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1、关于数列的极限与连续第1页，此课件共72页哦2022/10/522.1 2.1 数列的极限数列的极限(Limits of Sequences)二二 收敛数列的性质收敛数列的性质一一 数列极限的定义数列极限的定义三三 小结与思考判断题小结与思考判断题CH2 极限、连续极限、连续第2页，此课件共72页哦2022/10/532.1.1数列概念例如例如第3页，此课件共72页哦2022/10/54注意：注意：1.1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数第4页，此课件共72页哦2022/10/55定义定义2.
2、数列单调性定义数列单调性定义单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列同样同样,定义定义3：数列有界性定义：数列有界性定义第5页，此课件共72页哦2022/10/56几何意义几何意义:由于由于|xn|MM xn M xn M,M.故故,所谓所谓xn有界有界,就是就是xn要全部落在某个要全部落在某个对称区间对称区间 M,M内内.看图看图0Mxxn M第6页，此课件共72页哦2022/10/572.1.22.1.2数列极限的概念数列极限的概念第7页，此课件共72页哦2022/10/58图形演示图形演示第8页，此课件共72页哦2022/10/59图形演示图形演示第9页，此课件共72页哦2022
3、/10/510图形演示图形演示第10页，此课件共72页哦2022/10/511图形演示图形演示第11页，此课件共72页哦2022/10/512图形演示图形演示第12页，此课件共72页哦2022/10/513图形演示图形演示第13页，此课件共72页哦2022/10/514图形演示图形演示第14页，此课件共72页哦2022/10/515图形演示图形演示第15页，此课件共72页哦2022/10/516图形演示图形演示第16页，此课件共72页哦2022/10/517图形演示图形演示第17页，此课件共72页哦2022/10/518图形演示图形演示第18页，此课件共72页哦2022/10/519图形演示图
4、形演示第19页，此课件共72页哦2022/10/520图形演示图形演示第20页，此课件共72页哦2022/10/521问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:第21页，此课件共72页哦2022/10/522第22页，此课件共72页哦2022/10/523如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：定义3 如果对于任意给定的正数 (不论
5、它多么小)总存在正数 ，使得对于 时的一切 不等式 都成立,那末就称常数 为数列 的极限，或者称数列收敛于 ,记为 第23页，此课件共72页哦2022/10/524注注定义定义1习惯上称为极限的习惯上称为极限的N定义，它用两个定义，它用两个动态指标动态指标和和N刻画了极限的实质，用刻画了极限的实质，用|xna|定量地刻画了定量地刻画了xn 与与a 之间的距离任意小，即任给之间的距离任意小，即任给0标志着标志着“要多小要多小”的要求，用的要求，用n N表示表示n充分充分大。这个定义有三个要素：大。这个定义有三个要素：10，正数正数，20，正整数正整数N，30，不等式，不等式|xna|（n N）定
6、义中的定义中的具有二重性：一是具有二重性：一是的任意性，二是的任意性，二是的相对固定性的相对固定性。的二重性体现了的二重性体现了xn 逼近逼近a 时要时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过经历一个无限的过程（这个无限过程通过的任意的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过过的相对固定性来实现）。的相对固定性来实现）。第24页，此课件共72页哦2022/10/5251.我们用符号我们用符号“”表示表示“任取任取”或或“对于任意的对于任意的”或或“对于所有
7、的对于所有的”,符号符号“”称为全称量词称为全称量词.2.我们用符号我们用符号“”表示表示“存在存在”.符号符号“”称称为存在量词为存在量词.符号符号：第25页，此课件共72页哦2022/10/526几何解释几何解释:第26页，此课件共72页哦2022/10/527当当 x=n,则则相应的点相应的点都落都落在在绿色绿色区域内区域内nf(n)0AN123N+1N+2数列数列数列数列的极限演示的极限演示的极限演示的极限演示对一切对一切 n N 自然数自然数 N A的的 邻域邻域第27页，此课件共72页哦2022/10/528当当 x=n,则则nf(n)0AN N123N+1N+2 数列数列数列数列
8、的极限演示的极限演示的极限演示的极限演示.相应的点相应的点都落都落在在绿色绿色区域内区域内对一切对一切 n N 自然数自然数 N A的的 邻域邻域第28页，此课件共72页哦2022/10/529当当 x=n,则则nf(n)0AN N123N+1N+2数列数列数列数列的极限演示的极限演示的极限演示的极限演示.相应的点相应的点都落都落在在绿色绿色区域内区域内对一切对一切 n N 自然数自然数 N A的的 邻域邻域第29页，此课件共72页哦2022/10/530当当 x=n,则则nf(n)0AN123N+1N+2.相应的点相应的点都落都落在在绿色绿色区域内区域内对一切对一切 n N 自然数自然数 N
9、 A的的 邻域邻域数列数列数列数列的极限演示的极限演示的极限演示的极限演示第30页，此课件共72页哦2022/10/531当当 x=n,则则nf(n)0A123NNNNN NN+1N+2因此因此，数列数列的极限定义也称的极限定义也称数列数列极限的极限的 N N定义定义定义定义.相应的点相应的点都落都落在在绿色绿色区域内区域内对一切对一切 n N 自然数自然数 N A的的 邻域邻域数列数列数列数列的极限演示的极限演示的极限演示的极限演示第31页，此课件共72页哦2022/10/532例例1.1.若若xn=c(常数常数),则则证证:0.由于由于|xnc|=|c c|=0取取N=1,当当nN时时,有
10、有|xnc|=00,0,找到使找到使主要不等式成立的主要不等式成立的N N(并不在乎并不在乎N N是否最小是否最小).).第34页，此课件共72页哦2022/10/537二、收敛数列的性质1.1.收敛数列的唯一性收敛数列的唯一性定理定理1 1 收敛的数列只有一个极限收敛的数列只有一个极限.证证由定义由定义,第37页，此课件共72页哦2022/10/538例例5 5证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1 1的区间内的区间内.第38页，此课件共72页哦2022/10/539定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证由定义由定义,2.2.
11、收敛数列的有界性收敛数列的有界性注1 有界性是数列收敛的必要条件.注2 无界数列必定发散.数列注3 有界数列不一定收敛.数列第39页，此课件共72页哦2022/10/5403.3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性第40页，此课件共72页哦2022/10/541第41页，此课件共72页哦2022/10/542数列的子数列(略)子数列子数列(子列子列):):在数列在数列 中任意抽取无限多项中任意抽取无限多项,并保持这些项在原数列中的先后次序得到的数列并保持这些项在原数列中的先后次序得到的数列,称为原数列的子列称为原数列的子列.记作记作即即其中其中例如例如 自然数列自然数列第42页，此课件共72页哦
12、2022/10/5434.4.收敛数列与其子列的关系收敛数列与其子列的关系(略略)axknn=lim这就证明了这就证明了NnnKkNnKKk=.,时，有时，有则当则当取取 证证axnk .|axNnn ;|时恒有时恒有当当 Naxxxknnnn =,0,lim 使得使得由定义，由定义，的任一子数列的任一子数列.是数列是数列设数列设数列 Q第43页，此课件共72页哦2022/10/544例如例如 数列数列 因为它有两个子列因为它有两个子列分别收敛于分别收敛于1 1和和-1-1两个不同的数值两个不同的数值.第44页，此课件共72页哦2022/10/545定理定理5.5.设数列设数列 xn和和 yn
13、 的极限都存在的极限都存在.且且则则(1)(2)(3)设设 C 为常数，有为常数，有(4)当当 b 0 时，有时，有三、数列极限的运算法则三、数列极限的运算法则第45页，此课件共72页哦2022/10/546第46页，此课件共72页哦2022/10/547定理定理4.4.若若证证：由于由于注意到不等式注意到不等式|A|B|A B|从而从而|xn|a|xn a|b0时时,有有移项移项,有有即即第58页，此课件共72页哦2022/10/559第59页，此课件共72页哦2022/10/560第60页，此课件共72页哦2022/10/561由于由于单调有界单调有界,从而必有极限从而必有极限.为一无理数为一无理数第61页，此课件共72页哦2022/10/562注注：第62页，此课件共72页哦2022/10/5感谢大家观看第72页，此课件共72页哦