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1、线性相关与线性无关第1页，共32页，编辑于2022年，星期一 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组成的集合叫做向量组例如例如一、向量、向量组与矩阵n维列向量组维列向量组 可以排成一个可以排成一个mn分块矩阵分块矩阵第2页，共32页，编辑于2022年，星期一向量组向量组 ,，称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组n维行向量组维行向量组 可以排列成一个可以排列成一个mn分块矩阵分块矩阵 第3页，共32页，编辑于2022年，星期一 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵矩阵.第
2、4页，共32页，编辑于2022年，星期一注意注意定义定义则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关二、线性相关性的概念第5页，共32页，编辑于2022年，星期一第6页，共32页，编辑于2022年，星期一6 当当 是是行行向向量量组组时时，它它们们线线性性相相关关就就是是指指有有非非零的零的1s矩阵（矩阵（k1,k2,ks）使）使 7当当 为列向量时，它们线性相关就是指有非零的为列向量时，它们线性相关就是指有非零的s1矩阵矩阵 使使第7页，共32页，编辑于2022年，星期一例例 1 判断向量组判断向量组的线性相关性。的线性相关性。解解 假设存在一组常数假设
3、存在一组常数k1,k2,kn 使得使得所以所以 即即 k1=k2=kn=0 因此因此 线性无关。线性无关。第8页，共32页，编辑于2022年，星期一解：O O设系数行列式为方程组有非零解，即有非零的数O O故第9页，共32页，编辑于2022年，星期一证证第10页，共32页，编辑于2022年，星期一第11页，共32页，编辑于2022年，星期一也可用矩阵形式表示：也可用矩阵形式表示：这个线性组合的组合系数这个线性组合的组合系数第12页，共32页，编辑于2022年，星期一若所给向量均为行向量，则有若所给向量均为行向量，则有若所给向量均为列向量，则有若所给向量均为列向量，则有第13页，共32页，编辑于
4、2022年，星期一 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示第14页，共32页，编辑于2022年，星期一三、相关性的判定及有关重要结论三、相关性的判定及有关重要结论1.线性相关与线性组合的关系定理线性相关与线性组合的关系定理证：0O O第15页，共32页，编辑于2022年，星期一例如例如，向量组向量组 是线性相关的，因为是线性相关的，因为 对对于于只只有有两两个个向向量量a a，b b的的向向量量组组，由由定定理理可可得得，a a，b b线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是a a，b b的对应分量成比例。的对应分量成比例。第16页，共32页，编辑于2022年，星期一第17页
5、，共32页，编辑于2022年，星期一证：00第18页，共32页，编辑于2022年，星期一O O所以表示式惟一。下证唯一第19页，共32页，编辑于2022年，星期一向量组的等价向量组的等价第20页，共32页，编辑于2022年，星期一第21页，共32页，编辑于2022年，星期一向量组的等价向量组的等价定义定义:设有两个设有两个 n 维向量组维向量组 若向量组（I）中每个向量都可由向量组（II）线性表示，则称向量组（I）可由向量组（II）线性表示；若向量组（I）与向量组（II）可以互相线性表示，则称向量组（I）与向量组（II）等价。第22页，共32页，编辑于2022年，星期一第23页，共32页，编辑
6、于2022年，星期一从而从而第24页，共32页，编辑于2022年，星期一第25页，共32页，编辑于2022年，星期一第26页，共32页，编辑于2022年，星期一定理定理第27页，共32页，编辑于2022年，星期一命题命题1 1第28页，共32页，编辑于2022年，星期一命题命题2 2向量组间的等价，具有下列性质：向量组间的等价，具有下列性质：向量组的等价关系具有自反性、对称性、传递性。第29页，共32页，编辑于2022年，星期一.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；.线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）.线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理两个定理（难点难点）四、小结第30页，共32页，编辑于2022年，星期一思考题第31页，共32页，编辑于2022年，星期一证明证明（）、（）略（）、（）略（）（）充分性充分性必要性必要性思考题解答第32页，共32页，编辑于2022年，星期一