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1、线性组合与线性相关第1页，共17页，编辑于2022年，星期一二、向量组的线性组合1.线性表示：如果=k11+k22+kss，则称可由1,2,s 线性表示，或称是1,2,s 的线性组合。2.能由1,2,s线性表示的含义是线性方程组x11+x22+xss=有解，其充要条件是r(A)=r(A|)注：判断能不能由1,2,s线性表示的方法：把矩阵(1,2,s,)变换为行阶梯形矩阵，并从中观察r(1,2,s)和r(1,2,s,)，进行比较。即r(1,2,s)=r(1,2,s,)第2页，共17页，编辑于2022年，星期一例：设有向量组1=(1,0,2)T,2=(1,2,0)T,3=(2,1,3)T,4=(2
2、,5,1)T，试问4是否可由1,2,3线性表示？若可以，写出表示式。解：设有数x1,x2,x3,使得x11+x22+x33=4 3所以方程组有无穷多解，即4可由1,2,3线性表示，且表示方式不唯一。第3页，共17页，编辑于2022年，星期一对 继续施行初等行变换，最后一个矩阵对应的线性方程组为：若取x3=1，所以:21+22+3=4若取x3=1，所以：1+323=4有:x1=2有:x1=1,x2=2,x2=3,第4页，共17页，编辑于2022年，星期一三、向量组的线性相关性1.线性相关定义：存在一组不全为零的数k1,k2,ks,使得k11+k22+kss=O.若k1,k2,ks必须全为零，则称
3、1,2,s 线性无关。2.1,2,s线性相关的含义是齐次线性方程组x11+x22+xss=O有非零解，（即Ax=0）线性无关的含义是方程组 其充要条件是r(A)=s,r(A)s,即r(1,2,s)s.只有零解即r(1,2,s)=s.第5页，共17页，编辑于2022年，星期一例：设有向量组1=(1,0,1,2)T,2=(1,1,2,4)T,3=(2,3,5,10)T,试讨论向量组1,2,3及向量组1,2的线性相关性。解：3所以1,2,3线性相关；所以1,2线性无关。第6页，共17页，编辑于2022年，星期一例：如果可由1,2,s 线性表示，则表示法唯一的充要条件是1,2,s线性无关。r(1,2,
4、s)=r(1,2,s,)x11+x22+xss=分析：可由1,2,s线性表示有解1,2,s线性无关。r(1,2,s)=r(1,2,s,)=s在此前提下x11+x22+xss=有唯一解，表示法唯一第7页，共17页，编辑于2022年，星期一例：如果1,2,s 线性无关，1,2,s,线性相关，则可由1,2,s线性表示。r(1,2,s)=s分析：1,2,s线性无关从而可由1,2,s线性表示。1,2,s,线性相关r(1,2,s,)r(1,2,s)r(1,2,s,)s+1s=所以：r(1,2,s)=r(1,2,s,)方程组有唯一解而且：x11+x22+xss=有解n2.若s=n当|A|0时当|A|0时3.
5、若sn当r(1,2,s)s时，此法也适用于前两种情形。，向量组线性相关。它们所构成矩阵的行列式等于零。，可先比较向量个数s与向量维数n的大小：，则向量组线性相关，无需计算。，则可计算向量组构成矩阵A的行列式，向量组线性相关；，向量组线性无关。，则计算r(1,2,s)当r(1,2,s)=s时，向量组线性相关；向量组线性无关。第16页，共17页，编辑于2022年，星期一练习:设向量组1=(1,1,1)T,2=(1,2,3)T,3=(1,3,t)T,4=(3,4,5)T.1.当t为何值时,1,2,3线性相关？线性无关？2.当t为何值时,1,2,3,4线性相关？线性无关？答案：1.或 A所以，t=5时线性相关，t5时线性无关。2.t取任何值，向量组都线性相关。（4个3维向量）第17页，共17页，编辑于2022年，星期一