32-16m=16,解得m=1.,